巧借恒等式處理一類直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題

張翼飛

[摘 要] 文章介紹一種借助代數(shù)恒等式處理直線過(guò)定點(diǎn)的方法.？搖

[關(guān)鍵詞] 恒等式；斜率比；定點(diǎn)

圓錐曲線中有很多優(yōu)美的性質(zhì)，本文從代數(shù)恒等式的角度處理橢圓中一類斜率比值為定值引出的直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，希望通過(guò)本文和大家分享用代數(shù)方法解決幾何問(wèn)題的美感.

結(jié)論：已知橢圓Γ：+=1（a>b>0）和定點(diǎn)A（x0，y0），B（-x0，-y0），點(diǎn)P，Q是橢圓Γ上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足kPA=mkQB（m≠ -1），求證：直線PQ過(guò)定點(diǎn).

證明：法1：設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），則直線PQ：（y2-y1）x-（x2-x1）y-（x1y2-x2y1）=0.

因?yàn)閗PA=mkQB（m≠-1），所以=m.

因?yàn)?=-，所以=m.

由=m可得mx1y2-x2y1=mx0y2+x0y1-my0x1-y0x2+（m-1）x0y0.

由=m可得mx2y1-x1y2=mx0y1+x0y2-my0x2-y0x1+（m-1）x0y0，

兩式相減可得（m+1）（x1y2-x2y1）=（m-1）x0（y2-y1）+（m-1）y0（x2-x1），

x1y2-x2y1=x0（y2-y1）+y0（x2-x1），

PQ：（y2-y1）x-（x2-x1）y-x0（y2-y1）-y0（x2-x1）=0，

故直線PQ過(guò)定點(diǎn)x0，-y0.

法2：設(shè)A（acosα，bsinα），P（acosβ，bsinβ），Q（acosγ，bsinγ），則B（acos（α+π），bsin（α+π）），

kPA==-·，

kQB=-·=·.

因?yàn)閗PA=mkQB（m≠-1），所以cos·cos+msinsin=0，

所以cos+cos+α+mcos-cos+α=0，

所以cos=cos+α，即cos=coscosα-·sinsinα，

直線PQ：b（sinγ-sinβ）x-a（cosγ-cosβ）y-absin（γ-β）=0，

即bcosx+asiny-abcos=0.

直線PQ：bcosx+asiny-abcoscosα+absin·sinα=0，

即PQ：bcosx-acosα+asiny+bsinα=0，

故直線PQ過(guò)定點(diǎn)x0，-y0.endprint