活用構(gòu)造思維，巧解數(shù)學(xué)難題

劉小樹

[摘 要] 構(gòu)造法是一種打破常規(guī)思維的數(shù)學(xué)方法，在高考中占有重要地位.文章從一道不等式證明題引入，通過構(gòu)造數(shù)列的方法巧妙地解決問題，接著對構(gòu)造法展開深入思考，研究了構(gòu)造方程和函數(shù)在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用.

[關(guān)鍵詞] 構(gòu)造；數(shù)列；方程；函數(shù)

構(gòu)造思想在高中數(shù)學(xué)中的重要性不言而喻，構(gòu)造思想是各種知識之間相互聯(lián)系的紐帶，通過構(gòu)造，可以使得復(fù)雜的問題簡單化，起到事半功倍的效果. 掌握構(gòu)造法還能夠增強(qiáng)學(xué)生思維的靈活性以及開拓性，所以對于構(gòu)造法的研究非常有必要.

構(gòu)造數(shù)列，引出論點(diǎn)

（2017年蚌埠市高考模擬題） 證明不等式++…+>1（n∈N*）.

思路剖析

構(gòu)造數(shù)列：an=++…+，那么an+1-an=++-=+-=>0，所以數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，又a1=++=>1，所以an>1（n∈N*），所以原不等式得證.

題后反思

本題中采用構(gòu)造數(shù)列的方法巧妙地解決了不等式證明問題，通過新構(gòu)造出的數(shù)列，巧妙地判斷出該數(shù)列是遞增數(shù)列，從而證明不等式.通過構(gòu)造數(shù)列不僅僅可以解決不等式證明問題，對于一些難以解決的解方程問題，通過構(gòu)造數(shù)列可以事半功倍地解決問題，提高解題效率.

思維拓展：（2016年滄州市高考模擬題）解方程-=3x+2.

思路剖析

本題可以采用構(gòu)造法，根據(jù)已知條件，再結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)，可以發(fā)現(xiàn)，，-構(gòu)成一個等差數(shù)列，可以設(shè)=-d，-=+d，觀察以上兩式，將兩式平方之后相減得：-2（3x+2）= -2（3x+2）d，解出d=1或x=-. 當(dāng)d=1時，代入=-d，解得x=是方程的增根，故舍去；當(dāng)x= -時，檢驗(yàn)之后符合題意，所以原方程的根為x=-.

反思小結(jié)，承前啟后

從以上兩道題可以發(fā)現(xiàn)，構(gòu)造數(shù)列的方法對于解決某些不等式證明，以及解方程問題可以起到事半功倍的效果，對于發(fā)散學(xué)生的數(shù)學(xué)思維大有裨益. 構(gòu)造數(shù)列僅僅是構(gòu)造法中的一個小的分支，但是其中體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想都是一脈相承的. 構(gòu)造法的核心是打破常規(guī)的解題思路，將看似復(fù)雜的問題簡單化、具體化，將高中數(shù)學(xué)中所學(xué)的知識有機(jī)地串聯(lián)起來，利用“他山之石”，攻破數(shù)學(xué)難題. 本文接下來就著重討論通過構(gòu)造方程、構(gòu)造函數(shù)來解決問題，讓學(xué)生能夠從具體題目中領(lǐng)略構(gòu)造之美，感受數(shù)學(xué)之美.

構(gòu)造方程，化繁為簡

作為高考中的熱點(diǎn)內(nèi)容，圓錐曲線問題一直以來都因其煩瑣的計(jì)算成為學(xué)生學(xué)習(xí)路上的攔路虎. 因此，優(yōu)化圓錐曲線問題中的解題過程，減小計(jì)算過程中運(yùn)算量顯得至關(guān)重要. 而通過構(gòu)造方程的方法，能夠充分挖掘題目中的條件，合理利用問題結(jié)構(gòu)特征，就可以省去繁雜的計(jì)算過程，大大減小計(jì)算量，提高解題效率，做到化繁為簡.

（2016江西省高考模擬題） 已知橢圓的軌跡方程為x2+y2=1，已知橢圓外一點(diǎn)（0，2），過該點(diǎn)引任意直線，直線與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，求A，B中點(diǎn)P的軌跡方程.

問題剖析

可將A，B的坐標(biāo)分別設(shè)為A（x1，y1），B（x2，y2），將A，B中點(diǎn)P的坐標(biāo)設(shè)為（x，y）. 因?yàn)锳，B都是橢圓上的點(diǎn)，所以可得方程組x+y=0，①x+y=0，②

②-①得，（x2-x1）（x2+x1）+（y2-y1）·（y2+y1）=0，根據(jù)中點(diǎn)公式上式可化簡為

x（x2-x1）+2y（y2-y1）=0，所以= -，而即為過A，B兩點(diǎn)的直線斜率.又因?yàn)樵撝本€經(jīng)過橢圓外一點(diǎn)（0，2），通過該點(diǎn)和P點(diǎn)，直線的斜率還可以表示為，所以能夠得到等式= -，化簡之后可以得到x2+2y2-4y=0，所以A，B中點(diǎn)P的軌跡方程為x2+2y2-4y=0.

構(gòu)造函數(shù)，化難為易

函數(shù)問題是高中數(shù)學(xué)中的重中之重，對于許多數(shù)學(xué)問題，直接求解會有很大的難度，若能根據(jù)已知條件，構(gòu)造出輔助函數(shù)，再借助函數(shù)的性質(zhì)來解決問題會讓問題簡單化，而且這種方法思路清晰，是一種不可多得的好方法，如果能夠熟練掌握這種方法，許多難題將會迎刃而解.

（2017年北京市高考模擬題） 已知函數(shù)f（x）=ln.

（1）求曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程；

（2）證明：當(dāng)x∈（0，1）時，f（x）>2x+.

思路剖析

對于第（1）問，由于篇幅有限，并且對構(gòu)造函數(shù)沒有涉及，與本文相關(guān)度不大，在此直接給出答案，切線方程為y=2x. 對于第（2）問，采用構(gòu)造函數(shù)的方法，令F（x）=f（x）-2x+=ln-2x+，x∈（0，1），對新構(gòu)造的函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，得F′（x）=-2（1+x2）=. 當(dāng)x∈（0，1）時，F(xiàn)′（x）恒大于0，所以F（x）在（0，1）上是單調(diào)增函數(shù)，所以F（x）>F（0）=0，即f（x）-2x+>0，所以當(dāng)x∈（0，1）時，f（x）>2x+.

寫在最后

古語有云：“他山之石，可以攻玉”.高中數(shù)學(xué)中所學(xué)到的數(shù)列、方程、函數(shù)知識都可以稱為“他山之石”，而構(gòu)造恰恰就是將這些知識與那些數(shù)學(xué)難題聯(lián)系起來的紐帶，構(gòu)造法以高中數(shù)學(xué)的相關(guān)知識為背景，結(jié)合題目中的相關(guān)條件來解決問題. 若能合理地運(yùn)用構(gòu)造法，對于提高解題效率，破解數(shù)學(xué)難題都能起到很大的幫助. 而更重要的是，構(gòu)造思想的靈活性以及發(fā)散性對于鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)思維大有裨益，在高考復(fù)習(xí)過程中，需要學(xué)生細(xì)心體會，勤于訓(xùn)練，才能更好地領(lǐng)悟構(gòu)造思想.endprint