曲線系方程的第二個(gè)盲區(qū)

金衛(wèi)雄

[摘 要] 一直以來(lái)我們都知道曲線系會(huì)遺漏曲線，但是一般認(rèn)為只遺漏了一條.實(shí)際上遠(yuǎn)非如此，二次曲線系可以遺漏無(wú)數(shù)多條曲線. 哪些曲線被遺漏，遺漏原因是什么，怎樣避免漏解，在理論上和應(yīng)用上都需要梳理清楚. 文章將從一個(gè)實(shí)例出發(fā)，公布問(wèn)題的發(fā)現(xiàn)及提出背景，進(jìn)行初步研究，并在最后給出幾個(gè)有用的結(jié)論，提出新的研究課題.

[關(guān)鍵詞] 二次曲線系；遺漏；第二盲區(qū)；主軸方向

什么是“第二盲區(qū)”

眾所周知，若兩條曲線L1和L2的方程分別為f1（x，y）=0和f2（x，y）=0，則方程f1（x，y）+λf2（x，y）=0（λ∈R）表示過(guò)L1，L2交點(diǎn)（如果存在的話）的曲線，稱該方程為曲線系方程. 這個(gè)曲線系方程遺漏了曲線L2，因此L2可以稱作是該曲線系方程的一個(gè)“盲區(qū)”. 為了消除這個(gè)盲區(qū)，我們可以使用另一個(gè)曲線系方程：λ1f1（x，y）+λ2f2（x，y）=0（λ1，λ2∈R）. 這個(gè)方程中既沒(méi)有漏掉L2，又沒(méi)有漏掉L1，因此在理論研究中被廣泛應(yīng)用.

但是，在用上述的曲線系方程表示二次曲線系的時(shí)候，卻隱藏著一個(gè)更大的盲區(qū)（為區(qū)別起見(jiàn)，不妨稱之為第二盲區(qū)），這是一直沒(méi)有被發(fā)現(xiàn)的. 為揭示其真相，讓我們從一個(gè)簡(jiǎn)單的例子談起：

例1：給定橢圓C：x2+=1，兩條直線y=x+1、y=kx與C相交所得的點(diǎn)共圓，求k值及所共圓的方程.

解：（用曲線系）所給的兩條直線可以合寫成方程 （x-y+1）（kx-y）=0. 構(gòu)造曲線系

（x-y+1）（kx-y）+λx2+-1=0（注意這里的“盲區(qū)”L2不是圓，因此不需考慮L2）. 整理為

（λ+k）x2-（1+k）xy+1+y2+kx-y-λ=0.

若此方程表示圓，則首先有λ+k=1+，1+k=0，解得k=-1，λ=4.代入曲線系方程得

x2+y2-x-y-=0.

經(jīng)檢驗(yàn)，確實(shí)表示圓.故k=-1且所求圓方程為x2+y2-x-y-=0.

這個(gè)看似輕松靈巧的解法，漏掉了當(dāng)k=0和k=4時(shí)的兩個(gè)解（將在后文中分析并補(bǔ)齊）. 而且這個(gè)漏解并不是解方程組造成的，根源在于所設(shè)的曲線系本身遺漏了一大批曲線. 也就是說(shuō)，所設(shè)的曲線系存在“盲區(qū)”，k=0和k=4時(shí)所對(duì)應(yīng)的圓恰好在盲區(qū)之內(nèi)，因此造成漏解.

對(duì)第二盲區(qū)的初步研究

給定兩條二次曲線

L1：f1（x，y）=A1x2+B1xy+C1y2+D1x+E1y+F1=0， ①

L2：f2（x，y）=A2x2+B2xy+C2y2+D2x+E2y+F2=0， ②

由L1和L2產(chǎn)生的曲線系L：λ1f1（x，y）+λ2f2（x，y）=0，

即（λ1A1+λ2A2）x2+（λ1B1+λ2B2）xy+（λ1C1+λ2C2）y2+（λ1D1+λ2D2）x+（λ1E1+λ2E2）y+（λ1F1+λ2F2）=0.③

因?yàn)楫?dāng)λ1=0或λ2=0，曲線系中的L就是曲線L2或者L1，不需討論. 下面只考慮λ1≠0且λ2≠0的情況. 此時(shí)，設(shè)L1，L2，L的對(duì)稱軸傾斜角（即主軸方向）分別為θ1，θ2，θ.

（1）先考慮B1≠0且B2≠0且λ1B1+λ2B2≠0的情形. 此時(shí)

cot2θ1=，cot2θ2=，cot2θ=.

①如果L1和L2的主軸方向相同，設(shè)cot2θ1=cot2θ2=k，==k，則cot2θ===k=cotθ1=cotθ2.

即L的主軸方向與L1，L2的主軸方向相同.

②L1，L2的主軸方向不相同，即≠. 下面將證明L與L1，L2的主軸方向都不相同，即cot2θ≠cot2θ1且cot2θ≠cot2θ2.

假設(shè)cot2θ=cot2θ1，

則=，

即λ1（A1-C1）B1+λ2（A2-C2）B1=（λ1B1+λ2B2）（A1-C1），

即=，即cot2θ1=cot2θ2. 矛盾. 從而知L與L1的主軸方向不同. 同理可證L與L2的主軸方向也不相同

（2）再考慮B1=0或B2=0或λ1B1+λ2B2=0的情形.

如果B1=0且B2=0，則顯然λ1B1+λ2B2=0，即L與L1，L2主軸方向都相同（都為坐標(biāo)軸）.

如果B1=0且B2≠0，則顯然λ1B1+λ2B2=λ2B2≠0. 此時(shí)cot2θ = =cot2θ2+，

故當(dāng)A1=C1時(shí)，cot2θ=cot2θ2，即L1為圓時(shí)，L與L2的主軸方向相同.

如果B1≠0且B2=0，同此.

特別地，注意到圓的主軸方向可以認(rèn)為是任意的，綜合上述討論，可得下面的

定理1 由二次曲線L1和L2產(chǎn)生的曲線系L（方程見(jiàn)上面的①②③），

（1）如果L1和L2的主軸方向相同，則L與L1，L2的主軸方向也相同.

（2）如果L1和L2的主軸方向不同，則L與L1，L2的主軸方向都不相同.

換一種表達(dá)方式，我們以下面的“定理2”初步揭示二次曲線系的“第二盲區(qū)”：

定理2 由二次曲線L1和L2產(chǎn)生的曲線系L（方程見(jiàn)上面的①②③），

（1）如果L1和L2的主軸方向相同，則與L1，L2的主軸方向不相同的所有二次曲線都不在曲線系L中，即所有與L1及L2的主軸方向不相同的二次曲線都在第二盲區(qū)內(nèi).

（2）如果L1和L1的主軸方向不同，則與L1或L2的主軸方向相同的所有二次曲線都不在曲線系L中. 即所有與L1或L2的主軸方向相同的二次曲線都在第二盲區(qū)內(nèi).

需要指出的是，上述定理只是指出了“所述的曲線在第二盲區(qū)內(nèi)”，并沒(méi)有探明“是否有其他的曲線也在盲區(qū)內(nèi)”.對(duì)這一問(wèn)題，還有待于進(jìn)一步的研究.

補(bǔ)救的嘗試

回到前文的例1. 遺漏了兩種情況k=0和k=4. 注意到，直線y=x+1與橢圓x2+=1的交點(diǎn)為A（-1，0）和B，. 當(dāng)k=4時(shí)，直線y=kx恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，而它與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)是B′，. 也就是說(shuō)，兩條直線與橢圓形成三個(gè)交點(diǎn)（不共線），當(dāng)然是共圓的. 但是，這時(shí)兩條直線所形成的二次曲線方程是4x2-5xy+y2+4x-y=0，其主軸方向是cot2θ=-，因此曲線系中的所有曲線的主軸方向都不會(huì)與橢圓相同，即主軸方向不是坐標(biāo)軸.故不能表示圓. 因此，這時(shí)經(jīng)過(guò)三點(diǎn)A，B，B′的圓就在盲區(qū)里，被遺漏了.

求經(jīng)過(guò)A，B，B′三點(diǎn)的圓方程，當(dāng)然是容易的. 但是，因?yàn)楸疚膶ｉT考慮的是曲線系方法，所以下面將特別地用曲線系“找回”漏解. 基本思路是：調(diào)整過(guò)A，B，B′三點(diǎn)的曲線的主軸方向，讓這個(gè)主軸與坐標(biāo)軸一致. 可以選擇任意的圓錐曲線（對(duì)稱軸平行于坐標(biāo)軸），當(dāng)然選擇拋物線要稍微簡(jiǎn)單一點(diǎn).

解：設(shè)經(jīng)過(guò)A，B，B′的一條拋物線方程為y=ax2+bx+c（a≠0），將三點(diǎn)坐標(biāo)代入解得

a=，b=4，c=-，即得拋物線方程為x2+4x-y-=0. 構(gòu)造曲線系方程得

x2+4x-y-+λx2+-1=0，即+λx2+y2+4x-y-+λ=0.

欲使此方程表示圓，首先有+λ=，解得λ=-9. 代入得方程為

x2+y2-x+y-=0.

經(jīng)檢驗(yàn)，此方程確實(shí)表示圓，因此即所求的圓方程、對(duì)于k=0的情形，同樣可求. 此處略.

最后需要說(shuō)明的是，對(duì)于曲線系方程的第二盲區(qū)，本文僅僅是把這個(gè)問(wèn)題提出來(lái)，所做的研究是很初步的. 結(jié)論也僅僅是針對(duì)二次曲線系，還只找出了曲線在第二盲區(qū)的充分條件. 提出下列迫切需要解決的問(wèn)題希望有興趣的讀者加以關(guān)注. 最迫切的是“問(wèn)題1”，只有問(wèn)題1解決了，問(wèn)題2的解決才成為可能.

問(wèn)題1 “曲線在盲區(qū)”的充要條件是什么？

問(wèn)題2 在用曲線系解題時(shí)，如何“找回”遺漏的解？endprint