理解公式學(xué)習(xí)的必要性

項永衛(wèi)

摘 要?在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中會涉及到很多的數(shù)學(xué)公式，這是教學(xué)重要內(nèi)容之一，它是對數(shù)學(xué)對象之間的屬性關(guān)系進行反應(yīng)的符號化的總結(jié)與歸納，具有概括性與抽象性，解釋了隱藏在數(shù)學(xué)知識內(nèi)部的規(guī)律，對數(shù)學(xué)公式的理解與掌握是衡量學(xué)生數(shù)學(xué)認知水平的一個重要標(biāo)準(zhǔn)，對初中學(xué)生來說，學(xué)好公式具有其內(nèi)在的必然性。本文主要從初中數(shù)學(xué)公式學(xué)習(xí)的必要性出發(fā)，分析初中數(shù)學(xué)公式學(xué)習(xí)中存在的問題，探究如何有效開展數(shù)學(xué)公式學(xué)習(xí)。

關(guān)鍵詞?初中數(shù)學(xué);公式學(xué)習(xí);理解

中圖分類號：R361 文獻標(biāo)識碼：A 文章編號：1002-7661（2018）15-0191-02

數(shù)學(xué)公式主要由字母與符號完成數(shù)學(xué)命題的表達，是數(shù)學(xué)命題的重要組成部分之一。通常來說，數(shù)學(xué)教學(xué)中的概念教學(xué)就是對數(shù)學(xué)公式的繼續(xù)性學(xué)習(xí)，掌握一定的數(shù)學(xué)公式是學(xué)生解題的前提與基礎(chǔ)，公式教學(xué)的效果直接關(guān)系到學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的掌握，以及解題思維的培養(yǎng)與開發(fā)，可以說，對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)來說，公式學(xué)習(xí)是學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容，需要教師高度重視，將其作為日常數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容來抓。

一、初中數(shù)學(xué)公式學(xué)習(xí)的必要性

（一）數(shù)學(xué)公式的引入和推導(dǎo)能夠有效培養(yǎng)學(xué)生思維的積極性和批判性

根據(jù)《課程標(biāo)準(zhǔn)》的相關(guān)要求，數(shù)學(xué)課程教學(xué)要在充分考慮數(shù)學(xué)學(xué)科特點的基礎(chǔ)上把握好學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的心理規(guī)律，教師要在了解現(xiàn)階段學(xué)生認知發(fā)展水平的與數(shù)學(xué)知識構(gòu)建情況的基礎(chǔ)上開展數(shù)學(xué)教學(xué)。數(shù)學(xué)公式的學(xué)習(xí)并不是直接灌輸給學(xué)生讓學(xué)生死記硬背，更重要的是引導(dǎo)學(xué)生理解公示的形成推導(dǎo)過程，在理解的過程中掌握數(shù)學(xué)思維方法，理解數(shù)學(xué)公示的結(jié)構(gòu)特征，從而有效培養(yǎng)學(xué)生的思維積極性與批判能力。

比如初中數(shù)學(xué)核心公式中的平方差公式，無論是對公示的導(dǎo)入還是證明都是一個很重要的過程，在具體教學(xué)過程中，教師通過引入多項式乘法運算，比如：（x-3）（x+4），（x-1）（x-3），（x-y）（x+y），（x-3）（x+3）等，通過計算發(fā)現(xiàn)其結(jié)果項數(shù)呈現(xiàn)從復(fù)雜到簡單的特點，在這個基礎(chǔ)上教師引導(dǎo)學(xué)生思考，乘積結(jié)果只有兩項的二項式在結(jié)構(gòu)上具有什么樣的特征，再讓學(xué)生自己設(shè)計幾個運算結(jié)果只有兩項的二項式，讓學(xué)生進行運算后驗證。通過演算與論證，學(xué)生能夠直觀的了解平方差公式的結(jié)構(gòu)特征，隱約摸到了平方差公式，在這個基礎(chǔ)上教師再拋出平方差公式相關(guān)的概念與表達式并借助拼圖等方式來驗證公式的一般性。在課程中，教師還可以二項式讓學(xué)生進行運算與判斷，明確平方差公式的適用范圍。通過這一系列的學(xué)習(xí)，學(xué)生不僅能夠掌握平方差公式的實質(zhì)，還強化了學(xué)生對平方差公式特征的理解與應(yīng)用。

（二）通過理解數(shù)學(xué)公式中字母的含義能有效培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性和整體性

一般在數(shù)學(xué)公式導(dǎo)入到課堂后，學(xué)生會對公式有一個比較初步的淺層次的認識，但是卻不能夠理解公式中相關(guān)字母所代表的含義，而通過幫助學(xué)生理解公式中字母的含義能夠有效培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的整體性與深刻性。

比如在學(xué)習(xí)完二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的相關(guān)應(yīng)用后，我們會發(fā)現(xiàn)在很多數(shù)學(xué)題型中都要求函數(shù)最值，在這個過程中很多學(xué)生只關(guān)注如何求出函數(shù)的最值，卻沒有意識到在取最值時函數(shù)的自變量是否在取值范圍之內(nèi)。如果教師能夠在學(xué)習(xí)過程中幫助學(xué)生理解公式中每個字母的實際含義，把握字母的內(nèi)涵與外延，那么在解題過程中思維將會考慮得更加全面，考慮問題更加具有整體性。

（三）通過對數(shù)學(xué)公式的逆用與變形能夠有效培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維與辯證性

一般來說，當(dāng)學(xué)生學(xué)習(xí)掌握一個新知識點后要及時通過練習(xí)進行強化學(xué)習(xí)，學(xué)生才能夠真正掌握。數(shù)學(xué)公式學(xué)習(xí)過程中，教師常常會通過一系列的練習(xí)來引導(dǎo)學(xué)生對公式進行逆用與變形，強化學(xué)生對數(shù)學(xué)公式的理解與使用，從而達到強化學(xué)習(xí)的目的。

比如在學(xué)習(xí)完冪的運算法則以及完全平方公式后，教師可以通過安排諸如“已知5^x=a，4^y=b求5^2x+16^y的值”的練習(xí)來引導(dǎo)學(xué)生對公式進行逆用，通過安排諸如“已知a+b=4，ab=2，求a²+b²的值”的練習(xí)來幫助學(xué)生掌握公式的變形運用，在不斷的習(xí)題練習(xí)過程中，根據(jù)習(xí)題中呈現(xiàn)出的相關(guān)信息及時聯(lián)想到相關(guān)的公式，并學(xué)會對公式進行變形，從而極大的激發(fā)學(xué)生的思維發(fā)散能力，培養(yǎng)辯證性思維。

（四）通過對數(shù)學(xué)公式的整合和活用能夠有效培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性和深度性

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)具有一定的綜合性，在解題過程中我們會發(fā)現(xiàn)很多題型都涉及到不只一個數(shù)學(xué)公式，常常需要將很多數(shù)學(xué)公式進行整合，并且在公式整合過程中還能夠推導(dǎo)出新的結(jié)論，雖然并不是教學(xué)所列舉的公式內(nèi)容，但是在實際解題過程中卻具有很強的實用性，能夠讓解題的過程變得更加簡單。

比如在習(xí)題“已知拋物線過（2，5）（-2，-3）兩點，且在x軸上截得的線段AB長為20，求拋物線的解析式”中，學(xué)生能夠通過將已知拋物線經(jīng)過的兩個點帶入到二次函數(shù)的一般公式y(tǒng)=ax²+bx+c（a≠0）中，獲得兩個與系數(shù)相關(guān)的方程，但是很難得到第三個方程。這就需要教師引導(dǎo)學(xué)生從更多的角度去思考問題，通過“線段AB的長”聯(lián)想到數(shù)軸上求兩點距離間的公式，整合一元二次方程中根與系數(shù)的關(guān)系公式以及二次根式的公式，從而找出解答題目的簡單方法。通過這種綜合性的比較強的數(shù)學(xué)公式的學(xué)習(xí)與挖掘，學(xué)生思考問題的深度與廣度都能夠得到大大的提升。

二、初中生在數(shù)學(xué)公式學(xué)習(xí)中的問題

進入初中階段的學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中所表現(xiàn)出來的差異性更加明顯，每個學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)都不一樣，相應(yīng)的對數(shù)學(xué)公式學(xué)習(xí)的接受能力也具有參差不齊的特點，具體來說，初中學(xué)生在數(shù)學(xué)公式學(xué)習(xí)中表現(xiàn)出以下幾方面的問題：

（一）不會記公式

不會記公式是初中生中常見的問題，具體又可以分為三種情況：

1.死記公式。作為一個由字母來表示的等式，數(shù)學(xué)公式常常表現(xiàn)出一定的適用性，只有在一定的條件下才能夠使用，而很多學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中離開具體條件來孤立的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)公式，不僅很難記牢公式，即使記住了公式，也不會運用公式來解決問題，典型的死記硬背，這是初中學(xué)生常犯的問題，尤其是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)存在困難的學(xué)生群體中表現(xiàn)得更加明顯。

2.混記公式。數(shù)學(xué)公式中存在很多具有一定相似性的公式，部分學(xué)生會將這些公式弄混淆，將相似的公式用錯或者胡亂拼湊，比如在接觸了（am）ⁿ=a^mn和a^m·aⁿ=a^m+n后，可能使用中又會鬧出a^m·aⁿ=a^mn等類似的笑話。

3.編造公式。部分學(xué)生在掌握一定的數(shù)學(xué)公式后會過于相當(dāng)然，自行進行公式推導(dǎo)，存在編造公式的行為，并且往往這些公式都是錯誤的，會誤導(dǎo)學(xué)生解題。比如在學(xué)習(xí)（ab）ⁿ=aⁿbⁿ后，就編造出公式（a+b）ⁿ=aⁿ+bⁿ。

（二）不會用公式

學(xué)生學(xué)習(xí)了數(shù)學(xué)公式并不代表會運用這些公式來解決數(shù)學(xué)問題，常見的情況主要有以下兩種：

1.忽視公式條件。很多學(xué)生在學(xué)習(xí)公式過程中將數(shù)學(xué)公式與相關(guān)的公式使用條件分開，只管公式，忽略條件，而事實上這些條件往往都是公式能夠成立與使用的前提條件，如果脫離條件限制，那么公式就不成立，使用就會出錯。比如公式a⁰=1的使用條件為a≠0，一旦脫離條件，那么就是假命題，是錯誤的，而在數(shù)學(xué)考試過程中常常拿這些條件做文章，給學(xué)生設(shè)套。

2.不會活用公式。數(shù)學(xué)公式實質(zhì)上就是一個等式，按照等式的相關(guān)特性，我們可以對公式進行表型，可以逆用，也可以進行恒等變形，也就是變用公式。但是很多學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)公式都習(xí)慣事記硬背，尤其是那么數(shù)學(xué)基礎(chǔ)比較差的學(xué)生，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的思維靈活性不夠，習(xí)慣于公式順用，不會結(jié)合實際情況進行活用，這在很大程度上也是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力弱的一個表現(xiàn)。

三、初中數(shù)學(xué)開展公式學(xué)習(xí)的對策

（一）揭示公式間聯(lián)系要貫穿于數(shù)學(xué)公式教學(xué)的全過程

數(shù)學(xué)公式學(xué)習(xí)中的推導(dǎo)過程就是理清存在于數(shù)學(xué)對象之間的聯(lián)系與變化，從而更好的掌握公式中存在的規(guī)律的過程。注重數(shù)學(xué)公式之間的聯(lián)系，能夠盤活舊有的數(shù)學(xué)公式，更好的幫助學(xué)生完成相互聯(lián)系的公式的記憶與儲存，這個揭示聯(lián)系的過程并不會因為公式的推導(dǎo)結(jié)束而結(jié)束，它會存在整個公式學(xué)習(xí)的全部過程中。需要注意的是，很多學(xué)生習(xí)慣于對推導(dǎo)出的公式進行死記硬背，套用公式，并沒有真正掌握公式，使用時很容易犯錯。教師在教學(xué)過程中要注意引導(dǎo)學(xué)生進行公式推導(dǎo)，幫助學(xué)生完成公式理解的基礎(chǔ)上進行記憶，在推導(dǎo)過程中可以將某些公式的推導(dǎo)過程引入再現(xiàn)，調(diào)動學(xué)生對舊知識的以及，新舊知識串聯(lián)互動，真正做到公式的融會貫通。

（二）在數(shù)學(xué)公式教學(xué)中，要注意強調(diào)公式的適用范圍

針對很多學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)公式時存在的過度注重簡單的公式記憶，而忽略了對公式適用條件的記憶，造成對公式使用時不能根據(jù)具體情況的變化而變化，出現(xiàn)亂套公式的情況，教師在公式教學(xué)中要注意強調(diào)公式的使用條件，不僅要讓學(xué)生理解公式的結(jié)論與實際意義，還要讓學(xué)生注意到公式的應(yīng)用范圍，更加準(zhǔn)確牢固的完成對公式的記憶。

（三）在數(shù)學(xué)公式教學(xué)中，注意運用不同數(shù)學(xué)語言間的轉(zhuǎn)換

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中學(xué)生會接觸到各種不同的語言形式，無論是文字語言還是符號語言，又或者是圖形語言，都是數(shù)學(xué)語言的一種類型，數(shù)學(xué)公式往往都是借助字母與符號進行表達的符號語言，公式中的字母可以表示數(shù)字，又可以表示式，這種形式會造成學(xué)生甚至是教師都更注重符號語言，而忽略了借助文字與圖形也能夠?qū)?shù)學(xué)公式進行表達，揭示數(shù)學(xué)公式所表達的內(nèi)涵，在一定程度上會造成學(xué)生對數(shù)學(xué)公式的學(xué)習(xí)與理解存在片面性，停留在形式上。為了讓學(xué)生更好的開展數(shù)學(xué)公式學(xué)習(xí)，理解數(shù)學(xué)公式所表達的具體意義，教師在教學(xué)過程中除了符號表達，還應(yīng)該多指導(dǎo)學(xué)生借助不含字母的文字形式來對公式進行表述，根據(jù)實際情況借助圖形來幫助學(xué)生進行公式理解與掌握。用多種語言進行數(shù)學(xué)公式的表達雖然具有一定的繁瑣性，但是卻能夠更全面的對公式的性質(zhì)與特點進行理解與把握，尤其是通過圖形語言的表現(xiàn)，能夠?qū)⒊橄蟮墓睫D(zhuǎn)化為具體的圖像，將數(shù)學(xué)公式從符號語言轉(zhuǎn)化為具體的形式，是對數(shù)形結(jié)合思想的有效踐行。

數(shù)學(xué)公式的學(xué)習(xí)不僅僅是記住公式，更是學(xué)會對公式進行探索，學(xué)會推導(dǎo)公式并靈活使用公式來解決數(shù)學(xué)問題。數(shù)學(xué)公式學(xué)習(xí)過程實質(zhì)上也是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力，提升學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)的過程，只有讓學(xué)生明白公式是怎么來的，又要怎么用，掌握公式的結(jié)構(gòu)特征，并在解題過程中靈活運用，才是真正理解了數(shù)學(xué)公式，才能發(fā)揮數(shù)學(xué)公式學(xué)習(xí)對學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的積極作用。

參考文獻：

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