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    數(shù)形結(jié)合思想方法的發(fā)展歷程研究

    2018-01-26 10:20:50尚影
    教育界·下旬 2018年10期
    關(guān)鍵詞:歷史演進(jìn)思想方法數(shù)形結(jié)合

    尚影

    【摘要】中學(xué)數(shù)學(xué)的發(fā)展基本上就是圍繞著“數(shù)”和“形”這兩大基本概念進(jìn)行的。縱觀數(shù)學(xué)發(fā)展史,“數(shù)”與“形”最初是一體的,隨著社會(huì)的進(jìn)步,人們逐漸把“數(shù)”與“形”分離開來,后來人們又發(fā)現(xiàn),數(shù)形結(jié)合有利于問題的解決,人們又有意識(shí)地把“數(shù)”與“形”結(jié)合起來。

    【關(guān)鍵詞】數(shù)形結(jié)合;思想方法;歷史演進(jìn)

    【基金項(xiàng)目】阜陽幼兒師范高等專科學(xué)校教學(xué)研究校級(jí)重點(diǎn)項(xiàng)目“在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中有效運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想方法的教學(xué)研究與實(shí)踐”(編號(hào):ZLGC2017JY011)。

    一、數(shù)形結(jié)合思想方法概述

    (一)數(shù)學(xué)思想方法

    1.數(shù)學(xué)思想。人們對“數(shù)形結(jié)合思想”的論述不盡相同。

    丁石孫認(rèn)為,數(shù)學(xué)思想主要指數(shù)學(xué)研究方法的特點(diǎn)、數(shù)學(xué)與生產(chǎn)實(shí)踐的關(guān)系,以及數(shù)學(xué)發(fā)展的規(guī)律等。

    蔡上鶴認(rèn)為,數(shù)學(xué)思想是人們通過對生活中數(shù)量關(guān)系和空間形式的分析而總結(jié)出的數(shù)學(xué)理論的本質(zhì)。

    邵光華認(rèn)為,數(shù)學(xué)思想是人們對數(shù)學(xué)內(nèi)容的抽象和概括,是數(shù)學(xué)的本質(zhì)。

    綜上,數(shù)學(xué)思想是人們總結(jié)出的數(shù)學(xué)的本質(zhì)。數(shù)學(xué)思想包括很多方面,其中有數(shù)形結(jié)合的思想。

    2.數(shù)學(xué)方法。數(shù)學(xué)方法的表述主要有:數(shù)學(xué)方法是指解決具體數(shù)學(xué)問題的策略;數(shù)學(xué)方法是利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題;數(shù)學(xué)方法是人們在實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)的運(yùn)用數(shù)學(xué)思想解決問題的手段。

    數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)方法緊密相連,數(shù)學(xué)思想強(qiáng)調(diào)指導(dǎo)思想,而數(shù)學(xué)方法強(qiáng)調(diào)操作過程。

    (二)數(shù)形結(jié)合思想方法

    學(xué)術(shù)界對“數(shù)形結(jié)合”的解釋各有不同,下面是幾種常見的說法。

    張同君在《中學(xué)數(shù)學(xué)解題研究》中認(rèn)為,數(shù)形結(jié)合是在問題解決過程中,將數(shù)量關(guān)系和空間形式進(jìn)行結(jié)合,揭示問題的深層結(jié)構(gòu),從而達(dá)到順利解題的目的。

    任樟輝在《數(shù)學(xué)思維理論》中認(rèn)為,數(shù)形結(jié)合是數(shù)與形之間整體或局部的遷移。

    徐斌艷在《數(shù)學(xué)課程與教學(xué)論》中認(rèn)為,數(shù)形結(jié)合是通過抽象思維和形象思維的相互作用,以實(shí)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系與圖形性質(zhì)之間的相互轉(zhuǎn)化,將數(shù)量關(guān)系和圖形結(jié)合起來研究問題。

    數(shù)形結(jié)合是通過把抽象的數(shù)量關(guān)系和形象的圖形相互轉(zhuǎn)化,從而使抽象問題具體化,以利于問題的解決。

    數(shù)形結(jié)合包含兩方面:一是由數(shù)及形,利用“形”把問題中的數(shù)量關(guān)系形象地表示出來,化抽象為直觀,用幾何方法研究代數(shù)問題;一是由形及數(shù),利用代數(shù)方法研究幾何問題。

    二、數(shù)形結(jié)合思想方法的發(fā)展歷程

    (一)數(shù)學(xué)萌芽時(shí)期的數(shù)形結(jié)合

    在原始社會(huì),數(shù)和形是一體的,不分家的。正如周述岐所說:“天上一個(gè)太陽,人的一只手有五個(gè)指頭等等。”此時(shí)的數(shù)形結(jié)合是無意識(shí)的,這個(gè)時(shí)期人們還無法對數(shù)與形進(jìn)行區(qū)分。

    在數(shù)學(xué)的萌芽時(shí)期,人類在生活中經(jīng)常進(jìn)行采集、狩獵活動(dòng),后來他們逐漸發(fā)現(xiàn)一只鳥、一個(gè)果子、一棵樹等之間存在共通性,從而拋開事物的物質(zhì)本身抽象出了數(shù)。這就使數(shù)的概念從客觀事物中分離出來,“數(shù)”與“形”出現(xiàn)人類文明發(fā)展史上的第一次分離。隨著生產(chǎn)活動(dòng)的進(jìn)一步發(fā)展,社會(huì)生活出現(xiàn)了頻繁交易,記數(shù)變成了必要。記數(shù)經(jīng)歷了手指、石頭、結(jié)繩、刻痕等,后來出現(xiàn)了相應(yīng)的記數(shù)系統(tǒng)。記數(shù)又一次將數(shù)與形結(jié)合起來。這時(shí)的數(shù)形結(jié)合是人類有意識(shí)的行為。

    (二)古希臘時(shí)期的數(shù)形結(jié)合

    在古希臘數(shù)學(xué)中,“形數(shù)”被看作某些幾何圖形中點(diǎn)的數(shù)目,它們構(gòu)成了幾何學(xué)和算術(shù)之間的紐帶。三角形數(shù)、正方形數(shù)、五邊形數(shù)的幾何命名奠定了數(shù)形結(jié)合的基礎(chǔ),如下圖所示。

    結(jié)論1:正方形數(shù)是兩個(gè)相繼的三角形數(shù)之和,如圖4所示。

    結(jié)論2:第個(gè)五邊形數(shù)等于第個(gè)三角形數(shù)的三倍加上,如圖5所示。

    數(shù)學(xué)以幾何學(xué)為主要特征的代表作是《幾何原本》,這時(shí)人們通常從幾何的角度去研究等價(jià)的代數(shù)問題,數(shù)形結(jié)合的思想促進(jìn)了代數(shù)的發(fā)展。如,完全平方數(shù)的證明,大正方形的邊長為,兩個(gè)小正方形的邊長分別為和,由圖可知,大正方形的面積與四部分的面積之和相等,如圖6所示。

    再如,二項(xiàng)方程的幾何解法:已知長度分別為,,的三條線段,由平行線分線段成比例,解得方程,如圖7所示;在圓中直徑所對的圓周角為直角,根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例,得方程,如圖8所示。

    總之,這一時(shí)期通常用“形”來研究“數(shù)”的關(guān)系,畢達(dá)哥拉斯學(xué)派不接受無理數(shù)概念,他們認(rèn)為有些幾何量不能用“數(shù)”來度量。

    (三)我國古代數(shù)學(xué)中的數(shù)形結(jié)合思想

    我國古代數(shù)學(xué)也體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想,如三國時(shí)代吳國的數(shù)學(xué)家趙爽對勾股定理的證明就采用了數(shù)形結(jié)合的思想。

    趙爽在《周髀算經(jīng)》注中對勾股定理的證明:“按弦圖,又可以勾、股相乘為朱實(shí)二,倍之為朱實(shí)四,以勾股之差自相乘為中黃實(shí)。加差實(shí),亦成弦實(shí)。”

    設(shè)勾股形的三邊分別為,,,由圖和術(shù)可得:,將展開,即得勾股定理,如圖9所示。

    該證明體現(xiàn)了以形證數(shù)、數(shù)形結(jié)合的思想,為中國古代“數(shù)形結(jié)合”樹立了一個(gè)典范。著名數(shù)學(xué)家吳文俊認(rèn)為,在傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中,數(shù)量關(guān)系與空間形式是并肩發(fā)展的。17世紀(jì)笛卡爾發(fā)明的解析幾何正是這種現(xiàn)象的體現(xiàn)。

    (四)笛卡爾時(shí)代的數(shù)形結(jié)合

    1637年,法國著名數(shù)學(xué)家笛卡爾創(chuàng)立了解析幾何,被認(rèn)為是近世紀(jì)代數(shù)發(fā)展史上的一個(gè)里程碑。數(shù)軸的建立使代數(shù)與幾何聯(lián)系到一起,數(shù)軸上每個(gè)點(diǎn)都代表一個(gè)實(shí)數(shù),且每個(gè)實(shí)數(shù)都能找到一個(gè)點(diǎn)和它對應(yīng),即點(diǎn)和實(shí)數(shù)一一對應(yīng)。后來,笛卡爾又建立了平面直角坐標(biāo)系和空間直角坐標(biāo)系,這樣一來,就可以在坐標(biāo)系中解決所有的幾何圖形問題,在此基礎(chǔ)上,他創(chuàng)立了“解析幾何學(xué)”。解析幾何的創(chuàng)立把代數(shù)和幾何統(tǒng)一起來,數(shù)學(xué)有了數(shù)形結(jié)合的新思想,自此,“數(shù)”與“形”便真的結(jié)合起來了。笛卡爾的坐標(biāo)系曾被恩格斯稱為是“數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)折”。

    (五)現(xiàn)代數(shù)形結(jié)合

    現(xiàn)代數(shù)學(xué)研究中,人們常用“形”的術(shù)語來描述數(shù)量關(guān)系,指明其幾何意義。如非線性規(guī)劃的各種算法,如果不用幾何意義來描寫,就無法進(jìn)一步研究。尤其是一些算法的設(shè)計(jì),我們通常先設(shè)想一個(gè)幾何形象,從幾何角度進(jìn)行研究后,再用解析法加以描述,這完全是“數(shù)形”結(jié)合的研究過程??梢?,數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)發(fā)展的必然,它貫穿于數(shù)學(xué)發(fā)展的全過程。

    華羅庚先生在《談?wù)勁c蜂房結(jié)構(gòu)有關(guān)數(shù)學(xué)問題》中寫道:“數(shù)無形時(shí)少直覺,形少數(shù)時(shí)難入微。數(shù)形結(jié)合百般好,隔離分家萬事非?!敝链?,“數(shù)形結(jié)合”一詞開始得到大家的普遍認(rèn)可。

    三、小結(jié)

    數(shù)形結(jié)合給我們提供了一個(gè)解決問題的方法,能將復(fù)雜問題簡單化。數(shù)形結(jié)合思想方法經(jīng)歷了一個(gè)漫長的發(fā)展歷程,它是隨著社會(huì)的不斷進(jìn)步而發(fā)展起來的,它的每一次發(fā)展都代表著人們數(shù)學(xué)思維方式的改變,是人類文明發(fā)展的必然結(jié)果。

    【參考文獻(xiàn)】

    [1]藏雷.試析數(shù)學(xué)思想的含義及基本特征[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考,1998(5):2-3.

    [2]羅增儒.數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)[J].中學(xué)教研:數(shù)學(xué)版,2004(07):28-33.

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