運(yùn)用數(shù)形結(jié)合，依托表象思維，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思想

福建省泉州市豐澤區(qū)實(shí)驗(yàn)小學(xué) 王鳳龍

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：“通過義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生能夠獲得適應(yīng)未來社會(huì)生活和進(jìn)一步發(fā)展所必需的重要數(shù)學(xué)知識(shí)以及基本的數(shù)學(xué)思想方法和必要的應(yīng)用技能?！睌?shù)學(xué)思想有許多，而數(shù)形結(jié)合思想就是其中一種重要的思想。華羅庚先生說過：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，割裂分家萬事休?！边@句話足以證明“數(shù)形結(jié)合”在數(shù)學(xué)中的重要地位。下面就“數(shù)形結(jié)合”思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用談些粗淺的想法。

一、數(shù)形結(jié)合，直觀理解，建構(gòu)概念

課標(biāo)指出：幾何直觀可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)。數(shù)學(xué)概念的引入是學(xué)生形成概念的初始階段，是學(xué)生學(xué)習(xí)概念十分重要的環(huán)節(jié)。小學(xué)生以形象思維為主，在概念學(xué)習(xí)的初始階段，需要教師為學(xué)生提供實(shí)物、圖形等直觀材料，幫助學(xué)生在直觀感知的基礎(chǔ)上形成表象，深入理解，達(dá)到自主建構(gòu)的目的。

例如北師大版三年級(jí)上冊(cè)《平均分》一課，教師首先提供了大量的直觀材料，有平均分與非平均分的圖，引導(dǎo)學(xué)生觀察并思考：“如果讓你分類，你準(zhǔn)備怎么分？”學(xué)生激動(dòng)興奮地回答：“可以把平均分的分一類，沒平均分的分一類?！痹诮處煹膯l(fā)下，學(xué)生有了多種優(yōu)化的分法。教師根據(jù)學(xué)生的回答，隱去不平均分的，留下平均分的，制作出平均分成2份、平均分成3份、平均分成4份等的表格。學(xué)生經(jīng)過觀察、辨析、比較，初步形成了“整體與部分”的關(guān)系表象。有了平均分的豐富體驗(yàn)后，教師又出示1個(gè)蛋糕平均分的過程：一個(gè)蛋糕用1表示，把它平均分成兩份，其中一份還能用1表示嗎？學(xué)生的認(rèn)知一下子產(chǎn)生了沖突，一個(gè)新的數(shù)“二分之一”產(chǎn)生了，學(xué)生通過語言、動(dòng)作等多種表征后，對(duì)蛋糕的二分之一有了初步的建構(gòu)，并遷移到三角形的二分之一、圓形的二分之一等。教師不失時(shí)機(jī)地追問：“這些圖形的形狀、大小都不同，為什么都能表示二分之一？”學(xué)生再次產(chǎn)生思維的碰撞，在深入的討論、觀察、比較中，培養(yǎng)了學(xué)生透過現(xiàn)象發(fā)現(xiàn)其中本質(zhì)的能力，學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)的內(nèi)涵形成了更深刻的認(rèn)識(shí)。

又如，“近似數(shù)”一課中，讓學(xué)生掌握用“四舍五入法”求一個(gè)數(shù)的近似數(shù)是本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)。通常我們會(huì)直接告訴學(xué)生“四舍五入法” 這一概念，然后通過大量的練習(xí)來強(qiáng)化求近似數(shù)的方法。那么我們不妨反思：學(xué)生做對(duì)了是否表明學(xué)生已經(jīng)很好地理解了“四舍五入法”的含義呢？是否有部分學(xué)生的解題活動(dòng)完全建立在對(duì)概念的機(jī)械模仿上呢？事實(shí)上，這種機(jī)械模仿的情況是客觀存在的。如何幫助學(xué)生從本質(zhì)上理解“四要舍、五要入”的意義呢？我們可以想到把直觀的數(shù)軸引進(jìn)這節(jié)課，在數(shù)軸上找最近的路，把四舍五入放到數(shù)軸上展開學(xué)習(xí)，利用數(shù)形結(jié)合幫助學(xué)生建立一個(gè)形象的數(shù)學(xué)模型，從而加深學(xué)生對(duì)“四舍五入法”的理解。

正因?yàn)榻處煶浞植扇?shù)形結(jié)合的教學(xué)策略，引導(dǎo)學(xué)生依托鮮活的“形”去思考凝練的“數(shù)”，讓學(xué)生用圖形說話、用圖形描述問題、用圖形討論問題，形成概念、發(fā)展規(guī)律，促進(jìn)抽象思維的發(fā)展。

二、數(shù)形結(jié)合，演繹歸納，理解算理

在數(shù)的運(yùn)算教學(xué)中，對(duì)于一些抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)、運(yùn)算定律等，可以充分利用圖形的幾何直觀，通過數(shù)形結(jié)合的方法，幫助學(xué)生理解和接受抽象的內(nèi)容與方法，把握運(yùn)算的本質(zhì)，促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。算理是四則運(yùn)算的理論依據(jù)，是由數(shù)學(xué)概念、運(yùn)算定律、運(yùn)算性質(zhì)等構(gòu)成的，它是計(jì)算的原理與依據(jù)，而運(yùn)算法則是四則運(yùn)算的基本程序和方法。教學(xué)中要讓學(xué)生在理解算理的基礎(chǔ)上掌握算法，即“知其然又知其所以然”，可以以圖形為載體，巧妙地將算式與直觀圖形相結(jié)合，把抽象的算理具體化、形象化，運(yùn)用直觀模型來幫助學(xué)生感知與理解算理。

例如在北師大版四年級(jí)上冊(cè)《乘法交換律和乘法結(jié)合律》一課，教師在一個(gè)集合圈中分別放了一堆紅色、藍(lán)色圓片，讓學(xué)生觀察思考：是紅圓片加藍(lán)圓片多，還是藍(lán)圓片加紅圓片多？學(xué)生通過直觀圖形，清楚地看明白無論怎么加，都是求這兩種圓片的總數(shù)，是一樣多的。教師接著出示3×4與4×3 方塊圖的集合圈，讓學(xué)生明白兩種乘法都是求一共有多少個(gè)方塊。好的教學(xué)一定是源于對(duì)內(nèi)容本質(zhì)的理性把握與深刻分析。實(shí)踐證明，圖形的支撐豐富和深化了學(xué)生對(duì)運(yùn)算定律內(nèi)涵的認(rèn)識(shí)，更利于幫助學(xué)生建構(gòu)運(yùn)算律的模型，進(jìn)一步幫助學(xué)生積累研究問題的經(jīng)驗(yàn)與方法，發(fā)展數(shù)學(xué)思維能力。

三、數(shù)形結(jié)合，靈活機(jī)變，解決問題

運(yùn)用數(shù)形結(jié)合有時(shí)能使數(shù)量之間的內(nèi)在聯(lián)系變得比較直觀，成為解決問題的有效方法之一。在分析問題的過程中，注意把數(shù)和形結(jié)合起來考察，根據(jù)問題的具體情形，把圖形的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系的問題，或者把數(shù)量關(guān)系的問題轉(zhuǎn)化為圖形的問題，使復(fù)雜問題簡單化、抽象問題具體化，化難為易，能調(diào)動(dòng)學(xué)生主動(dòng)積極參與學(xué)習(xí)，能提高學(xué)生的思維能力。

如教學(xué)《圓的面積》后，教師提問：正方形的面積為8平方厘米，從中截取一個(gè)最大的圓，圓的面積是多少？學(xué)生遇到這樣的問題往往會(huì)覺得無從下手。這時(shí)，幾何直觀可以充分發(fā)揮其效力：幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)。把正方形平均分成四個(gè)小正方形，每個(gè)小正方形的面積就是2平方厘米。學(xué)生通過觀察可以發(fā)現(xiàn)，每個(gè)小正方形的邊長正好是圓的半徑。由此可知，圓半徑的平方就等于2平方厘米。學(xué)生一下子豁然開朗，解答本題，并不需要“按常規(guī)”“走老路”，而是靈活機(jī)變地另辟蹊徑，從圓的半徑的平方入手。

這樣借助圖形的直觀教學(xué)，可以讓學(xué)生的思維“跳出圈子”，以更靈活的角度來思考、分析、解決問題。經(jīng)過這樣靈活變通的學(xué)習(xí)過程，培養(yǎng)了學(xué)生勇于嘗試、探索創(chuàng)新的精神，提高了學(xué)生解決問題的能力。

思維作為一個(gè)認(rèn)知過程，總是與個(gè)體的動(dòng)機(jī)、興趣情感等密切聯(lián)系并受其制約，相信只要不斷激發(fā)學(xué)生的興趣，啟迪學(xué)生的動(dòng)機(jī)，就能夠有效地增強(qiáng)學(xué)生的邏輯思維能力和空間想象能力。巧妙地滲透、應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想，既能為小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)開辟一片廣闊的天地，又能為學(xué)生的終身學(xué)習(xí)和可持續(xù)發(fā)展奠定扎實(shí)的基礎(chǔ)。