數(shù)學(xué)概念教學(xué)的八個(gè)“關(guān)注”

福建省福安市高級(jí)中學(xué) 陳 雄

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)教學(xué)的核心內(nèi)容，是數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)，是萬(wàn)木之本，百水之源，是進(jìn)行判斷、推理、證明等邏輯思維的依據(jù)?！镀胀ǜ咧袛?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》提出“學(xué)生能在情境中抽象出數(shù)學(xué)概念，積累從具體到抽象的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，把握事物的本質(zhì)”。因此，關(guān)注數(shù)學(xué)的概念教學(xué)，提高教學(xué)效果是值得研究的。

一、關(guān)注核心素養(yǎng)，提升抽象概括能力

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》提出數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，其中，“數(shù)學(xué)抽象”位居首位，“數(shù)學(xué)抽象”指的是舍去事物的一切物理屬性，得到數(shù)學(xué)研究對(duì)象的思維過(guò)程。數(shù)學(xué)概念獲得的過(guò)程是最典型的數(shù)學(xué)抽象過(guò)程。例如：函數(shù)概念教學(xué)中給出三個(gè)生活實(shí)例：“炮彈射高”“臭氧層空洞”“恩格爾系數(shù)”，這三個(gè)實(shí)例分別展現(xiàn)了函數(shù)的三種形式：“解析式”“圖象式”“列表式”，提煉這三個(gè)實(shí)例的共性：三個(gè)實(shí)例變量之間存在著某種對(duì)應(yīng)關(guān)系，最后抽象概括出“集合與對(duì)應(yīng)”觀點(diǎn)的函數(shù)定義。

二、關(guān)注概念的來(lái)源，加強(qiáng)優(yōu)秀傳統(tǒng)文化教育

著名數(shù)學(xué)家希爾伯特說(shuō)過(guò)：“在每個(gè)數(shù)學(xué)分支中，那些最初、最老的問(wèn)題肯定是源于經(jīng)驗(yàn)，是由外部的現(xiàn)象世界提出來(lái)的?！彼惴ǖ母拍罱虒W(xué)時(shí)，應(yīng)介紹算法的來(lái)源，從數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史來(lái)看，算法概念古已有之，算籌是中國(guó)古代的計(jì)算工具，在春秋時(shí)期已經(jīng)很普遍，算盤在明代開始盛行，今天仍在使用，中國(guó)古代的割圓術(shù)、秦九韶算法都是很經(jīng)典的算法。因此，算法教學(xué)中應(yīng)讓學(xué)生了解中國(guó)古代數(shù)學(xué)的輝煌成就及對(duì)世界數(shù)學(xué)發(fā)展的貢獻(xiàn)，加強(qiáng)中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化教育。

三、關(guān)注概念的定義方式，選擇合適的教學(xué)方法

數(shù)學(xué)概念的定義方式一般有關(guān)系定義法、發(fā)生定義法、歸納定義法、約定式定義法。 關(guān)系定義法，它是以被定義概念所反映的對(duì)象與另一對(duì)象之間的關(guān)系作為定義的方式，例如：若ab=N，則logaN=b（a＞0，a≠1）。發(fā)生式定義方法，它是以被定義概念所反映的對(duì)象產(chǎn)生或形成的過(guò)程下定義的，例如：“在平面內(nèi)，一個(gè)動(dòng)點(diǎn)與兩個(gè)定點(diǎn)的距離和等于定長(zhǎng)（定長(zhǎng)大于兩個(gè)定點(diǎn)的距離）運(yùn)動(dòng)所產(chǎn)生的軌跡叫橢圓。”關(guān)系定義法、發(fā)生定義法在教學(xué)時(shí)應(yīng)注重概念的產(chǎn)生過(guò)程，教學(xué)一般采用發(fā)現(xiàn)式、探究教學(xué)法，例如：橢圓概念教學(xué)時(shí)，請(qǐng)學(xué)生借助自制教具：木板、細(xì)繩、圖釘、鉛筆，同學(xué)合作按要求畫橢圓，同時(shí)配合多媒體演示畫橢圓，經(jīng)歷知識(shí)的形成過(guò)程，積累感性經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生通過(guò)觀察、討論、概括出橢圓的定義，這樣既獲得了知識(shí)，又培養(yǎng)了學(xué)生抽象思維的能力。歸納定義法，這是一種給出概念外延的定義法，例如：實(shí)數(shù)和虛數(shù)統(tǒng)稱為復(fù)數(shù)；橢圓、雙曲線和拋物線叫圓錐曲線等等，都是這種定義法。揭示外延的定義方法還采用約定的方法，因而也稱約定式定義方法，例如：a0=1（a≠0），0!=1。歸納定義法、約定式定義法在教學(xué)時(shí)一般采用講授式教學(xué)方法，應(yīng)關(guān)注概念的合理性。

四、關(guān)注概念的內(nèi)涵與外延，多方面理解概念

每個(gè)概念都有其基本條件，這就是內(nèi)涵，只有正確理解分析條件，才能抓住概念的本質(zhì)特征，防止條件不充分的錯(cuò)誤。如學(xué)習(xí)二面角的平面角這一概念時(shí)，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)三個(gè)基本條件：（1）頂點(diǎn)在棱上；（2）角的兩邊分別在二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)；（3）角的兩邊和棱垂直。同時(shí)，每個(gè)概念又有其所包含的內(nèi)容，這就是概念的外延，這時(shí)，需抓住概念的表象特征，防止出現(xiàn)混淆不清的現(xiàn)象。例如：講解二面角的平面角時(shí)，應(yīng)對(duì)其外延范圍［0，π］進(jìn)行研究，防止受直線與直線所成角無(wú)鈍角這一事實(shí)所干擾。

五、關(guān)注聯(lián)系相近概念，增強(qiáng)記憶效果

事物之間是普遍聯(lián)系的，概念之間也是普遍聯(lián)系的。若按照一定規(guī)律加強(qiáng)或削弱條件，就可以形成一類新概念，如在四棱柱、直四棱柱、長(zhǎng)方體、正四棱柱、正方體之間就存在密切的聯(lián)系。按照類比的思想考察概念的相似性，亦可學(xué)習(xí)新概念。如介紹二面角的概念，可采用類比法提問(wèn)：平面幾何中，角是怎樣定義的？角是平面內(nèi)的一點(diǎn)引出兩條射線所形成的圖形。若用空間的一條直線代替平面內(nèi)的一點(diǎn)，過(guò)此直線的兩個(gè)半平面代替從平面內(nèi)一點(diǎn)引出的兩條射線，這樣定義二面角，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)知識(shí)間的聯(lián)系與發(fā)展，有助于加深理解概念，增強(qiáng)記憶效果。

六、關(guān)注概念辨別對(duì)比，清晰概念本質(zhì)

對(duì)于新知識(shí)的認(rèn)識(shí)，開始階段往往并不深刻，甚至易混淆，發(fā)生錯(cuò)誤或片面下結(jié)論，這需要教師清晰概念，具體做法就是通過(guò)思考解答一組與所學(xué)概念有關(guān)的辨析題來(lái)澄清模糊認(rèn)識(shí)，排除錯(cuò)誤觀念，正本清源，強(qiáng)化對(duì)概念的理解。例如：學(xué)習(xí)橢圓定義后，用以下填空題清晰概念：（1）到F1（-2，0），F(xiàn)2（2，0）的距離之和為6的點(diǎn)M的軌跡為_______。（2）到F1（-2，0），F(xiàn)2（2，0）的距離之和為4的點(diǎn)M的軌跡為_______。（3）到F1（-2，0），F(xiàn)2（2，0）的距離之和為3的點(diǎn)M的軌跡為__________。

七、關(guān)注構(gòu)造反例，培養(yǎng)逆向思維能力

教材中，多以正面的例子幫助學(xué)生理解鞏固數(shù)學(xué)概念。教學(xué)過(guò)程中，若能用逆向思維構(gòu)造反例，也是一種理解抽象的捷徑。在向量概念的教學(xué)中，學(xué)生往往停留在數(shù)量概念的認(rèn)識(shí)，則可用如下判斷題：（1） 向量的模的取值范圍是（0，+∞）。（2）若都是單位向量，則（3）若則的方向相同。（4）若則以上判斷題可構(gòu)造反例辨析，緊扣向量的相關(guān)概念，同時(shí)關(guān)注零向量，加深對(duì)概念的理解與記憶，培養(yǎng)逆向思維能力。

八、關(guān)注概念的應(yīng)用，鞏固深化概念

由于數(shù)學(xué)概念具有高度抽象的特點(diǎn)，容易遺忘或者概念間交叉混淆，不易立刻達(dá)到牢固掌握的程度，所以鞏固概念是十分重要的，在古典概型概念教學(xué)時(shí)，學(xué)生往往會(huì)忽視古典概型的兩個(gè)特征，錯(cuò)用古典概型概率計(jì)算公式，例如：一個(gè)家庭中有2個(gè)孩子，按性別列舉這兩個(gè)孩子的基本事件，并求都是男孩的概率。學(xué)生在列舉時(shí)往往誤認(rèn)為（男，女），（女，男）是同一基本事件，忽略每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等這一特點(diǎn)，以至認(rèn)為都是男孩的概率是因此，在教學(xué)中應(yīng)結(jié)合實(shí)例應(yīng)用進(jìn)行深入討論，加深對(duì)概念的理解。

總之，在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，必須關(guān)注概念的來(lái)源、表征、內(nèi)涵、外延、對(duì)比、性質(zhì)、應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力。

[1]中華人民共和國(guó)教育部制訂．普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）[M]．北京：人民教育出版社．

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[3]胡吉蔚．精致數(shù)學(xué)概念設(shè)計(jì)，提升數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)[J]．?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)通訊，2017（3）：22-23．