淺議向量在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

王瀝晗

摘要：高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的內(nèi)容比較多，但是高考關(guān)于向量的考試側(cè)重點(diǎn)卻比較明確，題型基本固定，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中掌握好基礎(chǔ)性向量知識(shí)，正確區(qū)分向量類型能有效幫助我們解題。為此本文結(jié)合目前身邊同學(xué)們的學(xué)習(xí)現(xiàn)狀，從向量在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用角度分析我們應(yīng)該如何運(yùn)用向量提高數(shù)學(xué)解題能力。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；向量；解題；數(shù)學(xué)思維能力

一、向量概述

數(shù)學(xué)中的向量是指大小、方向都能確定的一種量，主要由線和箭頭組成。一般情況下箭頭標(biāo)明的是具體方向，而線段長(zhǎng)度可視作這個(gè)量的大小。

二、向量在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用分類

向量一般不會(huì)單獨(dú)設(shè)定考題，往往和數(shù)學(xué)其他問(wèn)題融合在一起成為考題，而根據(jù)向量的一般解決辦法，我們就能做出正確答案。其中向量運(yùn)算的基本規(guī)律是我們學(xué)習(xí)向量的關(guān)鍵，要熟練掌握以下三個(gè)基本公式：

結(jié)合我們?cè)谡n堂中接觸的實(shí)際來(lái)看，其中向量對(duì)高中數(shù)學(xué)其他問(wèn)題進(jìn)行綜合應(yīng)用的情況非常多，現(xiàn)就數(shù)量積、三角函數(shù)、幾何等三方面進(jìn)行分析：

1.與平面向量數(shù)量積有關(guān)的問(wèn)題。通常在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中我們經(jīng)常會(huì)遇到垂直證明問(wèn)題、長(zhǎng)度求解問(wèn)題、夾角問(wèn)題等，這些問(wèn)題從正面解決的難度比較大，因而需要從側(cè)面，借助向量來(lái)實(shí)現(xiàn)求解。

2.向量與三角函數(shù)融合問(wèn)題。三角函數(shù)通常是帶有直角坐標(biāo)系這種類型的，向量在其中能確定方向和大小，從而和三角函數(shù)實(shí)現(xiàn)融合，使得題型增加變數(shù)，解答需要從向量使用入手。

3.向量與幾何的結(jié)合問(wèn)題。在我們高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中時(shí)常會(huì)遇到幾何證明題與向量的結(jié)合情況，需要借助向量加減、乘積等實(shí)現(xiàn)幾何題的證明。

三、向量在高中數(shù)學(xué)中的題型應(yīng)用

例題1：若向量

=（1， 1），

=（2， 5），

=（3， x）滿足條件8（

-

）·

，那么x=（ ）。

解：根據(jù)題干我們可以很容易發(fā)現(xiàn)，這道題的考察主要方向是針對(duì)平面向量運(yùn)算的，其中有涉及向量坐標(biāo)運(yùn)算，也有考察數(shù)量積的問(wèn)題，為此我們應(yīng)該要快速回憶所學(xué)的知識(shí)點(diǎn)，思考如何分解條件，解出答案。做題時(shí)，我們要有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)邏輯思維，確定解題方向后，做好每一個(gè)解題步驟的規(guī)范有序。

第一步先進(jìn)行括號(hào)內(nèi)的坐標(biāo)運(yùn)算：

8（

-

）=8（1， 1）-（2， 5）=（6， 3）

第二步，拆解條件，做好數(shù)量積運(yùn)算準(zhǔn)備：

8（

-

）·

=（6， 3）·（3， x）

第三步，整理后即可獲得一元一次方程，獲得正確答案：18+3x=30，解得x=4。

例2：在直角坐標(biāo)系xOy中，已知向量

=（-1， 2），又點(diǎn)A（8， 0），B（ksinθ， t）（0≤θ≤

）

若

，且

，求向量

。

解：在看到這樣的題時(shí)，我們很容易從中看出向量和三角函數(shù)融合的情形，那么在解題時(shí)就要有明確的思路，先確定從平面向量坐標(biāo)運(yùn)算入手的方向，抓住向量基本運(yùn)算公式的要點(diǎn)，逐步求解。

第一步，根據(jù)條件進(jìn)行平面向量坐標(biāo)運(yùn)算，根據(jù)垂直條件，運(yùn)用垂直計(jì)算公式，可得：

由此可發(fā)現(xiàn)，我們初步確立了兩個(gè)未知數(shù)，可以聯(lián)立得到一個(gè)二元一次方程，通過(guò)化簡(jiǎn)可得：

實(shí)際上我們可以分析得出，向量與三角函數(shù)的題型解決辦法在于把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為常見(jiàn)的代數(shù)，然后進(jìn)行運(yùn)算，這樣能節(jié)省我們更多的時(shí)間，也更加有利于我們找到解題思路，得到正確答案。

例3：已知向量

，

滿足

·

=0，|

|=1，|

|=2，則|2

-

|等于（ ）。

解：這種題實(shí)際上從表面看是在考察我們向量的簡(jiǎn)單運(yùn)算，并且涉及數(shù)量積、綜合運(yùn)算等問(wèn)題，相對(duì)比較簡(jiǎn)單，但如果按照常規(guī)解法，我們需要很大的計(jì)算量，具體公式如下：

第一步，要用到根號(hào)（很大一部分同學(xué)容易忘記，或者記錯(cuò)）：

第二步，要用到開(kāi)平方公式（這個(gè)公式很多同學(xué)就更不容易理解和應(yīng)用了）：

但是我們根據(jù)幾何中數(shù)形結(jié)合的思想，我們很容易從已知條件

·

=0得到：以向量

，

為鄰，可以實(shí)現(xiàn)數(shù)形變化，形成一個(gè)新的矩形輔助解題。然后確定邊長(zhǎng)和寬，借助已知條件得到|

|=1，|

|=2。由此我們就可以構(gòu)建出幾何圖形輔助解出正確答案，如圖1。

四、總結(jié)

綜上所述，向量在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的應(yīng)用分析還是需要我們學(xué)生多掌握基礎(chǔ)知識(shí)，從坐標(biāo)運(yùn)算的基本步驟，到公式的轉(zhuǎn)化應(yīng)用，都需要進(jìn)行記憶和練習(xí)，才能在解題中有基礎(chǔ)保障。然后在學(xué)習(xí)中我們還要多向老師請(qǐng)教，吸取做題的技巧，雙管齊下，才能更好的提升自己的數(shù)學(xué)解題能力。

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