高階方向?qū)?shù)的計(jì)算公式及其它

陳麒先, 萬正蘇

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高階方向?qū)?shù)的計(jì)算公式及其它

陳麒先, 萬正蘇

(湖南理工學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院, 湖南 岳陽 414006)

利用張量積推導(dǎo)出高階方向?qū)?shù)的計(jì)算公式, 并舉例說明高階方向?qū)?shù)和高階偏導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系.

高階方向?qū)?shù); 張量積; 計(jì)算公式; 高階偏導(dǎo)數(shù)

0引言

科學(xué)和工程技術(shù)中的許多問題不僅要考慮函數(shù)沿各個(gè)方向軸的變化率即偏導(dǎo)數(shù), 還需設(shè)法求得函數(shù)沿任意指定方向的變化率即對指定方向的方向?qū)?shù). 方向?qū)?shù)是多元函數(shù)微分學(xué)中的一個(gè)重要概念, 是研究多元函數(shù)性質(zhì)的重要手段, 關(guān)于其研究的成果很多. 在已有的研究中, 關(guān)于高階方向?qū)?shù)的研究甚少. 文[1]中作者在給出二階方向?qū)?shù)定義并得到計(jì)算公式后, 定義了高階方向?qū)?shù), 并探討了高階方向?qū)?shù)的應(yīng)用, 但沒有給出高階導(dǎo)數(shù)的計(jì)算公式, 因此本文將研究高階方向?qū)?shù)的計(jì)算以及高階方向?qū)?shù)和高階偏導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系.

全文安排如下: 首先利用張量積推導(dǎo)高階導(dǎo)數(shù)的計(jì)算公式, 然后舉例說明高階方向?qū)?shù)和高階偏導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系.

1 高階方向?qū)?shù)的計(jì)算公式

本節(jié)推導(dǎo)高階方向?qū)?shù)的計(jì)算, 為此要用到如下定義和引理.

為了得到三階及三階以上的方向?qū)?shù)的通用計(jì)算公式, 先考慮三階情形.

證明由已知條件以及引理1.1和引理1.2可得

其中

證明采用數(shù)學(xué)歸納法.

這說明定理1.2仍成立. 故對任意不小于2的自然數(shù), 定理1.2恒成立.

2 高階方向?qū)?shù)與高階偏導(dǎo)數(shù)的關(guān)系

本節(jié)主要以二階情形為例來說明高階方向?qū)?shù)與高階偏導(dǎo)數(shù)的關(guān)系.

其中

例2 討論函數(shù)

且

其中

例1說明函數(shù)沿任意兩個(gè)方向的二階方向?qū)?shù)都存在, 但二階偏導(dǎo)數(shù)不一定存在. 例2說明函數(shù)的所有二階偏導(dǎo)數(shù)都存在, 但沿任意兩個(gè)方向的二階方向?qū)?shù)不一定不存在. 雖然二階方向?qū)?shù)的存在性和二階偏導(dǎo)數(shù)的存在性之間沒有必然的聯(lián)系, 但它們之間還是有一定關(guān)系的. 事實(shí)上, 引理1.2說明所有二階偏導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù)是沿任意兩個(gè)方向的二階方向?qū)?shù)存在的充分條件, 而且若取如下四個(gè)方向

則不難得到下面幾個(gè)結(jié)論.

3 結(jié)束語

本文推出了高階方向?qū)?shù)的計(jì)算公式, 并研究了二階方向?qū)?shù)與二階偏導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系. 雖然本文的研究都是針對于二元函數(shù)的, 但本文的所有結(jié)論都可以推廣到一般多元函數(shù).

[1] 隋允康. 高階方向?qū)?shù)及其應(yīng)用[J]. 北京工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào), 2010, 36(8): 1135~1140

[2] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系. 數(shù)學(xué)分析[M]. 第4版. 北京: 高等教育出版社, 2012

[3] 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系. 高等數(shù)學(xué)[M]. 北京: 高等教育出版社, 2007

A Cumputational Formula for Higher Order Directional Derivatives and Others

CHEN Qixian, WAN Zhengsu

(College of Mathematics, Hunan Institute of Science and Technology, Yueyang 414006, China)

In this paper, we use the vector product to derive a computational formula for higher order directional derivatives. Furthermore, we investigate the relationship between higher order directional derivatives and higher order partial derivatives.

higher order directional derivative, tensor product, computational formula, higher order partial derivative

2017-10-03

陳麒先(1993? ), 男, 湖南宜章人, 湖南理工學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院碩士研究生. 主要研究方向: 數(shù)學(xué)教育

O172

A

1672-5298(2017)04-0003-05