向量在幾何中的應(yīng)用

王寧齊

摘 要：向量作為數(shù)學(xué)中重要的內(nèi)容之一，具有幾何形式和代數(shù)形式的雙重性質(zhì)，也是數(shù)與形之間轉(zhuǎn)換的重要橋梁。因此，向量在幾何中具有廣泛的應(yīng)用，可以說是解答幾何問題的有力工具。本文以向量的涵義為出發(fā)點(diǎn)，通過實(shí)例分析了向量在平面幾何、解析幾何和立體幾何這三個方面的應(yīng)用，以充分顯示向量獨(dú)特的優(yōu)勢。

關(guān)鍵詞：向量；幾何；應(yīng)用

中圖分類號：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：B 文章編號：1002-7661（2017）05-234-01

一、向量

向量是可以用帶箭頭的線段來表示的既具有大小又具有方向的量，其中箭頭指示的方向就是向量的方向；線段的長度就是向量的大小。

二、向量在幾何中的應(yīng)用

向量是形與數(shù)的高度統(tǒng)一，它既具有幾何的直觀，又具有代數(shù)運(yùn)算的簡便。所以，向量在幾何中的作用是非常重要的。接下來我們通過實(shí)例從平面幾何、解析幾何和立體幾何這三個方面討論下向量的應(yīng)用。

（1）向量在平面幾何中的應(yīng)用

利用向量解決平面幾何的問題，一般分為幾個步驟：一是將題設(shè)和結(jié)論中的條件轉(zhuǎn)化成合適的向量；二是確定相應(yīng)的基底向量，并利用基底向量代替其他向量；三是利用向量的運(yùn)算，比如數(shù)量積和向量的加減法來進(jìn)行解題。

1.證明三點(diǎn)共線

例1：已知△ABC，P、Q分別是其兩邊AB、AC的中點(diǎn)，在BQ的延長線上取一點(diǎn)M，使QM=BQ，在CP的延長線上取一點(diǎn)N，使PN=CP。求證：M、A、N三點(diǎn)共線。

首先看到結(jié)論三點(diǎn)共線 ，我們要想到相關(guān)的結(jié)論：平面上三點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)共線 = 。接著設(shè) = ， = ，那么 = ， = ，由此可以得到 = = - ， = = - ，所以- = + ， =-（ + - ）=-（ - ）= - ，同樣- = + =-（ + - ）= - ，所以 = - ，也就是說 = ，因此 // ，而且它們有公共點(diǎn)A，所以M、A、N三點(diǎn)共線。

2.證明平行問題

例2：證明四邊形各中點(diǎn)所得到的四邊形是平行四邊形。

要證明平行四邊形，只需要證明一組對邊平行且相等，也就是它們對應(yīng)的向量相等就可以。首先作一個四邊形ABCD，M、N、P、Q分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，證明MNPQ是平行四邊形。接著連接AC，因?yàn)镸、N分別是AB、BC的點(diǎn)，所以 = + = + = （ + ）= ，同理推出 = ，所以 = ，那么MN//QP且MN=QP，所以四邊形MNPQ是平行四邊形。

（2）向量在解析幾何中的應(yīng)用

向量具有代數(shù)和幾何的雙重性質(zhì)，數(shù)與形是結(jié)合在一起的，而解析幾何也是數(shù)與形的結(jié)合，所以向量與解析幾何之間有著密切的聯(lián)系。

1.夾角的問題

例3：已知雙曲線 - =1（a>0，b>0）的離心率e= ，點(diǎn)A與點(diǎn)F分別是雙曲線的左頂點(diǎn)與右焦點(diǎn)，B（0，b），求∠ABF的大小。

根據(jù)已知條件，設(shè)A（-a，0），F(xiàn)（c，0）， =（-a，-b）， =（c，-b），由e= = 推出c= 。 · =-ac+b2=-ac+c2-a2=a2（e2-e-1）=a2[（ ）2- -1）]=0，所以 ，即BA BF，∠ABF=90°。

2.坐標(biāo)取值范圍的問題

例4：已知橢圓 + =1的焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2，M是其上的動點(diǎn)，當(dāng)∠F1MF2是鈍角時，求點(diǎn)M橫坐標(biāo)的取值范圍。

根據(jù)已知條件知道F1（- ，0），F(xiàn)2（ ，0），設(shè)M（3cosθ，2sinθ）， =（- -3cosθ，-2sinθ）， =（ -3cosθ，-2sinθ），那么 · =9cos2θ-5+4sin2θ=5cos2θ-1<0，所以得到-

（3）向量在立體幾何中的應(yīng)用

立體幾何要解決的主要問題是空間圖形的大小、形狀及其位置關(guān)系等，而向量具有數(shù)形兼?zhèn)涞奶攸c(diǎn)，與代數(shù)、幾何知識聯(lián)系緊密。利用向量解決立體幾何問題，就是建立相關(guān)的直角坐標(biāo)系，把圖形中的相關(guān)點(diǎn)用坐標(biāo)表示出來，相關(guān)的線段用向量表示出來，從而將空間問題問題轉(zhuǎn)化成為坐標(biāo)運(yùn)算，這樣就避開了輔助線的添加等復(fù)雜的求解，大大簡化了求解的過程。

三、總結(jié)

向量既具有代數(shù)形式的特點(diǎn)，又具有幾何形式的特點(diǎn)，所以向量與幾何，比如平面幾何、解析幾何和立體幾何之間的關(guān)系是非常緊密的。我們要樹立運(yùn)用向量解題的意識，也要善于運(yùn)用向量的知識去解決幾何中的各類問題，以使問題更加直觀化、簡單化。

參考文獻(xiàn)

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