解析法在解題中的應(yīng)用

蘇婷

摘 要：在數(shù)學(xué)中，我們經(jīng)常會(huì)遇到各種各樣的問題，而解析法，作為數(shù)學(xué)中的一種研究方法，可以將數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)變成為相應(yīng)的代數(shù)問題，再把代數(shù)問題歸結(jié)到方程式中的求解，使問題變得簡(jiǎn)單化。本文在概述了解析法含義的基礎(chǔ)上，通過實(shí)例分析了解析法在解題中的應(yīng)用，以加強(qiáng)對(duì)解析法的運(yùn)用。

關(guān)鍵詞：解析法；幾何問題；應(yīng)用

中圖分類號(hào)：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B 文章編號(hào)：1002-7661（2017）05-054-02

一、解析法

解析法就是用代數(shù)的方法來解決數(shù)學(xué)中的問題。具體來說，就是利用坐標(biāo)系，建立一個(gè)平面（空間）直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)代表點(diǎn)，將所求問題轉(zhuǎn)化成向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可，也就是運(yùn)用“數(shù)學(xué)問題代數(shù)化，代數(shù)問題坐標(biāo)化”這一思想進(jìn)行解題。

二、解析法在解題中的應(yīng)用

解析法的思想是非常明確的，就是將數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化成代數(shù)問題來進(jìn)行求解。因此，解析法在向量、解三角形、不等式和平面幾何等中都有很廣泛的應(yīng)用。

（1）解析法在向量中的應(yīng)用

在數(shù)學(xué)中，向量指的是具有大小和方向的量，可以用帶箭頭的線段來形象的表示。其中箭頭所指的是向量的方向；線段的長(zhǎng)度是向量的大小。

例1：兩個(gè)長(zhǎng)度為1的平面向量 和 ，兩個(gè)的夾角是120°，而點(diǎn)C在以O(shè)為圓心的圓弧AB上變動(dòng)，假設(shè) =x +y ，求x+y的最大值。

首先是分析這個(gè)問題出現(xiàn)在單位圓中，利用坐標(biāo)和圓的參數(shù)方程就可以解決問題。所以，解析法是最容易想到的一個(gè)方法。其次，建立一個(gè)坐標(biāo)系，如圖1所示，那么A（1，0），B（- ， ），設(shè)C（m，n），由題設(shè)條件 =x +y 得知

（m，n）=x（1，0）+y（- ， ），從而得出m=x- ，n= y，又有m2+n2=1，所以

（x- ）2+（ y）2=1。再由參數(shù)方程x- =cos ， y=sin ，其中0≤ ≤ π，所以x= sin +cos ，y= sin ，

因此，x+y= sin +cos + sin = sin +cos =2sin（ + ），

最后，所以當(dāng) = 時(shí)，x+y取得最大值，最大值是2。

（2）解析法在解三角形中的應(yīng)用

在解三角形的運(yùn)算中，如果利用解析法就能將三角形的運(yùn)算代數(shù)化，數(shù)與形相結(jié)合，大大提高解答三角形運(yùn)算的效率。

例2：如圖2所示，△ABC是等腰直角三角形，其中AC=BC=1，點(diǎn)M、N分別是AB和BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是△ABC（包括邊界）內(nèi)的任意一點(diǎn)，求 × 的取值范圍。

首先，以BC為x軸，以CA為y軸建立一個(gè)直角坐標(biāo)系，我們可以得到C（0，0），A（0，1），B（1，0），那么M（ ， ），N（ ，0），設(shè)P（x，y），所以 × = x-y+ 。利用線性規(guī)劃的知識(shí)知道，當(dāng)P位于A（0，1）時(shí)， × 取得最小值- ；當(dāng)P位于B（1，0）時(shí)， × 取得最大值 ，所以 × 的取值范圍是[- ， ]。

（3）解析法在不等式中的應(yīng)用

不等式的證明問題是數(shù)學(xué)的重難點(diǎn)內(nèi)容。證明不等式有很多方法，比如反證法、換元法和分析法等。利用解析法解決不等式的證明問題也是其中的一個(gè)證明方法。

例3：a、b R+，且a+b=1，求證（a+ ）2+（b+ ）2≥ 。

通過題設(shè)條件我們可以將 看作是點(diǎn)A（a，b）與點(diǎn)B（- ，- ）之間的距離。而a+b=1可以看作是點(diǎn)A（a，b）在直線l：x+y=1上的點(diǎn)，而且點(diǎn)B（- ，- ）到直線l的距離是l- - -1l/ ，如圖3所示，因?yàn)辄c(diǎn)B到點(diǎn)A的距離不小于它到直線l的距離，所以 ≥l- - -1l/ = ≥ = （由a、b R+，且a+b=1得出0

（一）解析法在平面幾何中的應(yīng)用

平面幾何的一個(gè)顯著特點(diǎn)是定義和定理很多，而平面幾何中的很多問題都需要從其中的公理、定理出發(fā)，再通過推理來證明答案。而利用解析法證明平面幾何中的一些問題是比較容易的，尤其是建立一個(gè)直觀的坐標(biāo)系，更能幫助我們更好地解決問題。

1.證明線段相等

例4：已知CEDF是已知圓的一個(gè)內(nèi)接矩形，過D作該圓的切線與CE的延長(zhǎng)線交于A，與CF的延長(zhǎng)線交于B，求證 = 。因?yàn)镃EDF是已知圓的一個(gè)內(nèi)接矩形，所以以CE所在直線為x軸，以CF所在直線為y軸建立一個(gè)直角坐標(biāo)系。設(shè)A（a，0），B（0，b），C（0，0），如圖4所示，那么直線AB的斜率KAB是- ，因此AB切圓于D，CD是圓的直徑，所以得到CD AB，那么直線CD的斜率KCD是1/KAB= ，所以CD的方程式y(tǒng)= x，那么AB的方程是 + =1，由這兩個(gè)方程我們可以得到x= ，y= ，那么D（ ， ），于是lBFl=lBCl-lCFl=b- = ，所以 = = = ，因此， = 。

2.證明線共點(diǎn)

例5：證明三角形的三條高線交于一點(diǎn)。

以三角形的一個(gè)頂點(diǎn)為原點(diǎn)，其中一邊為x軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)A（0，0），B（a，0），C（b，c）如圖5所示，則三角形三條邊所在的直線方程是：

AB：y=0，AC：cx-by=0，BC：cx+（a-b）y-ac=0，又因?yàn)槿切蔚娜龡l高分別與其三條邊垂直，根據(jù)兩條直線相互垂直的關(guān)系可以得到三條高線所在的直線方程是：

CF：x-b=0，BE：bx+cy-ab=0，AD：（b-a）x+cy=0，這個(gè)時(shí)候我們可以得到三條直線方程的系數(shù)行列式， ，再根據(jù)三線共點(diǎn)的充分必要條件可以知道：三角形的三條高線交于一點(diǎn)。由此，我們可以看出利用解析法解決平面幾何問題，要分為以下幾個(gè)步驟：一是根據(jù)題設(shè)條件，作出圖形；二是根據(jù)圖形建立相應(yīng)適合的直角坐標(biāo)系；三是選定坐標(biāo)系后確定圖形中已知點(diǎn)的坐標(biāo)；四是熟練掌握并應(yīng)用平面直角坐標(biāo)系中的有關(guān)公式和方程，比如兩點(diǎn)間的直線距離、直線方程的幾種形式和斜率公式等，這樣就會(huì)使問題簡(jiǎn)單化。

解析法就是利用坐標(biāo)系寫出幾何關(guān)系的表達(dá)式，之后進(jìn)行計(jì)算，最后求出答案的過程。靈活運(yùn)用解析法解決向量、三角形、不等式和平面幾何等問題，有助于我們打開思路，做到以簡(jiǎn)駁繁，最終達(dá)到迅速解題的目的。

參考文獻(xiàn)

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