應(yīng)用插空法妙解排列組合問題

袁煒

[摘 要]解題方法的正確選用是解答數(shù)學(xué)題目的有力保障.應(yīng)用“插空法”能巧妙解答排列組合所涉及的數(shù)字問題、順序問題和“關(guān)燈問題”.

[關(guān)鍵詞]插空法；排列組合；高中數(shù)學(xué)

[中圖分類號]G633.6[文獻(xiàn)標(biāo)識碼]A[文章編號] 16746058（2017）35002101

高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，排列組合問題占有較大的比例，是高考的必考內(nèi)容，也是高中數(shù)學(xué)教與學(xué)的難點(diǎn).如何巧妙地解答排列組合問題，成為高中數(shù)學(xué)教師研究的內(nèi)容.針對不同的排列組合問題，選用恰當(dāng)?shù)慕忸}方法，可以快速、準(zhǔn)確地解答.筆者將結(jié)合自身多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，探討插空法在排列組合問題中的巧妙應(yīng)用.

一、數(shù)字問題

學(xué)生在解答排列組合問題時，常會遇到數(shù)字排列的問題.若是兩三位數(shù)字的排列組合，學(xué)生可以采用簡單的列舉法計算排列的種類.但當(dāng)題設(shè)條件中的位數(shù)較多，且插入較多的約束條件后，排列組合的難度就有所提升.此時，高中數(shù)學(xué)教師可以引導(dǎo)學(xué)生采用插空法解決此類問題.

比如，有這樣一道數(shù)字問題的習(xí)題：把1、2、3、4、5組成沒有重復(fù)的五位數(shù)，且1、2兩個數(shù)字不能相鄰，問有多少種不同的排列方法？這是一道涉及五位數(shù)的數(shù)字排列組合問題.若是采用單獨(dú)的列舉方法進(jìn)行解答，不僅解答過程繁復(fù)，也容易出錯.這時，我引導(dǎo)學(xué)生采用插空法進(jìn)行思考，應(yīng)用相應(yīng)的定理進(jìn)行解答.題目中要求1、2這兩個數(shù)字不能相鄰，因此我們便可以將3、4、5先進(jìn)行排列，采用1、2插空的方法進(jìn)行解答.排列3、4、5這三個元素，共有A33種排法，形成4個空位，再將1、2兩個元素插入四個空位，共有A24種排法.再用乘法原理可得：

A33×A24=72.

可見，本題中的排列方法共有72種.

針對此類數(shù)字排列問題，若采用插空法對有特殊要求的元素進(jìn)行插空，可以幫助學(xué)生有效地厘清解題思路，快速、準(zhǔn)確地解答問題.學(xué)生掌握了用插空法解決這一數(shù)字問題后，同類的問題都可采用此方法進(jìn)行解答.

二、順序問題

解答排列組合問題會遇到許多有關(guān)順序的問題.采用插空法解決此類問題時，需將題設(shè)條件中的先后順序厘清.先排列組合無特殊要求的元素，再將有特殊要求的元素進(jìn)行排列，最終采用乘法原理加以解答.比如，“節(jié)目單排序”問題就是一道典型的順序問題.已知，在現(xiàn)有的節(jié)目單中有6個節(jié)目，想要再添加3個新的節(jié)目到節(jié)目單中，要求節(jié)目單中原有的節(jié)目順序不變，那么添加節(jié)目的方法有多少種？此題中要求原有的6個節(jié)目順序不變，并在此基礎(chǔ)上，添加3個節(jié)目，是典型的順序問題.解答此類問題可以選擇順序插空法.原有的6個節(jié)目順序不變，共形成7個空位，先將要加入的一個節(jié)目進(jìn)行插空，共有A17種.此時7個節(jié)目形成了8個空位，要加入的第2個節(jié)目插空，共用A18種方法.同理，第3個節(jié)目插空時，方法就有A19種.此時，再進(jìn)一步采用乘法定理進(jìn)行計算，可得

A17×A18×A19=504.

可見，此順序問題共有504種排列組合方法.

針對此類順序問題，教師引導(dǎo)學(xué)生選用順序插空法進(jìn)行解答時，可以將這一題目分成三個層面，讓學(xué)生一層一層地進(jìn)行思考和解答，從而提升解題準(zhǔn)確率.

三、關(guān)燈問題

排列組合問題中還會涉及“關(guān)燈問題”的解答.此類問題若直接解答，難度較大.但也不能夠直接套用插空法.在遇到此類問題時，教師應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)分析題目中的內(nèi)容，并根據(jù)題目中的內(nèi)容，合理地運(yùn)用插空法加以解答.

比如，有這樣一道習(xí)題：一條馬路上有編號1、2、3、4、5、6、7、8、9共九盞路燈，現(xiàn)在為了節(jié)省用電，要求將九盞路燈中的三盞關(guān)掉，為不使路面太黑，要求相鄰的兩盞或三盞燈不可同時關(guān)掉，問可以有多少種不同的關(guān)燈方法？顯然，若是直接采用插入法進(jìn)行解答是不可行的.此時，就要求學(xué)生能夠轉(zhuǎn)換思路，從反面思考.題目中共九盞路燈，滅了三盞，則還有六盞燈亮著，那么我們可以將亮著的六盞路燈作為不可變的元素，用三盞滅了的路燈去插空，六盞路燈共形成7個空位，得C37=35.

通過轉(zhuǎn)換思路，將關(guān)燈問題轉(zhuǎn)換成插空問題，則此類問題可以得到快速解決.而轉(zhuǎn)換思路運(yùn)用插空法，在排列組合問題中也適用于更多的題型.

總的來說，插空法在排列組合問題中的應(yīng)用廣泛，不僅僅是數(shù)字問題、順序問題和“關(guān)燈問題”適用這一方法，“停車問題”“座位問題”等也都適用.因此，教師在教學(xué)時，應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生活學(xué)活用，而不是一味地套用.只有全面地理解了使用方法，學(xué)生在解答此類問題時才能融會貫通.

[ 參 考 文 獻(xiàn) ]

[1]陳彪.插空法解排列組合問題探討[J].中學(xué)課程輔導(dǎo)，2013（25）.

[2]王延勝.高中數(shù)學(xué)教學(xué)方法探析[J].中學(xué)教育，2016（3）.endprint