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    音階與數(shù)學(xué)

    2018-01-23 13:01:44吳朝陽(yáng)
    中國(guó)科技教育 2017年9期
    關(guān)鍵詞:樂音弦長(zhǎng)八度

    吳朝陽(yáng)

    留學(xué)美國(guó)時(shí)我曾有一位專攻巴松管的室友,他姓潘而又帥氣,所以我稱他為潘安。有一回我翻看潘安的樂譜時(shí)他問道:“你看得懂嗎?”我笑著回答說(shuō):“不就是從0到7嗎,我是學(xué)數(shù)學(xué)的,連8和9我都明白著呢!”

    這個(gè)回答當(dāng)然是玩笑,巴松樂譜都是五線譜,而使用0到7的是簡(jiǎn)譜。然而,音樂與數(shù)學(xué)確實(shí)存在著很深刻的聯(lián)系。

    旋律是由樂音的組合構(gòu)成的,樂音按其頻率從低到高排列,無(wú)論是想象中還是聽覺上都像是一部階梯,所以稱為音階。音階系統(tǒng)中各樂音頻率之間存在著特定的比例關(guān)系。這種數(shù)學(xué)關(guān)系自古以來(lái)就被確認(rèn)和研究,并且被不斷地完善。

    2000多年前,古希臘和中國(guó)的學(xué)者就發(fā)現(xiàn),當(dāng)音階間的頻率關(guān)系是簡(jiǎn)單的比例時(shí),它們構(gòu)成的樂音系統(tǒng)是和諧的、悅耳的,并因此各自獨(dú)立得出了構(gòu)建音階系統(tǒng)的方法。其中,中國(guó)上古的方法稱為“三分損益法”,而在古希臘占據(jù)主流的則是“五度相生律”。這兩種方法本質(zhì)上是相同的,都是以2:1和3:2這2個(gè)最簡(jiǎn)單的比例為基礎(chǔ)構(gòu)建音階系統(tǒng)。

    在介紹音階系統(tǒng)的構(gòu)造之前,我們先簡(jiǎn)單說(shuō)一說(shuō)它背后的物理原理。首先,如果2個(gè)樂音的頻率比例是2:1,那么后者的最小周期是前者的2倍,因而它的周期也都是前者的周期。這樣一來(lái),它聽起來(lái)就像是前一個(gè)樂音,只不過前者聽起來(lái)感覺聲音更髙亢。因此,它們是同名樂音,我們說(shuō)前者比后者“高八度”。假如頻率較低的樂音是中央C(即簡(jiǎn)譜中C調(diào)的1),那么頻率較髙的那個(gè)就是cl(即簡(jiǎn)譜中C調(diào)的i)。其次,如果2個(gè)樂音的頻率比例是諸如3:2這樣的簡(jiǎn)單比例,那么它們的周期間的關(guān)系

    簡(jiǎn)單,疊加時(shí)形成的波也有簡(jiǎn)單的規(guī)律性(周期性),因此2個(gè)音的關(guān)系聽起來(lái)是和諧的。例如,頻率關(guān)系為3:2的2個(gè)正弦波的疊加具有如下簡(jiǎn)潔的周期性波形。

    3:2這個(gè)除2:1之外最簡(jiǎn)單的比例聽起來(lái)很和諧,在音階系統(tǒng)中的地位也非常關(guān)鍵,具有這一比例樂音間的關(guān)系被稱為“純五度”。簡(jiǎn)言之,以2:1和3:2這2個(gè)比例為構(gòu)造音階的基礎(chǔ)比例,是符合物理原理的。

    中國(guó)古代很早就出現(xiàn)了用三分損益法確定樂音頻率的辦法?!豆茏印さ貑T》說(shuō):“凡將起五音凡首,先主一而三之,四開以合九九,以是生黃鐘小素之首,以成宮。三分而益之以一,為百有八,為徵。不無(wú)有三分而去其乘,適足,以是生商。有三分,而復(fù)于其所,以是成羽。有三分,去其乘,適足,以是成角?!薄妒酚洝ぢ蓵穭t說(shuō):“九九八十一以為宮。三分去一,五十四以為徵。三分益一,七十二以為商。三分去一,四十八以為羽。三分益一,六十四以為角?!边@2段文字所說(shuō)的,都是用三分損益法確定宮、商、角、徵、羽五音的辦法,其中的數(shù)字是用來(lái)確定音高的“律管”的(相對(duì))長(zhǎng)度。由于同質(zhì)律管的發(fā)聲頻率與其長(zhǎng)度成反比,因而這些數(shù)字就給出了宮、商、角、徵、羽的頻率比例關(guān)系。2段引文不同的是,由于《管子》的做法是先益后損,因而其徵、羽的管長(zhǎng)與《史記》所得為2倍關(guān)系,即其音高實(shí)際為低八度的徵、羽。我們根據(jù)《史記》所載,并且為了與后文的表格相比較,將宮的律管長(zhǎng)度改記為81的12倍,則其五音可列表如表1。

    從上面所引的文字可知,所謂“三分去一”是將原來(lái)的律管長(zhǎng)度減去1/3,即所得管長(zhǎng)為原來(lái)的2/3。因此所得樂音頻率為原樂音的3/2倍,即2個(gè)樂音的頻率比等于3:2。而所謂“三分益一”,所得的管長(zhǎng)為原來(lái)的4/3倍,因此2個(gè)樂音的頻率比為3:4。而若將第2個(gè)樂音用其高八度樂音替換,則頻率比也是3:2。因此,三分損益法所確定的五音階系統(tǒng),是最簡(jiǎn)單的和諧系統(tǒng),因而是最簡(jiǎn)單的音階系統(tǒng)。自古以來(lái),中國(guó)的五音階音樂非常發(fā)達(dá),顯然正是由于這個(gè)原因。

    古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派用類似于圖1的獨(dú)弦琴確定音階,他們把全弦振動(dòng)的音作為基礎(chǔ)音。畢達(dá)哥拉斯學(xué)派同樣發(fā)現(xiàn),當(dāng)整弦長(zhǎng)度與振動(dòng)部分弦長(zhǎng)的比值可以表示成小整數(shù)的比例時(shí),得到的就會(huì)是悅耳的音程。當(dāng)振動(dòng)部分弦長(zhǎng)只有全弦長(zhǎng)度的一半時(shí),也就是圖1中的琴碼移動(dòng)到“6”的位置時(shí),彈撥琴弦得到的是比基礎(chǔ)音高八度的樂音。也就是說(shuō),弦長(zhǎng)比例為2:1時(shí),彈撥獨(dú)弦琴所發(fā)出聲音之頻率是全弦音頻率的2倍。如果將琴碼移動(dòng)到圖1中“8”的位置,全弦與所得弦長(zhǎng)的比例是3:2,這時(shí)得到的是比基礎(chǔ)音高五度的樂音。而如果將琴碼移到“9”的位置,也就是全弦長(zhǎng)度與振動(dòng)部分弦長(zhǎng)之比等于4:3時(shí),得到的樂音則比基礎(chǔ)音髙四度。整個(gè)畢達(dá)哥拉斯的音階系統(tǒng),就是在這種簡(jiǎn)單的弦長(zhǎng)比例的基礎(chǔ)之上建立起來(lái)的。

    如果將獨(dú)弦琴的全弦音定為D,將其弦長(zhǎng)記為864個(gè)長(zhǎng)度單位,那么比它高五度的音為A,其弦長(zhǎng)為864x?=576。比A高五度的音為e,弦長(zhǎng)為576x?=384,因此向一音域里的、比e低八度的E的弦長(zhǎng)為384x2=768。而比D低五度的音的弦長(zhǎng)等于864÷?=1296,其同一音域的音比這個(gè)音高八度,即比D高四度的G,其弦長(zhǎng)則等于1296÷2=648。依此類推,可以得到全部7個(gè)音階(見表2)。

    對(duì)比以上2個(gè)表格可以發(fā)現(xiàn),古代中外的兩套系統(tǒng)中,do、re、mi、sol、la的音高關(guān)系是完全相同的。所不同的是,按照“原汁原味”的三分損益法繼續(xù)產(chǎn)生音階的話,我們得到的并不恰好是ti和fa,而是ti和“升fa”。這一不同表明,原始三分損益法所代表的古代中國(guó)音樂主要是五音階的,雖然七音階系統(tǒng)也不難由此產(chǎn)生。事實(shí)上,七音階系統(tǒng)的音樂在古代中國(guó)也并不罕見,只不過另外2個(gè)樂音沒有獨(dú)立的名稱,其中相應(yīng)于ti的樂音稱為“變宮”,fa稱為“清角”,而“升fa”則稱為“變徵”。換句話說(shuō),“宮、商、角、清角、徵、羽、變宮”構(gòu)成一個(gè)“清樂”的七音階體系,而“宮、商、角、變徵、徵、羽、變宮”則構(gòu)成一個(gè)“雅樂”的七音階體系。《史記》記載,荊軻在易水上“為變徵之聲”,是中國(guó)古代七音階音樂的一個(gè)著名例子。

    由五度相生律產(chǎn)生的七音階系統(tǒng)中,半音階的頻率比為256:243,這不是小整數(shù)的比例,因此聽起來(lái)難免有不和諧之感,古代西方的“純律”很可能就因?yàn)檫@個(gè)原因而產(chǎn)生。在純律的體系里,“全音階”分為“大全音”與“小全音”兩種,其頻率比分別為9:8和10:9。相應(yīng)地,“半音階”的頻率比值不再是256:243這樣的大整數(shù)之比,而是簡(jiǎn)單得多的16:15。這2種音階體系中有些樂音的音商是不一樣的,具體情形如表3。

    由上述音階系統(tǒng)中樂音間的頻率比可以看到,音樂與數(shù)學(xué)存在著很深刻的聯(lián)系,然而,音樂背后的數(shù)學(xué)還不止這些,因?yàn)槲覀冎链藘H僅討論了簡(jiǎn)單的音階體系,還沒有涉及復(fù)雜的音樂。事實(shí)上,復(fù)雜的音樂一般采用多個(gè)不同的調(diào)式或含有多個(gè)聲部。通俗地說(shuō),這些復(fù)雜音樂是以不同音高作do的多個(gè)旋律片段的組合。因此,不同調(diào)式或聲部的樂音之間的“和諧”就必然是一個(gè)問題。而無(wú)論是純律還是五度相生律,在多調(diào)式或多聲部的情況下通常都是“不和諧”的。這個(gè)問題至少2000年前就已經(jīng)被發(fā)現(xiàn),而它最終導(dǎo)致十二平均律的出現(xiàn)。那么,十二平均律背后有什么樣的數(shù)學(xué)奧秘?這個(gè)問題以后我們有時(shí)間再談。endprint

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