摭談高中數(shù)學(xué)數(shù)列問題的解題技巧

☉江蘇省泰州市姜堰區(qū)婁莊中學(xué) 陳愛蘭

數(shù)列是高中數(shù)學(xué)課程教學(xué)的重要內(nèi)容，數(shù)列知識抽象難懂，一直是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點，很多學(xué)生遇到數(shù)列問題不知所措，在各類測試中成為主要失分題型之一.為幫助學(xué)生切實掌握解答數(shù)列題目的方法，幫助學(xué)生樹立學(xué)習(xí)數(shù)列知識的自信心，數(shù)學(xué)教師應(yīng)注重傳授數(shù)列問題的解題技巧，要求學(xué)生冷靜分析，總結(jié)解決數(shù)列問題的規(guī)律，提高解題正確率.本文根據(jù)高中數(shù)學(xué)教學(xué)實踐，采取理論與案例相結(jié)合的方式，總結(jié)、歸納出解決數(shù)列問題的技巧與方法，以期達(dá)到拋磚引玉之效.

一、巧用整體思想求解數(shù)列問題

利用等差、等比數(shù)列性質(zhì)可順利求解一些數(shù)列題目，但是部分?jǐn)?shù)列問題僅僅采用數(shù)列性質(zhì)死套公式，求解難度反而加大，數(shù)列性質(zhì)的靈活、巧妙運用顯得十分重要.眾所周知，無論等差還是等比數(shù)列通項公式中涉及很多量，解答一些題目時可不用求出每個量，從整體思想的角度進行數(shù)列公式的應(yīng)用，不僅能保證解題的正確性，而且能顯著提高解題效率.

例1 設(shè)Sn為等差數(shù)列｛an｝的前n項之和，且滿足S6＞S7＞S5，則滿足SkSk+1＜0的正整數(shù)k為多少？

剖析：本題中的題設(shè)信息比較簡單，部分學(xué)生束手無策、無從下手，根據(jù)等差數(shù)列前n項之和與數(shù)列通項公式的關(guān)系可得，a6=S6-S5＞0，a7=S7-S6＜0，a6+a7＞0；此時從整體 思 想 角 度 出 發(fā) 可 知S12S13＜0，即滿足SkSk+1＜0的正整數(shù)k=12.

點評：本題的類型與傳統(tǒng)題目不同，解答中需要一定的技巧，發(fā)現(xiàn)技巧需要能夠靈活應(yīng)用所學(xué)的數(shù)列知識，不能被傳統(tǒng)解題思維限制，題中不能直接求解數(shù)列中某一項的具體值，根據(jù)整體思想進行整體代換，化難為易；作為高中數(shù)學(xué)教師，在數(shù)列教學(xué)實踐中，應(yīng)該注重引導(dǎo)學(xué)生，不能盲目地亂套公式，遇到題目不要急于動筆，進行必要的思考與分析，找到解題切入點，切不可思維定式，走入解題的誤區(qū).

二、活用奇偶分析法求解數(shù)列問題

數(shù)列問題中有一種題型涉及符號數(shù)列的遞推式問題，奇數(shù)項與偶數(shù)項的通項公式不同，求解時需要區(qū)別開來；針對這種題型可以靈活運用奇偶分析法進行處理，分別討論奇數(shù)項和偶數(shù)項的通項公式，再進行相關(guān)問題的求解.

例2 已知數(shù)列｛an｝的通項公式為an=22n+1，bn=（-1）n-1·，求數(shù)列｛bn｝的前n項和Tn.

點評：本題涉及符號問題，采用奇偶分析法是常用的一種手段.在教學(xué)實踐中，部分學(xué)生對奇數(shù)項和偶數(shù)項的個數(shù)判讀不準(zhǔn)確，或者部分學(xué)生不知道進行奇偶項數(shù)進行討論，這些都是導(dǎo)致解題出錯的重要原因.教學(xué)實踐中發(fā)現(xiàn)，題中多項式的裂項處理也是學(xué)生容易“卡殼”之處，教師在教學(xué)中注意引導(dǎo)學(xué)生掌握“奇偶分析法”的解題技巧，注重解題思想方法的總結(jié)與反思.

三、借用通項放縮法求解數(shù)列問題

數(shù)列證明題是高中數(shù)列問題中的常見題型，在各級考試中出現(xiàn)的頻率較高，通常具有較強的綜合性，能夠較好地考查學(xué)生應(yīng)用技巧解題的能力.部分學(xué)生遇到此類問題時，根本不知道怎么證明；或者，證明過程較為模糊，過程不規(guī)范，雖然得出最終結(jié)果，但不能得全分，究其原因在于解題思路不清晰.實踐表明，放縮法是數(shù)列證明中常用的方法之一，數(shù)學(xué)教師引導(dǎo)學(xué)生進行模仿、思考，將學(xué)習(xí)的知識轉(zhuǎn)化為能力，進行順利解題.

例3 已知數(shù)列｛an｝的通項公式為an=，令Sn為其前n項和，求證：對于一切n∈N*都有Sn＜2.

剖析：分析數(shù)列｛an｝的通項公式及要證明的結(jié)論，直接利用通項公式進行求和證明顯然是行不通的，這里可以將數(shù)列通項式進行放縮處理，即.經(jīng)過放縮后發(fā)現(xiàn)，當(dāng)n=1時分母為零，當(dāng)n≥2時，分母不為零；必須進行n=1和n≥2兩種情況的分類討論；當(dāng)n=1時則對于一切n∈N*都有Sn＜2.

點評：本題的難點在于如何進行有效放縮，在解題教學(xué)實踐中，由于放縮尺度把握不準(zhǔn)，導(dǎo)致放縮失敗無法解題的情況較多.理論上，對于這種放縮前后兩項差異越小越好，當(dāng)然要具體問題具體分析；譬如，的放縮”等形式，在具體題目中可以選擇適合的放縮方式進行；放縮節(jié)點選擇也是解題成敗的關(guān)鍵之處，數(shù)學(xué)教師可以提供學(xué)生訓(xùn)練與思考的案例，讓學(xué)生在實踐中提升解題能力和技巧.

四、妙用構(gòu)造法求解數(shù)列問題

在教學(xué)實踐中，對于數(shù)列問題存在一些特殊的考查形式，這種數(shù)列問題利用等差或等比數(shù)列通項公式難以直接求解；可以結(jié)合等差或等比數(shù)列性質(zhì)，將題設(shè)信息進行等價變換，構(gòu)造出熟悉的等差或等比數(shù)列進行求解.解決此類題目的關(guān)鍵在于如何構(gòu)造合適的數(shù)列，這就需要我們數(shù)學(xué)教師引導(dǎo)學(xué)生在實踐中熟練掌握構(gòu)造數(shù)列的方法與技巧.

例4 Sn為數(shù)列｛an｝的前n項和，滿足關(guān)系式2Sn=an+1-2n+1+1，n∈N*，其中a1，a2+5，a3為等差數(shù)列，求an.

剖析： 根據(jù)題意得a1+a3=2（a2+5），2S1=a2-22+1=2a1，2S2=a3-23+1=2（a1+a2），則a1=1，a2=5，a3=19.

根據(jù)2Sn=an+1-2n+1+1可知，當(dāng)n≥2時，2Sn-1=an-2n+1，將兩式相減可得2an=an+1-an-2n，即an+1=3an+2n，當(dāng)n=1時，a2=3a1+22滿足an+1=3an+2n，在等式an+1=3an+2n兩邊均除以2n+1

點評：本題題設(shè)信息看似簡單，實際難度較大.首先，要分析題設(shè)信息求出a1，a2，a3的值；其次，對關(guān)系式an+1=3an+2n合理構(gòu)造出等比數(shù)列（解題的關(guān)鍵點）；最后，根據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)進行化簡變形得出結(jié)論！教學(xué)實踐中，數(shù)學(xué)教師可以引導(dǎo)學(xué)生對構(gòu)造數(shù)列的方法進行總結(jié)與思考，促進學(xué)生解題效率的提升.

總而言之，高中數(shù)列問題難度大，題型多變，很多學(xué)生不容易掌握，作為高中數(shù)學(xué)教師應(yīng)結(jié)合學(xué)生實際情況及數(shù)列性質(zhì)特點，采取有效的教學(xué)方法，幫助學(xué)生厘清相關(guān)題型的解題思路，掌握解題技巧與方法；引導(dǎo)學(xué)生做好不同數(shù)列題型的總結(jié)分析，掌握不同數(shù)列題型的命題規(guī)律，活學(xué)活用，進而突破難點.