新課標(biāo)背景下高中函數(shù)教學(xué)方法
——以蘇教版高中數(shù)學(xué)為例

☉江蘇省常熟市尚湖高級(jí)中學(xué) 江 政

一、新課標(biāo)對(duì)高中函數(shù)的教學(xué)要求

新的課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)函數(shù)內(nèi)容的要求發(fā)生了較大的變化，主要體現(xiàn)在以下兩個(gè)方面：

（一）強(qiáng)調(diào)函數(shù)背景，加強(qiáng)對(duì)函數(shù)本質(zhì)的理解

無(wú)論是引入函數(shù)概念，還是講授二次函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)及對(duì)數(shù)函數(shù)等常見(jiàn)的函數(shù)模型，新課標(biāo)都要求教學(xué)過(guò)程要結(jié)合生活背景，用實(shí)際案例輔助教學(xué)，加深學(xué)生對(duì)函數(shù)本質(zhì)的認(rèn)識(shí).從學(xué)生的角度來(lái)說(shuō)，函數(shù)的學(xué)習(xí)就是從案例出發(fā)，在老師的指導(dǎo)下探索、總結(jié)，直至抽象出函數(shù)知識(shí)，再將抽象出來(lái)的函數(shù)知識(shí)運(yùn)用到案例的解決過(guò)程當(dāng)中，實(shí)現(xiàn)“具體-抽象-具體”的認(rèn)識(shí)變化過(guò)程.

（二）重視函數(shù)思想

函數(shù)的本質(zhì)就是分析運(yùn)動(dòng)變化情況，因此函數(shù)思想就是用動(dòng)態(tài)的、變化的思維去分析具體問(wèn)題，明確其中的數(shù)量關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系進(jìn)行求解.新課標(biāo)極為重視培養(yǎng)學(xué)生解決問(wèn)題的能力，在函數(shù)學(xué)習(xí)方面就是要運(yùn)用好函數(shù)模型，在面對(duì)具體問(wèn)題時(shí)，能根據(jù)實(shí)際情況選擇或建立適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型，使問(wèn)題得到有效解決.

二、新課標(biāo)下高中函數(shù)教學(xué)方法評(píng)析

（一）函數(shù)概念引入

在函數(shù)的教學(xué)過(guò)程中，首先需要通過(guò)具體的案例讓學(xué)生對(duì)函數(shù)有一個(gè)初步的認(rèn)知.教師以教材為基礎(chǔ)，通過(guò)演繹案例來(lái)創(chuàng)設(shè)情境，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思考與討論.通過(guò)這種教學(xué)活動(dòng)，讓學(xué)生對(duì)變量間的變化規(guī)則有初步的認(rèn)識(shí)，為之后函數(shù)概念的講授奠定基礎(chǔ).下面以蘇教版高中數(shù)學(xué)必修1第2章“函數(shù)概念與基本初等函數(shù)”為例進(jìn)行說(shuō)明.

1.問(wèn)題情境

估計(jì)人口數(shù)量變化趨勢(shì)是我們制定一系列相關(guān)政策的依據(jù).從人口統(tǒng)計(jì)年鑒中可以查得，我國(guó)1949年人口為542百萬(wàn)人，1954年為603百萬(wàn)人，1959年為672百萬(wàn)人，1964年為705百萬(wàn)人，1969年為807百萬(wàn)人，1974年為909百萬(wàn)人，1979年為975百萬(wàn)人，1984年為1035百萬(wàn)人，1989年為1107百萬(wàn)人，1994年為1177百萬(wàn)人，1999年為1246百萬(wàn)人.你能根據(jù)這個(gè)表說(shuō)出我國(guó)人口的變化情況嗎？

2.案例分析

集合A是由年份數(shù)組成，即A=｛1949，1954，1959，1964，1969，1974，1979，1984，1989.1994，1999｝，另一個(gè)集合B是由人口數(shù)（百萬(wàn)人）組成，即B=｛542，603，672，705，807，909，975，1035，1107，1188，1246｝.

存在某種對(duì)應(yīng)法則，對(duì)于A中任意元素x，B中總有一個(gè)元素y與之對(duì)應(yīng).例如，x取1949，則y取542，這時(shí)，我們說(shuō)“1949對(duì)應(yīng)到542”或者是“輸入1949，輸出542”，簡(jiǎn)記為：1949→542.

下面的“箭頭圖”可以清楚地表示這種對(duì)應(yīng)關(guān)系，這種對(duì)應(yīng)具有“一個(gè)輸入值對(duì)應(yīng)到唯一的輸出值”的特征.

1949→542

1954→603

1959→672

1964→705

1969→807

1974→909

1979→975

1984→1035

1989→1107

1994→1177

1999→1246

3.概念總結(jié)

一般地，設(shè)A，B是兩個(gè)非空的數(shù)集，如果按某種對(duì)應(yīng)法則f，對(duì)于集合A中的每一個(gè)元素x，在集合B中都有唯一的元素與之對(duì)應(yīng)，這樣的對(duì)應(yīng)叫做從A到B的一個(gè)函數(shù)，通常記為y=f（x），x∈A，其中，所有的輸入值x組成的集合A叫做函數(shù)y=f（x）的定義域.

4.方法評(píng)析

通過(guò)這種教學(xué)方式，能讓學(xué)生充分感受到函數(shù)概念的產(chǎn)生過(guò)程，切身參與，積極地進(jìn)行思維訓(xùn)練，探索出對(duì)于函數(shù)概念的個(gè)人理解.在這樣的學(xué)習(xí)過(guò)程中，學(xué)生的比較、抽象概括等能力都會(huì)得到大幅度的提升.

（二）函數(shù)圖像及性質(zhì)教學(xué)

高中階段所學(xué)的函數(shù)都是連續(xù)的，能用圖像進(jìn)行表達(dá).因此會(huì)畫(huà)圖、能看圖，就能有效地解決函數(shù)問(wèn)題.

1.熟悉基本初等函數(shù)圖像

很多復(fù)雜的函數(shù)都是由初等函數(shù)變換而來(lái)的，因此掌握初等函數(shù)的圖像、性質(zhì)就能給函數(shù)學(xué)習(xí)帶來(lái)巨大的便利，比如：y=sin（ωx+φ）的圖像可以看成是由y=sinx先向左平移φ個(gè)單位，然后將橫坐標(biāo)壓縮ω.

2.重視函數(shù)圖像的對(duì)比

指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)a值的范圍不同時(shí)，函數(shù)的圖像、定義域、值域及增減性都會(huì)發(fā)生變化.比如指數(shù)函數(shù)y=2x與y=，底數(shù)互為倒數(shù)，但兩個(gè)函數(shù)的圖像、性質(zhì)都存在較大變化.因此，學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中如果把各種情況孤立來(lái)看，很容易就會(huì)混淆.老師可指導(dǎo)學(xué)生自行總結(jié)，編制函數(shù)圖像對(duì)比表，通過(guò)這種方法系統(tǒng)區(qū)分不同的函數(shù)之間的差異，加深記憶.

（三）函數(shù)思想滲透

1.明確對(duì)應(yīng)關(guān)系

函數(shù)正是由于變量的存在而產(chǎn)生相互間的關(guān)系，因此學(xué)生在學(xué)習(xí)函數(shù)的過(guò)程中也要注意緊抓函數(shù)的本質(zhì)，學(xué)會(huì)用“對(duì)應(yīng)”的思想去解決問(wèn)題.

比如，已知二次函數(shù)f（x）滿足f（3x+1）=9x2-6x+5，求f（x）的表達(dá)式.

分析題干可知，如果利用假設(shè)f（x）=ax2+bx+c來(lái)求取a，b，c的值，解答過(guò)程比較煩瑣，容易出錯(cuò).如果假設(shè)3x+1=z，那么x=，則（fz）=（z-1）2-2（z-1）+5，進(jìn)而就可以求解得到函數(shù)的表達(dá)式.

2.數(shù)形結(jié)合

數(shù)形結(jié)合思想指的就是利用幾何圖形來(lái)處理代數(shù)問(wèn)題，使得題目的數(shù)量關(guān)系更為直觀地反映出來(lái)，將數(shù)字與圖形巧妙地結(jié)合起來(lái)，在此基礎(chǔ)上尋求解題思路，簡(jiǎn)化問(wèn)題的解決過(guò)程.

比如，若要求取函數(shù)y=|x-7|+|x-8|的最小值，如果采用純數(shù)學(xué)運(yùn)算的話，計(jì)算難度較大，但是如果運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法，繪制示意圖（圖1），很容易就會(huì)發(fā)現(xiàn)在［7，8］范圍內(nèi)任意一點(diǎn)都能取到最小值，函數(shù)最小值為1.

圖1

三、新課標(biāo)下高中函數(shù)思維能力培養(yǎng)

（一）避免思維定式，培養(yǎng)創(chuàng)新思維

思維獨(dú)創(chuàng)性在函數(shù)學(xué)習(xí)中最直觀的體現(xiàn)就是解題思路，方法多樣，能夠積極探索，敢于創(chuàng)新.在教學(xué)過(guò)程中，教師首先要引導(dǎo)學(xué)生形成準(zhǔn)確的思維習(xí)慣，這種定向、定序思維方式能極大地簡(jiǎn)化學(xué)生的思維進(jìn)程，提升學(xué)生的學(xué)習(xí)速度及學(xué)習(xí)效率.盡管如此，如果這種思維習(xí)慣演變成了思維定式，那么學(xué)生就會(huì)陷入單一的思維方式，無(wú)法多角度、全方位地去看待問(wèn)題，分析問(wèn)題會(huì)有偏頗.因此，高中數(shù)學(xué)教師在教學(xué)環(huán)節(jié)中要注意引導(dǎo)學(xué)生突破慣性思維，讓學(xué)生更具思維張力，更具創(chuàng)造性.下面以蘇教版高中數(shù)學(xué)必修1第2章“函數(shù)概念與基本初等函數(shù)”為例進(jìn)行說(shuō)明.

已知：對(duì)滿足m≤2的任意實(shí)數(shù)m，函數(shù)f（x）=mx2+2x+m-1的值恒等于0，求f（x）的定義域.

一般情況下，學(xué)生碰到的都是使函數(shù)有意義的定義域或者是已知定義域求值域.但是本例卻是在參數(shù)未知的情況下，已知值域，求解定義域.這就提醒學(xué)生要看清題目要求，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知關(guān)于數(shù)m的一次函f（m）=（1+x2）m+2x-1的定義域、值域，從而求取參數(shù)的取值范圍.

（二）舉一反三，思維發(fā)散

高中數(shù)學(xué)教師在講授函數(shù)內(nèi)容的過(guò)程中，可以結(jié)合具體的習(xí)題舉一反三，對(duì)典型的題目進(jìn)行“再命題”，反復(fù)訓(xùn)練，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)解題方法認(rèn)知的全面性.

比如，在求解函數(shù)y=x2+3x-2與x軸的交點(diǎn)的時(shí)候，教師在講解完以后可以設(shè)置一些新的問(wèn)題讓學(xué)生去探究，如求解函數(shù)y=x2+3x-2與x=4的交點(diǎn)、求解函數(shù)y=x2+3x-2與-2的交點(diǎn)個(gè)數(shù)等.

四、結(jié)束語(yǔ)

在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，函數(shù)是極為重要的內(nèi)容，難度也比較大，在整個(gè)高中數(shù)學(xué)的教學(xué)體系中起到不可替代的作用.因此，廣大高中數(shù)學(xué)教師要明確新課標(biāo)的要求，提升函數(shù)教學(xué)的有效性，加深學(xué)生對(duì)函數(shù)的理解.

1.劉才華.例談新課標(biāo)下高中數(shù)學(xué)概念課的教學(xué)［J］.教學(xué)月刊，2007（2）.

2.康衛(wèi)兵.淺談新課改下的高中數(shù)學(xué)函數(shù)教學(xué)［J］.高中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2013（7）.

3.李強(qiáng).高中新教材中函數(shù)概念教學(xué)思考［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2007（5）.

4.中華人民共和國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（試驗(yàn)）［M］.北京：人民教育出版社，2003.F