關(guān)于直觀想象素養(yǎng)的PME理論及應(yīng)用

☉浙江省桐鄉(xiāng)市鳳鳴高級中學(xué) 沈金興

新的高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂組提出了六大核心素養(yǎng)，這已在中學(xué)數(shù)學(xué)界廣為人知.而作為一線教師，該如何在課堂上落實這些核心素養(yǎng)呢？這就需要全方位審視和解讀這些素養(yǎng).本文試圖對于“直觀想象”這個核心素養(yǎng)，通過PME（數(shù)學(xué)教育心理學(xué)）的視角去尋找相關(guān)的理論依據(jù)，并在教材解讀和數(shù)學(xué)教學(xué)上應(yīng)用其理論.

一、直觀想象涵義

直觀想象的提法并非空穴來風(fēng)，許多數(shù)學(xué)家與哲學(xué)家就對直觀推崇備至.比如，哲學(xué)家康德認(rèn)為“缺乏直觀的概念是盲目的”；英國數(shù)學(xué)家格里菲斯在討論數(shù)學(xué)的直覺和領(lǐng)悟時就指出：“數(shù)學(xué)中最常用的思維媒介是數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的模型和實例，對于初學(xué)者來說，幾何圖形比代數(shù)符號更容易掌握和接受.”因此不妨先看看世界上一些國家對直觀想象的描述.

1.國外對直觀想象的認(rèn)識

在日本的廣辭苑中，對直觀想象是這樣解釋的：“一般地，不含有判斷、推理的思維作用，直接把握、感知和想象對象”；而在日本的哲學(xué)詞典中對直觀想象的解釋是“直接地把握對象的全貌和本質(zhì)的認(rèn)識作用”.

2000年美國NCTM在《數(shù)學(xué)教育的原則和標(biāo)準(zhǔn)》中指出：“用直觀想象、空間推理和幾何模型解決問題，幾何觀念在表征和解答其他數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的問題和現(xiàn)實世界的問題時是非常有用的，因此應(yīng)盡可能地把幾何和其他數(shù)學(xué)內(nèi)容結(jié)合起來.”

英國全國統(tǒng)一數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（1999年修訂）中對直觀想象的能力要求較為詳細(xì)，并把它描述在各個學(xué)段里.例如，在中學(xué)的第二學(xué)段就這樣要求：“能想象和描述二維和三維圖形，以及它們的表現(xiàn)形式，精確應(yīng)用幾何語言，能辨認(rèn)相同圖形；能精確地作出二維和三維幾何圖形或模型，能熟練分辨多邊形的對稱性”等.

顯然，國外對直觀想象的認(rèn)識是以幾何直觀為基礎(chǔ)的，盡量利用幾何圖形（或模型）來感知和表征數(shù)學(xué)問題.

2.我國新修課標(biāo)對直觀想象的定義

高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂組給出的直觀想象核心素養(yǎng)的定義：直觀想象是指借助空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用幾何圖形理解和解決數(shù)學(xué)問題.主要包括：利用圖形描述數(shù)學(xué)問題，建立形與數(shù)的聯(lián)系，構(gòu)建數(shù)學(xué)問題的直觀模型，探索解決問題的思路.同時指出了該素養(yǎng)的學(xué)科價值是發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學(xué)命題、分析和理解數(shù)學(xué)命題、探索和形成論證思路的重要手段，是構(gòu)建抽象結(jié)構(gòu)和進(jìn)行邏輯推理的思維基礎(chǔ)，是培養(yǎng)創(chuàng)新思維的基本要素.

修訂中的課標(biāo)認(rèn)為，在高中階段，直觀想象主要表現(xiàn)于：利用圖形描述數(shù)學(xué)問題；利用圖形理解數(shù)學(xué)問題；利用圖形探索、解決數(shù)學(xué)問題；構(gòu)建理論體系的直觀模型.

由此可見，我國對直觀想象核心素養(yǎng)的認(rèn)識與國外基本一致，都認(rèn)為要以直觀明了的幾何圖形來幫助學(xué)生理解感知數(shù)學(xué)問題，使復(fù)雜、抽象的數(shù)學(xué)知識變得簡明形象，有利于探索解決問題的思路和預(yù)測結(jié)果.既然如此，PME中關(guān)于直觀想象的相關(guān)理論就可應(yīng)用到該素養(yǎng)的落地實踐上.

二、PME關(guān)于直觀想象的理論研究及應(yīng)用

1.國內(nèi)學(xué)者的關(guān)鍵期理論

國內(nèi)學(xué)者林崇德、沃建中等人對小學(xué)生的圖形推理策略的發(fā)展特點(diǎn)進(jìn)行了研究，發(fā)現(xiàn)小學(xué)生（從一年級到六年級）在圖形推理問題的解決上其直觀想象的能力是不同的.一般規(guī)律是隨年齡的增長其能力呈上升趨勢，且有幾個很關(guān)鍵的時期.［1］例如，二年級小學(xué)生已開始能夠同時想象兩種圖形，其直觀想象的能力發(fā)展迅速；而到了五、六年級，更能夠不受題目形式的影響，從本質(zhì)上進(jìn)行把握.所以在小學(xué)階段，二年級、五年級與六年級是圖形直觀想象發(fā)展的關(guān)鍵期.

同樣，國內(nèi)學(xué)者孫敦甲［2］等人對中學(xué)生在幾何圖形想象能力方面也做了實證研究.從初一到高二共五個年級，研究了學(xué)生對平面和立體的基本幾何圖形的初步想象能力與深入想象能力的表現(xiàn)，得出了中學(xué)生的幾何直觀想象發(fā)展是從基本幾何圖形的初步想象發(fā)展到平面幾何圖形的深入想象，再發(fā)展到立體基本幾何圖形的深入想象這樣一個逐步上升的規(guī)律特點(diǎn).在這個上升過程中也存在著明顯的關(guān)鍵期，比如從初二開始，學(xué)生的幾何圖形想象能力有明顯提高；到了初三，有61.6%的學(xué)生具有了基本幾何圖形的初步想象能力；到了高一有53.1%的學(xué)生具有了平面基本幾何圖形的深入想象能力；到了高二則有50.2%的學(xué)生已具有立體基本幾何圖形的深入想象能力，然后開始呈定型趨勢到成熟期.所以在中學(xué)階段，初二、初三與高一是幾何直觀想象能力發(fā)展的關(guān)鍵期.

關(guān)鍵期理論的應(yīng)用：事實上，小學(xué)與中學(xué)的數(shù)學(xué)教材在安排數(shù)學(xué)知識的順序時就是應(yīng)用了這個關(guān)鍵期理論.以中學(xué)為例，初中就是從初二開始學(xué)習(xí)平面幾何的邏輯證明，從易到難、從簡單圖形到復(fù)雜圖形，一直學(xué)到初三的圓知識，因為初二、初三是平面幾何學(xué)習(xí)的關(guān)鍵期.而高中數(shù)學(xué)教材，立體幾何內(nèi)容是安排在《必修2》上，也正是高一階段學(xué)生所學(xué)，涉及空間向量的應(yīng)用安排在《選修2-1》上，是高二學(xué)生所學(xué)，這都完全適合空間幾何直觀想象能力發(fā)展的階段性要求，因為高一是立體幾何學(xué)習(xí)的關(guān)鍵期，高二是成熟期.

正因為中小學(xué)數(shù)學(xué)教材的編者已經(jīng)按照直觀想象能力發(fā)展的年齡特點(diǎn)和規(guī)律來編排數(shù)學(xué)內(nèi)容，故一線教師在實際授課時就要根據(jù)教材內(nèi)容進(jìn)行教學(xué)，不要隨意調(diào)換教學(xué)內(nèi)容順序，以便錯過學(xué)生學(xué)習(xí)的關(guān)鍵期.

2.數(shù)學(xué)理解的發(fā)展模型

英國的S.Pirie和加拿大的T.Kieren［3］提出的數(shù)學(xué)理解發(fā)展模型以認(rèn)知的觀點(diǎn)強(qiáng)調(diào)知識理解是一個進(jìn)行中的、動態(tài)的、分水平的、非線性的發(fā)展，是反反復(fù)復(fù)的建構(gòu)組織過程.兩位學(xué)者把學(xué)生對一個數(shù)學(xué)知識的理解劃分了8個水平，分別為：初步了解，產(chǎn)生表象，形成表象，關(guān)注性質(zhì)，形式化，觀察評述，組織結(jié)構(gòu)，發(fā)明創(chuàng)造，這8個水平可用嵌套的8個圓來表示（如圖1）.

圖1 數(shù)學(xué)理解發(fā)展的8個水平模型

這8個水平的理解用一組嵌套的圓來表示是為了強(qiáng)調(diào)其相互關(guān)系，每一個圓包含了前面的小圓，又包含在后面的大圓中，可以逐步拓廣.雖然8個圓代表了8種水平，但這些水平主要是表示內(nèi)層和外層的差別，并不是強(qiáng)調(diào)水平的高低之分，而是表明理解是一個動態(tài)的、組織的過程，因為在任一個水平上的理解活動包含了以前水平的所有理解，為發(fā)展的連續(xù)性提供內(nèi)層基礎(chǔ).

數(shù)學(xué)理解發(fā)展模型的應(yīng)用：以中學(xué)的函數(shù)教學(xué)為例，學(xué)生對函數(shù)的理解其實就是遵循這個模型的.學(xué)生從初二開始學(xué)習(xí)“變量說”的函數(shù)概念，接著了解到了一次函數(shù)、二次函數(shù)與反比例函數(shù)，這是“產(chǎn)生表象”水平的理解，由此形成了某個函數(shù)的表象，然后又注意到了函數(shù)的性質(zhì)，若能結(jié)合函數(shù)圖像解題，則達(dá)到了“關(guān)注性質(zhì)”的水平.但是到了高中，又學(xué)習(xí)了更抽象的“對應(yīng)說”的函數(shù)概念，在面對“分段函數(shù)”這類問題時，學(xué)生應(yīng)用初中的方法分析失效了，因為這類函數(shù)的圖像完全有別于初中.此時教師要提醒學(xué)生，根據(jù)高中“對應(yīng)關(guān)系”的函數(shù)概念來分析初中所學(xué)的函數(shù).于是學(xué)生會重新回到“產(chǎn)生表象”的一次函數(shù)、二次函數(shù)等的圖像上，以形成新的表象：從自變量的不同取值范圍去對應(yīng)畫圖像.學(xué)生學(xué)會了畫分段函數(shù)圖像后就會總結(jié)出一個畫圖像“程序”，這一次達(dá)到了“形式化”水平.在接下去的函數(shù)單調(diào)性、奇偶性學(xué)習(xí)中，學(xué)生又會折回產(chǎn)生表象和形成表象水平，借助初中所學(xué)的函數(shù)圖像去進(jìn)一步弄懂形式化水平所需要的概念（如單調(diào)性與奇偶性的定義）.當(dāng)學(xué)生這樣不斷地往復(fù)后，對高中函數(shù)的理解就發(fā)展得更豐富到位了，而一旦發(fā)展到“形式化”后，就可以應(yīng)用高中現(xiàn)有的表象進(jìn)行新函數(shù)的研究，而不必去重復(fù)或回憶初中的函數(shù)知識了，此時就達(dá)到了“觀察評述”與“組織結(jié)構(gòu)”的水平了.

在上述理解函數(shù)的過程中，當(dāng)學(xué)生的外層理解建立不起來時，就需要一次次地折返回去，將還薄弱的相應(yīng)內(nèi)容水平的認(rèn)識再建構(gòu)，以滿足外層水平的要求.這樣來回反復(fù)，波浪式地前進(jìn)，保證了理解發(fā)展獲得內(nèi)層水平的堅實基礎(chǔ).

根據(jù)學(xué)生理解數(shù)學(xué)的這個發(fā)展模型，一線教師在教學(xué)中要不斷采用“先行組織者”策略.該策略是教育心理學(xué)家奧蘇伯爾提出的，［4］是指在學(xué)習(xí)新材料之前呈現(xiàn)給學(xué)生的一種引導(dǎo)性學(xué)習(xí)材料，它以通俗的語言概括說明將要學(xué)習(xí)的新材料與認(rèn)知結(jié)構(gòu)中原有知識的聯(lián)系，為新知識的學(xué)習(xí)提供認(rèn)知框架.先行組織者可以是一個概念、一個定理或一段概括性的說明，當(dāng)然也可以是形象化的直觀模型.這個策略有助于學(xué)生發(fā)展直觀想象的能力，以培養(yǎng)核心素養(yǎng).

3.杜瓦爾的幾何認(rèn)知關(guān)系模型

英國的KeithJones認(rèn)為，學(xué)生的幾何推理能力的發(fā)展會對學(xué)生直觀想象的能力發(fā)展起著至關(guān)重要的作用，而杜瓦爾（Duval）的幾何認(rèn)知關(guān)系模型便是相關(guān)的幾何學(xué)習(xí)理論之一.

杜瓦爾認(rèn)為，幾何認(rèn)知可分為直觀、結(jié)構(gòu)和推理三類，［4］這三類的幾何認(rèn)知關(guān)系如圖2.

圖2 幾何認(rèn)知關(guān)系模型

幾何直觀就是指幾何性質(zhì)用圖形來表達(dá)，或者是復(fù)雜幾何情境的啟發(fā)式探究；結(jié)構(gòu)就是指用工具來繪制、構(gòu)造幾何圖形的過程；推理就是指知識的擴(kuò)展和解釋、證明的過程.杜瓦爾認(rèn)為直觀、結(jié)構(gòu)和推理之間雖然有相互促進(jìn)的關(guān)系，但他們之間也可以是相互獨(dú)立的認(rèn)識模式，直觀想象并不一定完全依賴于構(gòu)圖能力和推理能力.

幾何認(rèn)知關(guān)系模型的應(yīng)用：高中數(shù)學(xué)人教版《必修2》中，對立體幾何內(nèi)容就是采用“直觀感知、操作確認(rèn)、思辨認(rèn)證與度量計算”的方法來認(rèn)識和探索幾何圖形及性質(zhì)的，而其理論依據(jù)顯然與杜瓦爾的幾何認(rèn)知關(guān)系模型是一致的.也就是讓學(xué)生先對三維空間的立體圖形的整體觀察入手，產(chǎn)生一個直觀感知，再認(rèn)識和理解空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系和結(jié)構(gòu)，最后再進(jìn)行推理論證.當(dāng)然在這個過程中，也可以相互獨(dú)立.故《必修2》第一章的內(nèi)容是“空間幾何體”，這樣的編排也是可行的，而且這也符合人類認(rèn)識事物的普通規(guī)律.所以一線教師不必有顧慮，按照教材上的順序授課是沒問題的，等學(xué)生學(xué)完公理、定理，掌握推理論證后再回頭看空間幾何體，此時學(xué)生對度量計算會理解得更深刻，他們對空間幾何圖形的認(rèn)知就產(chǎn)生了螺旋形上升，有了質(zhì)的提高.

4.范希爾的幾何思維發(fā)展模型

荷蘭學(xué)者范希爾（vanHiele）將幾何思維的發(fā)展劃分為5個水平，［4］概括成了一個比較完整的體系，具體特征和相應(yīng)的層次水平見表1.

表1 范希爾幾何思維發(fā)展水平及含義

上述表中這些由低到高的水平層次是分先后順序的，學(xué)生在某一水平上要達(dá)到理解和掌握，其前提必須具備前一水平上的大部分能力；反之，學(xué)生在某一水平上理解不深，到了高一層次水平反過來俯視前一個層次內(nèi)容時，就可能理解清楚了.這些不同水平間的發(fā)展，不是靠年齡的增長和身體的成熟，主要是靠教學(xué)來推動.學(xué)生可通過若干教學(xué)階段取得進(jìn)步，但不能繞過某一水平向高層次發(fā)展.范希爾的幾何思維發(fā)展模型，被認(rèn)為在學(xué)生的直觀感知能力和幾何推理能力的培養(yǎng)方面提供了理論支撐.

幾何思維發(fā)展模型的應(yīng)用：范希爾的這套模型可適用于任何知識的學(xué)習(xí)，因為學(xué)習(xí)本身就是一個由下而上、由低到高、由淺入深的循序漸進(jìn)的過程，整個過程是發(fā)展的階段和連續(xù)的發(fā)展相互統(tǒng)一，所以這5個思維水平內(nèi)部是互相聯(lián)系與互相依賴的.比如，學(xué)生目前還只能思考水平Ⅰ的問題，若一定要他接受水平Ⅱ的知識內(nèi)容，就超過了他的承受能力，就很難有進(jìn)展.因此作為一線教師，一定要了解學(xué)生已有的認(rèn)知水平，然后再逐漸提升.

例如，在高中數(shù)學(xué)教材人教版《必修5》的第二章《數(shù)列》的2.1節(jié)，教材上介紹了畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的“形數(shù)理論”：“三角形數(shù)”與“正方形數(shù)”（如圖3、圖4）.

圖3 三角形數(shù)

圖4 正方形數(shù)

這是學(xué)生第一次遇到，先讓他們有一個直觀認(rèn)識，達(dá)到水平Ⅰ；接著在講到2.3節(jié)《等差數(shù)列的前n項和》時，可讓學(xué)生進(jìn)一步想象，以提升對“形數(shù)理論”的認(rèn)識：從“三角形數(shù)”推導(dǎo)出一次冪和的公式“1+2+3+…+n=，從“正方形數(shù)”推出前n個連續(xù)正奇數(shù)和的公式“1+3+5+…+（2n-1）=n2”（如圖5、圖6），從而使學(xué)生達(dá)到水平Ⅱ與水平Ⅲ.

圖5 兩個三角形數(shù)的組合推出一次冪和的公式

圖6 正方形數(shù)推出前n個連續(xù)正奇數(shù)和的公式

當(dāng)然教師還可繼續(xù)提升學(xué)生進(jìn)一步應(yīng)用“形數(shù)理論”的水平.當(dāng)講到2.5節(jié)《等比數(shù)列的前n項和》時，例3涉及二次冪和的公式“，教材上沒有證明，但借助“三角形數(shù)”的形式可進(jìn)行推導(dǎo)，如圖7，具體推導(dǎo)過程可見文5.此時學(xué)生對“形數(shù)理論”的認(rèn)知就可達(dá)到水平Ⅳ.

這樣一個循序漸進(jìn)的教學(xué)過程，就體現(xiàn)了學(xué)生從最初的直觀感知水平慢慢上升到抽象的形式演繹水平，完全符合范希爾的思維發(fā)展理論.事實上，學(xué)生的學(xué)習(xí)都可按此模型來解釋，所以教師對學(xué)習(xí)材料和每一階段的教學(xué)安排都可遵循此理論.

圖7 三角形數(shù)拓展后推出二次冪和的公式

三、結(jié)語

專家們提出的核心素養(yǎng)問題，在中學(xué)界也已討論得沸沸揚(yáng)揚(yáng).［6］從PME的視角去解讀“直觀想象”核心素養(yǎng)，也是為了找到相關(guān)已成熟的理論，以便在這些核心素養(yǎng)落地時能應(yīng)用.當(dāng)然，關(guān)于直觀想象的相關(guān)PME理論作為教師實踐的理論依據(jù)也是見仁見智.本文權(quán)當(dāng)拋磚引玉，共同在教學(xué)實踐中進(jìn)行討論商榷.

1.林崇德，沃建中，陳浩鶯，等.小學(xué)生圖形推理策略發(fā)展特點(diǎn)的研究［J］.心理科學(xué)，2003（1）.

2.孫敦甲，等.中學(xué)生數(shù)學(xué)能力發(fā)展的研究［J］.心理發(fā)展與研究，1992（4）.

3.李士锜，編著.PME：數(shù)學(xué)教育心理［M］.上海：華東師范大學(xué)出版社，2005.

4.沈金興，王奮平.從PME視角看直觀想象素養(yǎng)及其培養(yǎng)［J］.教育研究與評論，2017（4）.

5.沈金興.畢氏學(xué)派的“形數(shù)理論”及應(yīng)用［J］.數(shù)學(xué)通訊，2013（10）.

6.楊廣娟.“數(shù)學(xué)抽象”核心素養(yǎng)的養(yǎng)成途徑［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2017（4）.F