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    看清線性規(guī)劃的“真面目”

    2018-01-23 09:27:55江蘇省常州市北郊高級(jí)中學(xué)包靜怡
    中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2018年1期
    關(guān)鍵詞:真面目約束條件斜率

    ☉江蘇省常州市北郊高級(jí)中學(xué) 包靜怡

    在高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中,學(xué)生對(duì)于線性規(guī)劃掌握的程度往往不盡如人意.究其原因,很多學(xué)生對(duì)于線性規(guī)劃的認(rèn)知僅僅停留在一個(gè)非常表象的層面,即看到題目中出現(xiàn)線性約束條件(二元一次不等式組),才會(huì)想到用線性規(guī)劃來解題.如果題目條件中沒有出現(xiàn)約束條件,或者給出的約束條件形式不夠常規(guī),又或者換成了函數(shù)、數(shù)列等其他的背景,學(xué)生在解題中都容易出現(xiàn)問題.

    下面我們通過對(duì)幾個(gè)典例的研究,從而看清線性規(guī)劃的“真面目”.

    一、題目中有約束條件,但是背景融入了其他數(shù)學(xué)知識(shí)

    例1設(shè)f(x)=ax2+bx,且1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,則f(-2)的取值范圍為_______.

    例2 等差數(shù)列{an}中,已知首項(xiàng)a1及公差d都是整數(shù),前n項(xiàng)和為Sn.若a1≥6,a11>0,S14≤77,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

    解析:由題意可得到關(guān)于a1,d的不等式組N*,則d=-1.代入不等式組得到10<a1≤12,a1∈N*,則a1=11或12.所以an=12-n或an=13-n.

    通過這兩個(gè)例題,我們發(fā)現(xiàn)其實(shí)不在于題目給出的背景是什么數(shù)學(xué)知識(shí),只要可以從中抽離出約束條件及目標(biāo)函數(shù),就可以轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃解決.

    二、題目中沒有約束條件,需要尋求約束條件

    例3若函數(shù)(fx)=x2+ax+2b在區(qū)間(0,1)和(1,2)內(nèi)各有一個(gè)零點(diǎn),則的取值范圍是_________

    解析:若函數(shù)f(x)=x2+ax+2b在區(qū)間(0,1),(1,2)內(nèi)組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域,如圖1,因?yàn)椋瑒tz的幾何意義為區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)到點(diǎn)D(1,2)的斜率,根據(jù)線性規(guī)劃知識(shí)可得范圍為

    圖1

    本題給出的條件是二次函數(shù)的根的分布問題,可等價(jià)轉(zhuǎn)化成二元一次不等式組,也就是線性規(guī)劃的約束條件,而所求的分式可以轉(zhuǎn)化為斜率型目標(biāo)函數(shù)研究.

    例4定義在R上的奇函數(shù)y=f(x)為減函數(shù),若m,n滿足f(m2-2m)+f(2n-n2)≥0,則值范圍為______.

    解析:由于函數(shù)為奇函數(shù)且為減函數(shù),故由f(m2-2m)+f(2n-n2)≥0得f(m2-2m)≥f(n2-2n),即m2-2m≤n2-2n,(m+n-2)(m-n)≤0,畫出可行域,如圖2所示,由圖可知

    圖2

    本題利用函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性,將不等式的問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題來求解,同樣需要通過轉(zhuǎn)化將約束條件找出.

    這組例題考查的是學(xué)生轉(zhuǎn)化思想的熟練運(yùn)用,題中沒有明顯的二元不等式組出現(xiàn),而是藏在各種背景的數(shù)學(xué)知識(shí)中,要運(yùn)用等價(jià)轉(zhuǎn)化將約束條件尋找出來,就成為一個(gè)線性規(guī)劃問題了.

    三、題目中有約束條件,但約束條件不常規(guī)

    1.約束條件非線性

    例5 在平面直角坐標(biāo)系xOy中,A(-12,0),B(0,6),點(diǎn)P在圓O:x2+y2=50上,若≤20,則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍是_______.

    本題結(jié)合直線與圓、平面向量的知識(shí),可以用線性規(guī)劃知識(shí)解決.在研究過程中發(fā)現(xiàn),動(dòng)點(diǎn)所在區(qū)域并不是我們一般常規(guī)的線性約束條件所得到的邊界直線圍成的一塊區(qū)域,而是一段圓弧.我們都知道,目標(biāo)函數(shù)非線性的還有斜率型和距離型這兩種常規(guī)類型,但是約束條件非線性的情況相對(duì)來說學(xué)生沒有那么熟悉,只要弄清楚動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡,其實(shí)仍然可以運(yùn)用線性規(guī)劃的方法解決.

    2.約束條件為多元問題

    例6 已知△ABC的三邊分別是a,b,c,2a>b+c,2c<

    例7 已知正數(shù)a,b,c滿足:5c-3a≤b≤4c-a,clnb≥a+clnc,則的取值范圍是____________.

    作出(x,y)所在平面區(qū)域,如圖3所示.設(shè)y=ex上切點(diǎn)為則切線方程為,將原點(diǎn)代入得x0=1,求出y=ex的切線的斜率為e,即的最小值為e.

    圖3

    此題表面上是關(guān)于不等式的基本問題,可是深入分析發(fā)現(xiàn)簡單的不等式性質(zhì)不夠用.構(gòu)造關(guān)于的不等式組,將三元一次不等式組化成二元,這樣就可以化歸為線性規(guī)劃問題進(jìn)行解決.本題綜合性較強(qiáng),既有多元變量需要處理,約束條件也有非線性的情況出現(xiàn),對(duì)學(xué)生轉(zhuǎn)化與化歸思想運(yùn)用的要求相當(dāng)高.

    線性規(guī)劃的本質(zhì)是代數(shù)問題幾何化,利用圖像解決二元變量取值范圍問題,其核心思想是數(shù)形結(jié)合.在高考題中多與函數(shù)、不等式、平面向量等知識(shí)結(jié)合,以考查學(xué)生的綜合運(yùn)用能力.只要我們認(rèn)清其本質(zhì),不管其背景如何,與哪些數(shù)學(xué)知識(shí)綜合,有沒有明確給出約束條件,約束條件是否線性,變量是二元還是三元,熟練運(yùn)用轉(zhuǎn)化與化歸思想,線性規(guī)劃作為求解二元變量取值范圍的基本手段之一,都是我們解決這類問題的利器.F

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