看清線性規(guī)劃的“真面目”

☉江蘇省常州市北郊高級(jí)中學(xué) 包靜怡

在高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中，學(xué)生對(duì)于線性規(guī)劃掌握的程度往往不盡如人意.究其原因，很多學(xué)生對(duì)于線性規(guī)劃的認(rèn)知僅僅停留在一個(gè)非常表象的層面，即看到題目中出現(xiàn)線性約束條件（二元一次不等式組），才會(huì)想到用線性規(guī)劃來解題.如果題目條件中沒有出現(xiàn)約束條件，或者給出的約束條件形式不夠常規(guī)，又或者換成了函數(shù)、數(shù)列等其他的背景，學(xué)生在解題中都容易出現(xiàn)問題.

下面我們通過對(duì)幾個(gè)典例的研究，從而看清線性規(guī)劃的“真面目”.

一、題目中有約束條件，但是背景融入了其他數(shù)學(xué)知識(shí)

例1設(shè)f（x）=ax2+bx，且1≤f（-1）≤2，2≤f（1）≤4，則f（-2）的取值范圍為_______.

例2 等差數(shù)列｛an｝中，已知首項(xiàng)a1及公差d都是整數(shù)，前n項(xiàng)和為Sn.若a1≥6，a11＞0，S14≤77，求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式.

解析：由題意可得到關(guān)于a1，d的不等式組N*，則d=-1.代入不等式組得到10＜a1≤12，a1∈N*，則a1=11或12.所以an=12-n或an=13-n.

通過這兩個(gè)例題，我們發(fā)現(xiàn)其實(shí)不在于題目給出的背景是什么數(shù)學(xué)知識(shí)，只要可以從中抽離出約束條件及目標(biāo)函數(shù)，就可以轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃解決.

二、題目中沒有約束條件，需要尋求約束條件

例3若函數(shù)（fx）=x2+ax+2b在區(qū)間（0，1）和（1，2）內(nèi)各有一個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是_________

解析：若函數(shù)f（x）=x2+ax+2b在區(qū)間（0，1），（1，2）內(nèi)組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，如圖1，因?yàn)椋瑒tz的幾何意義為區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)到點(diǎn)D（1，2）的斜率，根據(jù)線性規(guī)劃知識(shí)可得范圍為

圖1

本題給出的條件是二次函數(shù)的根的分布問題，可等價(jià)轉(zhuǎn)化成二元一次不等式組，也就是線性規(guī)劃的約束條件，而所求的分式可以轉(zhuǎn)化為斜率型目標(biāo)函數(shù)研究.

例4定義在R上的奇函數(shù)y=f（x）為減函數(shù)，若m，n滿足f（m2-2m）+f（2n-n2）≥0，則值范圍為______.

解析：由于函數(shù)為奇函數(shù)且為減函數(shù)，故由f（m2-2m）+f（2n-n2）≥0得f（m2-2m）≥f（n2-2n），即m2-2m≤n2-2n，（m+n-2）（m-n）≤0，畫出可行域，如圖2所示，由圖可知

圖2

本題利用函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性，將不等式的問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題來求解，同樣需要通過轉(zhuǎn)化將約束條件找出.

這組例題考查的是學(xué)生轉(zhuǎn)化思想的熟練運(yùn)用，題中沒有明顯的二元不等式組出現(xiàn)，而是藏在各種背景的數(shù)學(xué)知識(shí)中，要運(yùn)用等價(jià)轉(zhuǎn)化將約束條件尋找出來，就成為一個(gè)線性規(guī)劃問題了.

三、題目中有約束條件，但約束條件不常規(guī)

1.約束條件非線性

例5 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A（-12，0），B（0，6），點(diǎn)P在圓O：x2+y2=50上，若≤20，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍是_______.

本題結(jié)合直線與圓、平面向量的知識(shí)，可以用線性規(guī)劃知識(shí)解決.在研究過程中發(fā)現(xiàn)，動(dòng)點(diǎn)所在區(qū)域并不是我們一般常規(guī)的線性約束條件所得到的邊界直線圍成的一塊區(qū)域，而是一段圓弧.我們都知道，目標(biāo)函數(shù)非線性的還有斜率型和距離型這兩種常規(guī)類型，但是約束條件非線性的情況相對(duì)來說學(xué)生沒有那么熟悉，只要弄清楚動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，其實(shí)仍然可以運(yùn)用線性規(guī)劃的方法解決.

2.約束條件為多元問題

例6 已知△ABC的三邊分別是a，b，c，2a＞b+c，2c＜

例7 已知正數(shù)a，b，c滿足：5c-3a≤b≤4c-a，clnb≥a+clnc，則的取值范圍是____________.

作出（x，y）所在平面區(qū)域，如圖3所示.設(shè)y=ex上切點(diǎn)為則切線方程為，將原點(diǎn)代入得x0=1，求出y=ex的切線的斜率為e，即的最小值為e.

圖3

此題表面上是關(guān)于不等式的基本問題，可是深入分析發(fā)現(xiàn)簡單的不等式性質(zhì)不夠用.構(gòu)造關(guān)于的不等式組，將三元一次不等式組化成二元，這樣就可以化歸為線性規(guī)劃問題進(jìn)行解決.本題綜合性較強(qiáng)，既有多元變量需要處理，約束條件也有非線性的情況出現(xiàn)，對(duì)學(xué)生轉(zhuǎn)化與化歸思想運(yùn)用的要求相當(dāng)高.

線性規(guī)劃的本質(zhì)是代數(shù)問題幾何化，利用圖像解決二元變量取值范圍問題，其核心思想是數(shù)形結(jié)合.在高考題中多與函數(shù)、不等式、平面向量等知識(shí)結(jié)合，以考查學(xué)生的綜合運(yùn)用能力.只要我們認(rèn)清其本質(zhì)，不管其背景如何，與哪些數(shù)學(xué)知識(shí)綜合，有沒有明確給出約束條件，約束條件是否線性，變量是二元還是三元，熟練運(yùn)用轉(zhuǎn)化與化歸思想，線性規(guī)劃作為求解二元變量取值范圍的基本手段之一，都是我們解決這類問題的利器.F