不同版本周期函數(shù)概念的解析·比較·疑惑

☉上海市奉賢中學(xué) 蔡 悅

在滬教版高中教材中，函數(shù)周期性這一概念出現(xiàn)在6.1章節(jié)：“一般地，對(duì)于函數(shù)f（x），如果存在一個(gè)常數(shù)T（T≠0），使得當(dāng)x取定義域D內(nèi)的任意值時(shí)，都有f（x+T）=f（x）成立，那么函數(shù)f（x）叫做周期函數(shù)，常數(shù)T叫做函數(shù)f（x）的周期.對(duì)于一個(gè)周期函數(shù)f（x）來(lái)說(shuō)，如果在所有的周期中存在一個(gè)最小正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做函數(shù)f（x）的最小正周期.”［1］

筆者翻閱資料，高中數(shù)學(xué)教材中較有代表性的北師大版、人教版、蘇教版，雖然這些教材中周期函數(shù)的引入方式各有差異，但對(duì)于周期函數(shù)這一概念的表述基本一致.根據(jù)這一概念，結(jié)合筆者多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，有以下思考.

一、對(duì)于概念中“任意”的理解

如何正確理解概念中“當(dāng)x取定義域D內(nèi)的任意值時(shí)，都有f（x+T）=f（x）成立”，首先要將其中的“任意”與“存在”類(lèi)結(jié)論進(jìn)行區(qū)分.例如，判斷函數(shù)f（x）=sinx（x≠0）是不是周期函數(shù).我們知道f（x）=sinx（x∈R）是一個(gè)周期為2π的周期函數(shù)，然而應(yīng)當(dāng)注意到定義域中挖去0后，當(dāng)x=-2π時(shí)，f（x+2π）=f（0）無(wú)意義.于是該函數(shù)并不是周期函數(shù)，因?yàn)橛幸粋€(gè)地方不滿足要求，不符合“任意”一詞.也就是說(shuō)，周期性應(yīng)當(dāng)是函數(shù)的整體性質(zhì)，并不存在函數(shù)局部滿足周期性的說(shuō)法.

而進(jìn)一步挖掘概念中這句話，我們可以得到一個(gè)隱含的條件“若x∈D，則必有x+T∈D”.于是就有了這樣的結(jié)論：“若函數(shù)f（x）存在正周期T，則其定義域必定正向無(wú)界，也就是自變量的值可以趨向正無(wú)窮；若函數(shù)f（x）存在負(fù)周期T，則其定義域必定負(fù)向無(wú)界，也就是自變量的值可以趨向負(fù)無(wú)窮.”于是對(duì)于如y=sinx這樣的既有正周期又有負(fù)周期的函數(shù)而言，其定義域必定可以趨向正無(wú)窮和負(fù)無(wú)窮.于是在判斷一個(gè)函數(shù)是否為周期函數(shù)時(shí)，定義域可以作為一個(gè)先決的條件.

二、概念理解中的兩個(gè)常見(jiàn)誤區(qū)

（1）教材中指出：“在本書(shū)中提到三角函數(shù)的周期

我們不妨再進(jìn)一步，如果將命題改為“所有存在正周期的非常值函數(shù)的周期函數(shù)都一定存在最小正周期”，［2］又是否正確呢？其實(shí)這個(gè)命題仍然錯(cuò)誤，比如Dirichlet函數(shù)：為有理數(shù)，所有的有理數(shù)都是它的為無(wú)理數(shù)，周期，自然存在正周期，同時(shí)也是非常值函數(shù)，然而它還是不存在最小正周期.

（2）若函數(shù)（fx）存在周期T，則kT（k為非零整數(shù)）一定也是（fx）的周期嗎？這個(gè)命題對(duì)于初學(xué)的學(xué)生來(lái)說(shuō)，是很容易弄錯(cuò)的.因?yàn)槿绻麅H著眼于如y=sinx這樣的既有正周期又有負(fù)周期的函數(shù)，那么就無(wú)法找到反例.事實(shí)上，對(duì)于像前面提到的函數(shù)y=sinx（x≤0）這樣，僅存在負(fù)周期而無(wú)正周期的函數(shù)而言，不難發(fā)現(xiàn)，若T和kT都是其周期，則，于是命題中的常數(shù)k必須是正整數(shù).同樣，對(duì)于僅存在正周期而無(wú)負(fù)周期的函數(shù)也是如此.時(shí)，一般都是指它們的最小正周期.”那么，是否所有的周期函數(shù)都一定存在最小正周期呢？其實(shí)不然，比如函數(shù)y=sinx（x≤0），因?yàn)闈M足sin（x-2kπ）=sinx（k∈N*），所以它有負(fù)周期-2kπ（k∈N*），卻不存在正周期，更不存在最小正周期.

那么，如果將這個(gè)命題改為“所有存在正周期的周期函數(shù)都一定存在最小正周期”，又是否正確呢？其實(shí)仍然可以找到反例，比如，常值函數(shù)y=1（x∈R），顯然任意的正實(shí)數(shù)都是它的正周期，但不存在最小正周期.

三、概念的幾何解釋

從概念上理解，不難得到周期函數(shù)的圖像存在這樣的特征：若周期T＞0（T＜0），則函數(shù)圖像上任意一點(diǎn)向右（左）平移T個(gè)單位后仍在該函數(shù)圖像上.為了辨析理解，筆者在課上設(shè)計(jì)了兩個(gè)函數(shù)的圖像（圖1、圖2），其實(shí)只要理清周期函數(shù)的圖像特征，不難發(fā)現(xiàn)它們都不是周期函數(shù).

圖1

圖2

至此，我們對(duì)于周期函數(shù)的圖像特征似乎已經(jīng)挖掘得較為透徹.然而筆者發(fā)現(xiàn)，更多的學(xué)生對(duì)于周期函數(shù)的圖像停留在了“周而復(fù)始”、“不斷重復(fù)”這樣的印象上.那么，周期函數(shù)的圖像是否一定是學(xué)生所認(rèn)為的“周而復(fù)始”、“不斷重復(fù)”呢？我們不妨來(lái)考查這樣一個(gè)函數(shù)：我們將周期函數(shù)f（x）=|x-2k|（x∈［2k-1，2k+1］，k∈N） 的圖像僅僅取…（其中m∈N）的部分，于是就得到了如圖3所示的函數(shù)圖像.從圖像上來(lái)看，似乎與學(xué)生印象中的“周而復(fù)始”、“不斷重復(fù)”并不吻合，該圖像上相鄰兩段通過(guò)平移并不能重合，然而這的確是一個(gè)周期函數(shù)，滿足周期的定義：當(dāng)x取定義域D內(nèi)的任意值時(shí)，都有f（x+2）=f（x）成立，所以這是一個(gè)周期為2的函數(shù).

圖3

四、概念的延伸

若定義域?yàn)镽的函數(shù)f（x）、g（x）都是周期函數(shù)，那么f（x）+g（x）也一定是周期函數(shù)嗎？對(duì)于這個(gè)命題，學(xué)生甲給出這樣的解答：假設(shè)函數(shù)f（x）的周期為T(mén)1，函數(shù)g（x）的周期為T(mén)2，則有f（x+T1）=f（x），g（x+T2）=g（x），所以只需取T=［T1，T2］（［T1，T2］為T(mén)1和T2的最小公倍數(shù)），那么f（x+T）+g（x+T）=f（x）+g（x），所以T為函數(shù)f（x）+g（x）的周期.如此解答粗看似乎挺有道理，但其實(shí)經(jīng)不起推敲，倘若T1和T2不存在最小公倍數(shù)呢，比如T1是無(wú)理數(shù)，T2是有理數(shù)，那就找不到這樣的周期T了.所以這個(gè)命題其實(shí)是假命題.同樣地，對(duì)于兩個(gè)周期函數(shù)作其他四則運(yùn)算也是如此.

反過(guò)來(lái)，如2016年上海高考卷第18題，判斷命題真假：設(shè)f（x）、g（x）、h（x）是定義域?yàn)镽的三個(gè)函數(shù)，若f（x）+g（x），f（x）+h（x），g（x）+h（x）均是以T為周期的函數(shù)，則f（x）、g（x）、h（x）均是以T為周期的函數(shù).這個(gè)命題是真命題，因?yàn)闂l件中這三個(gè)函數(shù)的周期相等，那么它們作四則運(yùn)算的結(jié)果也都是周期函數(shù).比如：f（x）=所以函數(shù)f（x）也是周期函數(shù).

那么對(duì)于兩個(gè)定義域?yàn)镽的函數(shù)的復(fù)合函數(shù)y=f（g（x））呢？容易發(fā)現(xiàn)，若f（x）是周期函數(shù)，而g（x）不是，則函數(shù)y=f（g（x））不一定是周期函數(shù)；若g（x）是周期函數(shù)，則無(wú)論f（x）是不是周期函數(shù)，函數(shù)y=f（g（x））一定是周期函數(shù).

反過(guò)來(lái)，若函數(shù)y=f（g（x））是周期函數(shù)，那么定義域?yàn)镽的兩個(gè)函數(shù)f（x）、g（x）是否至少有一個(gè)是周期函數(shù)呢？其實(shí)，這還是一個(gè)假命題.如：f（x）=x2，g（x）=sin|x|；再如

五、對(duì)于概念的疑問(wèn)

雖然滬教版、北師大版、人教版、蘇教版高中數(shù)學(xué)教材中函數(shù)周期性的表述基本一致，但查閱大學(xué)代表性教材，如高等教育出版社的同濟(jì)版高等數(shù)學(xué)（第六版）：設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镈，如果存在一個(gè)正數(shù)l，使得對(duì)于任意x∈D有（x±l）∈D，且f（x+l）=f（x）恒成立，則稱(chēng)f（x）是周期函數(shù)，l稱(chēng)為f（x）的周期.［3］

再如高等教育出版社的數(shù)學(xué)分析講義（第五版）：設(shè)函數(shù)f（x）定義在數(shù)集A上.若?l＞0，?x∈A，有x±l∈A且f（x±l）=f（x），則稱(chēng)f（x）是周期函數(shù)，l稱(chēng)為函數(shù)f（x）的一個(gè)周期.［4］

我們不難發(fā)現(xiàn)，與中學(xué)教材中“周期函數(shù)”概念不同的是，大學(xué)教材中要求周期函數(shù)必須同時(shí)滿足f（x+T）=f（x）和f（x-T）=f（x）兩個(gè)條件，這也意味著其定義域的值可以趨向正無(wú)窮及負(fù)無(wú)窮.如此一來(lái)，以上所探究的很多問(wèn)題顯然都會(huì)出現(xiàn)不同的結(jié)果.再如問(wèn)題：周期數(shù)列是不是周期函數(shù)？按照高中概念，理當(dāng)算是，因?yàn)閿?shù)列也是一類(lèi)特殊的函數(shù)，顯然周期數(shù)列存在正周期，但不存在負(fù)周期.然而按照大學(xué)教材，肯定不是.

同一概念上如此的偏差勢(shì)必會(huì)對(duì)各自的教學(xué)帶來(lái)影響，也不利學(xué)生前后學(xué)習(xí)的連貫性.希望能夠盡快看到兩者的相融，釋疑筆者一直以來(lái)對(duì)于這一概念的困惑.

1.袁振東，趙小平.高級(jí)中學(xué)課本高中一年級(jí)第二學(xué)期數(shù)學(xué)［M］.上海：上海教育出版社，2007.

2.黃利娜.周期函數(shù)和的周期性［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)，2004（1）.

3.同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)第六版上冊(cè)［M］.北京：高等教育出版社，2007.

4.劉玉璉.數(shù)學(xué)分析講義（第五版）［M］.北京：高等教育出版社，2008.F