具有時變脈沖的隨機時滯微分系統(tǒng)的指數(shù)穩(wěn)定性*

李寧寧， 吳小太

(安徽工程大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，安徽 蕪湖 241000)

0 前 言

隨著隨機分析理論的飛速發(fā)展，隨機時滯微分系統(tǒng)已經(jīng)被廣泛應(yīng)用于機械、電子、控制、物理、金融等眾多領(lǐng)域的系統(tǒng)建模與理論分析中，它可以有效地刻畫隨機因素對系統(tǒng)的影響[1]，并能夠反映系統(tǒng)在實際運行過程的時滯現(xiàn)象[2]。同時，脈沖現(xiàn)象在現(xiàn)實世界中廣泛存在，如電路系統(tǒng)中開關(guān)的閉合，心跳的突然變化，氣候突變對生物種群生長的影響，經(jīng)濟學(xué)中的一些最優(yōu)控制等[3-6]。穩(wěn)定性一直以來都是脈沖隨機微分系統(tǒng)性質(zhì)研究的一個非常重要的研究方向，并已經(jīng)取得了很多有意義的成果[7-13]。

在脈沖系統(tǒng)中，脈沖可以發(fā)揮控制或擾動兩種不同的作用?，F(xiàn)有文獻中大部分將兩種情況分開考慮，即分別考慮系統(tǒng)受到控制或擾動脈沖作用時系統(tǒng)穩(wěn)定的充分條件。然而，在脈沖系統(tǒng)中，這兩種類型的脈沖可能會同時出現(xiàn)在一個系統(tǒng)中，即在不同的脈沖時刻發(fā)生的脈沖類型不同，它可以隨時間推移而發(fā)生變化。文獻[14]研究了時變脈沖作用下，脈沖神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的指數(shù)穩(wěn)定性，使用Lyapunov函數(shù)與比較定理的方法，研究了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)指數(shù)穩(wěn)定的充分條件。然而，文獻[14]中仍然存在著一些局限性，主要體現(xiàn)在以下兩個方面：一是在脈沖暫留時間的假定下進行考慮。文獻[12-13]提出了平均暫留時間的概念，并說明了平均暫留時間和相對暫留時間有著更加良好的優(yōu)點，如脈沖的上界可以達到足夠大、下界可以充分小；二是文獻僅針對確定性脈沖微分系統(tǒng)，而沒有考慮系統(tǒng)在隨機因素影響下系統(tǒng)的穩(wěn)定性情況。同時，文獻[14]僅針對神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)考慮了時變脈沖作用下系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

綜上所述，本文借助脈沖平均暫留時間的概念，對具有時變脈沖的隨機時滯微分系統(tǒng)的穩(wěn)定性展開研究。借助Lyapunov函數(shù)與比較定理的方法，分析在時變脈沖作用下非線性隨機時滯微分系統(tǒng)的指數(shù)穩(wěn)定性，并針對不同類型的脈沖分別給出其對應(yīng)的平均脈沖區(qū)間。

1 相關(guān)定義

在本文中，將考慮如下具有時變脈沖的隨機時滯微分系統(tǒng)：

(1)

其中：

(i)tk,k∈N+是一個嚴格遞增的脈沖時間序列，αk∈R表示脈沖信號的強度。假定I=I∪UIS為所有類型脈沖組成的集合，其中IU={1，2，…，N}為擾動脈沖集合，對?i∈IU，有脈沖強度│αi│>1；IS={1，2，…，M}為控制脈沖集合，對于?j∈IS，有脈沖強度│αj│<1。

假設(shè)C1,2是非負函數(shù)V(t,x)在區(qū)間[t0-γ,∞)×Rd上的族，其中V(t,x)對于t是一次可微的，對于x是連續(xù)兩次可微的。 對?V∈C1,2，針對式(1)，定義算子τV=R+×PC([-γ,0];Rd)→Rd

其中：

定義1[1]脈沖隨機時滯微分系統(tǒng)式(1)指數(shù)穩(wěn)定，若有

E│x(t)│p

這里M與β均為正常數(shù)。

與

則當u(t)≤v(t),-γ≤t≤t0時，有u(t)≤v(t),t≥t0。

2 主要結(jié)論

這里將針對具有時變脈沖的隨機時滯微分系統(tǒng)式(1)，使用比較定理研究系統(tǒng)指數(shù)穩(wěn)定的充分條件。

定理1 假設(shè)存在正常數(shù)c1,c2,p,λ2與常數(shù)λ1∈R,使得式(H1)-(H4)成立：

(H1)c1│x│p≤V(t,x(t))≤c2│x│p

(H2)EτV(t,x(t))≤λ1EV(t,x(t))+λ2E(t,x(t+θ)),θ∈[-Υ,0]

(H4)α-λ2R>0,這里

則脈沖隨機時滯微分系統(tǒng)式(1)指數(shù)穩(wěn)定。

dV(t,x(t))=τV(t,x(t))dt+

Vx(t,x(t))g(t,xt)dB(t)

(2)

因此

EV(t+△t,x(t+△t))-EV(t,x(t))=

(3)

其中△t>0且足夠小，使得t+△t∈[tk,tk+1)。故有

D+EV(t,x(t))=EτV(t,x(t))

(4)

于是，由(H2)與(H3)，有

(5)

(6)

這里0≤γ(t)≤t。由引理1，有

EV(t,x(t))≤v(t),t≤0

(7)

易知，方程式(6)的解為

(8)

其中，W(s,t),0≤s≤t是以下微分方程的解：

(9)

由方程式(9)可得到W(s,t)的表達式如下：

W(s,t)=eλ1(t-s)∏s

(10)

對于擾動脈沖i∈IU與控制脈沖j∈IS，由定義2與式(10)可得

W(s,t)=

eλ1(t-s)∏i∈IU│αj│Nj(s,t)∏j∈IS│αj│Nj(s,t)≤eλ1(t-s)

(11)

令η=Rsup-T≤s≤0│φ(s)│，將式(11)代入式(8)，即有：

(12)

定義h(v)=v-α+λ2ReVr。由(H4)可知h(0)<0與h(+∞)=+∞，且h′(v)=1+λ2RγevΥ>0。故存在唯一的β>0使得：

β-α+λ2Reβr=0

(13)

另外，由h(0)<0可知R-1α-λ2>0。因此

(14)

所以，斷定

(15)

接下來，將使用反證法證明式(15)。

假設(shè)式(15)不成立，那么存在一個t*>0使得：

(16)

以及

(17)

由式(12)和式(17)可得：

(18)

再由式(13)和式(18)可得：

(19)

E│x(t)│p<ηe-βt

(20)

故脈沖隨機時滯微分系統(tǒng)式(1)是指數(shù)穩(wěn)定。

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