題根教學(xué)模式在高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課中的有效應(yīng)用

谷葉芬

摘要：高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課主要以例題教學(xué)為主要方式，怎樣的例題教學(xué)更有效呢，本文通過(guò)對(duì)一節(jié)公開(kāi)課的教學(xué)片斷來(lái)描述題根教學(xué)模式在高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課中的有效應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：高三；復(fù)習(xí)課；題根

題根不是一個(gè)概念、不是結(jié)論，而是一個(gè)問(wèn)題。它是一個(gè)題族的根祖，一個(gè)題系中的根基，一個(gè)題群中的代表。高三階段，需要大量的習(xí)題來(lái)鞏固和加深對(duì)教學(xué)知識(shí)點(diǎn)的理解和應(yīng)用。題根教學(xué)模式有利于學(xué)生有效的將高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行系統(tǒng)化、理論化的歸類；有利于學(xué)生對(duì)零散的高中數(shù)學(xué)內(nèi)容進(jìn)行有效的加工處理，使其更加具有規(guī)律化；有利于學(xué)生對(duì)同一類型的題目進(jìn)行模式化。在高三的復(fù)習(xí)中我嘗試用題根教學(xué)的模式嘗試解決高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課選題難、編題難、講題難的問(wèn)題。

一、題根教學(xué)模式有利于固基礎(chǔ)

很多老師在選題的時(shí)候會(huì)選擇自己擅長(zhǎng)的而非學(xué)生需要的或者是比較難的，學(xué)生需要花費(fèi)很長(zhǎng)的時(shí)間和精力來(lái)解決的。這樣選題不僅達(dá)不到例題應(yīng)有的效果，更浪費(fèi)學(xué)生的有限的時(shí)間和體力。題目選擇的過(guò)于簡(jiǎn)單或者過(guò)于難都無(wú)法達(dá)到好的復(fù)習(xí)效果，題根教學(xué)模式有利于幫助我們從浩瀚無(wú)邊的題海中選擇師生都需要的題。

2016年10月25日有幸在市綠耕送培活動(dòng)中上了一節(jié)題為《一類錐體的體積探究》的公開(kāi)課。在這節(jié)公開(kāi)課中，我以題根教學(xué)模式在課堂中利用1道例題及其變式完成了錐體的體積復(fù)習(xí)。以下是我本節(jié)課的第1個(gè)教學(xué)片斷：

例1、已知三棱錐S-ABC，△ABC是邊長(zhǎng)為1的正三角形，SA⊥AC，SB⊥BC，且SC=2，則此棱錐的體積為（ ）

生1：定義法（圖1）：做平面ABC的垂線SD，則V=

生2：分割法（圖2）：取AB的中點(diǎn)E，則由SA=SB，CA=CB，知AB 平面SEC，故V=

生3：分割法（圖3）：過(guò)A做 ，連接BF，，由 ， ，故V=

師生總結(jié)：三棱錐的體積問(wèn)題，本質(zhì)是尋找錐體中的垂直關(guān)系，三棱錐S-ABC是含有兩個(gè)全等面的三棱錐，而兩個(gè)面全等，另外兩個(gè)面一定為等腰，所以我們可以尋找AB的中點(diǎn)E，或者SC邊的垂足來(lái)尋找線與面的垂直關(guān)系。

題根的選擇應(yīng)該幫助學(xué)生夯實(shí)基礎(chǔ)，在教學(xué)片斷1中，我選擇的題根為一個(gè)常規(guī)的求錐體體積問(wèn)題，這是一個(gè)常見(jiàn)的問(wèn)題，切入點(diǎn)低，解題方法有定義法，分割法，補(bǔ)形法，以及作為一道選擇題可以用放縮法。在本節(jié)課中學(xué)生共用了6種方法解決。實(shí)際上解決此題的方法至少有8種。如此基礎(chǔ)而靈活的題根既幫助學(xué)生完成了對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的回顧，豐富了解題方法，開(kāi)拓了解題思路，也讓學(xué)生升級(jí)了自己的解題技能。更重要的是固化了學(xué)生的學(xué)科基礎(chǔ)，每一種方法的獲得都是學(xué)生對(duì)學(xué)科知識(shí)體系的再鞏固，再整理。

二、題根教學(xué)模式有利于活變式

變式教學(xué)是高三數(shù)學(xué)習(xí)題課的主要教學(xué)模式。任何一道題只要進(jìn)行數(shù)據(jù)的改編，就是會(huì)不一樣。但僅僅只是數(shù)據(jù)的變化，學(xué)生在變式的解題的過(guò)程中只是機(jī)械模式的訓(xùn)練。好的變式是對(duì)例題的鞏固和升華，是對(duì)學(xué)生思維的開(kāi)拓。題根教學(xué)模式有利于我們對(duì)變式進(jìn)行靈活處理。以下是我的第2個(gè)教學(xué)片斷：

變式：已知三棱錐S-ABC，AC=BC=1，SA⊥AC，SB⊥BC，且SC=2，則此棱錐的體積的最大值為_(kāi)___________

生4：由例1知，V= ，要計(jì)算體積的最大值，只需要計(jì)算 面積的最大值，設(shè)AB=x，則 = ，當(dāng)x= 時(shí)，此三角形的面積最大，此三棱錐體積的最大值為

生5： = ，當(dāng) = 時(shí)，三角形面積最大，三棱錐的體積有最大值

師生總結(jié)：此題中，我們可以選擇以AB的邊長(zhǎng)作為變量，也可以選擇 為變量。事實(shí)上，當(dāng)SAC固定之后，SBC可以看成是SAC繞著SC旋轉(zhuǎn)所得到的面，而在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，二面角A-SC-B的平面角即為 ，顯然當(dāng) = 時(shí)，體積最大。

所謂題根，它只是一個(gè)根本，想要學(xué)生在課堂中收獲更多，我們要從題根做出探究的起點(diǎn)，引發(fā)更高一級(jí)的問(wèn)題的產(chǎn)生。著名數(shù)學(xué)家希爾伯特說(shuō)：數(shù)學(xué)寶藏是無(wú)窮無(wú)盡的，一個(gè)問(wèn)題一旦解決，無(wú)數(shù)尋的問(wèn)題就會(huì)代之而起。教學(xué)片斷2中的變式是例1條件的弱化，引入一個(gè)變量。通過(guò)這個(gè)變量對(duì)兩個(gè)全等面的這一類題型的動(dòng)態(tài)鞏固，它是一道本身帶著光芒的變式。

三、題根教學(xué)模式有利于破難題

高三復(fù)習(xí)課肯定要用歷年的優(yōu)質(zhì)真題，而把真題光禿禿地放在學(xué)生眼前，學(xué)生肯定是沒(méi)有辦法一下子接受并解決的。所以對(duì)真題做一個(gè)合理的鋪墊尤為重要。在課堂中把真題作為一個(gè)跳一下就能摘到的蘋果，送給學(xué)生當(dāng)禮物，必然可以讓學(xué)生獲得解題的成就感和滿足感。題根教學(xué)模式有利于我們?cè)谡n堂中將難題突破。以下是我的第3個(gè)教學(xué)片斷：

2016.浙理14：已知三棱錐S-ABC，AB=BC=2，∠ABC=120°.D為AC上一點(diǎn)且滿足SD=DA，SB=BA，則四面體SBCD的體積的最大值是________

師生共同分析：由題意知 ，則由以上的變式只，當(dāng)面ABD 面SBD時(shí)，四面體SABD的體積最大，此時(shí)四面體SBCD的體積的也為最大。過(guò)S作BD的垂線垂足記為H，則SH 平面BDC，

又因?yàn)?，SH=AH，

故VSBCD= =

所以問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為求AH。以下的解題學(xué)生就可以利用平面知識(shí)快速解決。

這道題是今年高考的一大難點(diǎn)，很多學(xué)生連蒙帶猜得到了正確答案，但是并不知道它是如何通過(guò)嚴(yán)密的數(shù)學(xué)推理和精確的數(shù)學(xué)運(yùn)算得到的。有以上的兩個(gè)教學(xué)片斷作為鋪墊，這個(gè)題的解決也變得水到渠成。每一位靠自己的智慧解決問(wèn)題的學(xué)生都會(huì)從中得到解題的成就感，并會(huì)因?yàn)閻?ài)上數(shù)學(xué)，愛(ài)上數(shù)學(xué)解題。

在整個(gè)教學(xué)過(guò)程中：教學(xué)片斷1，選擇了2012年全國(guó)高考第11作為題根，利用此題與學(xué)生一起復(fù)習(xí)空間幾何體體積的求法。并歸納此三棱錐的特征——含兩個(gè)全等面；教學(xué)片斷2：一個(gè)變式，把一個(gè)靜的幾何體，轉(zhuǎn)變?yōu)橐粋€(gè)旋轉(zhuǎn)的幾何體，由此分析在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中它保持基本量不變也就是一定會(huì)有兩個(gè)全等面。旋轉(zhuǎn)面與固定面垂直時(shí)幾何體的體積最大。有了這個(gè)變式，教學(xué)片斷3就水到渠成，學(xué)生很容易發(fā)現(xiàn)2016年浙江省高考理科第14題一個(gè)翻折問(wèn)題，而不管是旋轉(zhuǎn)還是翻折都有兩個(gè)面是全等的，所以它也是一個(gè)全等面的錐體問(wèn)題。

整節(jié)課解決了含有兩個(gè)全等面的錐體的體積及其最值問(wèn)題。而其根本就探討此類錐體的垂直關(guān)系。而2016年10月的學(xué)考第18題（如圖，在四面體ABCD中，AB=CD=2，AD=BD=3，AC=BC=4，點(diǎn)E、F、G、H分別在棱AD、BD、BC、AC上.若直線AB、CD都平行與平面EFGH，則四邊形EFGH面積的最大值為_(kāi)__）也正是此類問(wèn)題的一個(gè)側(cè)枝。當(dāng)我們找到了“根”，所有的側(cè)枝都是根的衍生物。例如本文中的三個(gè)教學(xué)片斷，以例1為題根，變式和2016年浙江理科14題及2016年浙江10月學(xué)科18題都是例1的側(cè)枝：當(dāng)然這樣的側(cè)枝還有很多，只要我們平時(shí)注意整理，以例1為題根的這棵樹(shù)就會(huì)越來(lái)越茁壯。而根系的發(fā)展除了題目間的相互聯(lián)系之外，也有方法上的一脈相承，使得在復(fù)習(xí)的過(guò)程中學(xué)生能夠舉一反三。

題根是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的一把鑰匙，好的題根可以促進(jìn)對(duì)原有知識(shí)的溝通聯(lián)系，調(diào)整學(xué)生頭腦中原有知識(shí)的邏輯關(guān)系，借以開(kāi)闊學(xué)生的解題思路，促進(jìn)思維的多向發(fā)展。有人說(shuō)：我走過(guò)最多的路，就是數(shù)學(xué)的套路。而所有數(shù)學(xué)套路的取得離不開(kāi)對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的扎實(shí)掌握，離不開(kāi)對(duì)每一個(gè)題根的深入探究。只要我們做一個(gè)教學(xué)的有心人，從某一個(gè)問(wèn)題出發(fā)找出題根，由一個(gè)及一類進(jìn)行教學(xué)，那么高三的復(fù)習(xí)課肯定會(huì)變得更加有內(nèi)容，更加系統(tǒng)，更加有效。

參考文獻(xiàn)：

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