從數(shù)學(xué)到物理

韓蕾+朱如鑫

摘要：電容元件是一種動態(tài)元件，它作為一種儲能元件是電子線路的重要組成部分，決定了電路的基本特性和功能。本文討論了《電路分析》課程中，電容元件電學(xué)特性的教學(xué)方法。采用尋根究源從數(shù)學(xué)角度出發(fā)落腳于物理特性的教學(xué)方法，有利于學(xué)生深刻理解電路元件的基本特性，并建立起嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)作風(fēng)和抽象的思維方法。

關(guān)鍵詞：《電路分析》；電容元件；VCR；電學(xué)特性；儲能特性

中圖分類號：G642.0 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：1674-9324（2018）03-0195-02

一、引言

《電路分析》是電子、電氣、自控、機(jī)電、計算機(jī)等電類各專業(yè)的一門重要的專業(yè)基礎(chǔ)課，也是電類專業(yè)的第一門專業(yè)基礎(chǔ)課，在教學(xué)上被安排為后續(xù)《模擬電路》、《數(shù)字電路》和《信號與系統(tǒng)》等課程的先修課程?！峨娐贩治觥费芯侩娐返幕咎匦浴⒒纠碚摵突痉治龇椒?，主要討論電阻電路、動態(tài)電路的時域分析、動態(tài)電路的相量分析和S域分析方法。電容電感元件作為動態(tài)電路的組成部分，其特有的電學(xué)特性直接決定了電路的工作原理和分析方法。對電容電感等動態(tài)器件的物理特性的理解和應(yīng)用，是電類專業(yè)從業(yè)者的基本技能。因此在《電路分析》課程中，需要通過采用一定的教學(xué)手段對電容和電感器件的物理特性進(jìn)行深入講解和分析，帶領(lǐng)電類專業(yè)零基礎(chǔ)低年級本科生走進(jìn)電學(xué)世界。本文介紹一種尋根究源地通過數(shù)學(xué)分析推導(dǎo)物理特性的教學(xué)方法，以電容元件為例，從元件的電壓電流關(guān)系（Voltage Current Relation，簡稱VCR）入手討論電容的基本物理特性，借助數(shù)學(xué)基礎(chǔ)與物理推論的完美結(jié)合，使學(xué)生更加深刻理解電路元件的工作原理和基本特性，為電路分析和電路設(shè)計打下堅實的理論基礎(chǔ)，同時建立起嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)作風(fēng)和抽象的思維方法。

二、電容元件電學(xué)特性研究方法淺析

以電容元件為例，從數(shù)學(xué)演算出發(fā)講解其物理特性，主要包括定義、VCR和儲能特性。

1.電容元件的定義。電容元件是實際電容器的理想化模型，電容具有存儲電荷，進(jìn)而存儲電場能量的作用，是一種儲能元件。

定義一個二端元件，如果在任一時刻t，它的電荷q（t）同它的端電壓u（t）之間的關(guān)系可以用q-u平面上（或u-q平面）的一條曲線（庫—伏特性曲線）來確定，則此二端元件稱為電容元件。如果u-q平面上的特性曲線是一條通過原點的直線，且不隨時間而變，則此電容元件稱之為線性時不變電容元件，此時電容的定義式為q（t）=Cu（t）。

2.電容元件的VCR和基本物理特性分析。

根據(jù)電容和電流的定義式，可推導(dǎo)出電容元件VCR的微分形式如式（1）所示，基于這一數(shù)學(xué)表達(dá)式可做出如下物理特性分析：

①微分形式VCR的數(shù)學(xué)推導(dǎo)過程實際上是從電荷變化的角度描述了電容的VCR。由（1）式可知，在某一時刻電容的電流，與此時刻的電壓兩端并無直接關(guān)系，而是取決于該時刻電容電壓的變化率，所以電容元件稱為動態(tài)元件，這是電容元件的第一個基本特性。

②根據(jù)微分的數(shù)學(xué)知識可知，當(dāng)=0時i（t）=0，即當(dāng)電壓u（t）隨時間變化率為零時，i（t）也等于零。將數(shù)學(xué)分析推論至物理意義，假如電容電壓不變或者是將直流電壓加載在電容的兩端，則電容電流為零，相當(dāng)于開路，這就是電容的隔直效應(yīng)，因此在電路中電容常被應(yīng)用為一個交流耦合器件。如果電容電壓隨時間變化，則電流不為零，且電壓變化越快，電流就越大。這就意味著電容可以通過交流成分，且頻率越高越容易通過，由此可見電容是一個高通濾波器件，這是電容在電子系統(tǒng)中的一個非常重要的應(yīng)用。

③數(shù)學(xué)上i（t）為有限值，也為有限值，即→∞是不成立的?；氐轿锢矸治?，由于任何電流載體都有載流上限，電容亦然，所以電容兩端的電壓隨時間得變化率也是有限的，即電容兩端電壓不能躍變，這就是電容另一個重要電學(xué)特性——連續(xù)性。

通過數(shù)學(xué)表達(dá)式（2），又可做出如下物理特性分析：

①積分形式VCR的數(shù)學(xué)推導(dǎo)過程實際上是從電荷積累的角度描述了電容的VCR。表明，在某一時刻t電容電壓的數(shù)值u（t）取決于從-∞到t所有時刻的電流值，也就是說與電流全部過去歷史有關(guān)，這體現(xiàn)出電容元件具有記憶性的特點。

②根據(jù)式（2），可以計算經(jīng)過Δt的時間間隔，即電壓的變化量Δu。

（5）

式（5）即為電容元件的儲能公式，由此式可對電容的儲能特性作如下分析：

①依據(jù)數(shù)學(xué)特性平方項不可小于零，推及物理意義，可知電容儲能不能為負(fù)，因此電容是無源器件，雖然它可以與外電路發(fā)生能量交換，但僅限于是電容已經(jīng)儲存的能量，不可憑空向外提供能量。

②在u一定時，W與C呈正比例關(guān)系，在物理上講，這就意味著當(dāng)端電壓相等時，電容值大的，期間儲存得能量更多，所以C代表了電容器儲存電場能的能力。

③由（4）式可知，在t1到t2期間供給電容的能量只與時刻t1和t2的電壓值u（t1）和u（t2）有關(guān)。因此，電容儲能多少與它的儲能過程無關(guān)且與電容的電流無關(guān)。電容作為儲能元件，它在某時刻儲存得能量多少僅取決于此時電容兩端的電壓值，因此u被稱為電容的狀態(tài)變量，是動態(tài)電路分析過程中要重點求解的電路變量。

三、取得成效與展望

將《電路分析》課程一些知識點的授課方法從純物理概念講解改變?yōu)閿?shù)學(xué)分析與物理教學(xué)相結(jié)合后，收到了顯著的效果。首先學(xué)生對電容元件的物理特性有了更充分深刻的理解，知其然更知其所以然；其次借助數(shù)學(xué)推導(dǎo)培養(yǎng)了學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)作風(fēng)和抽象的思維方法；另外也從實際應(yīng)用角度驗證了數(shù)學(xué)是理工科的研究基礎(chǔ)，使學(xué)生體會到數(shù)學(xué)是一門學(xué)有所用的基礎(chǔ)學(xué)科；尤其是有利于學(xué)生建立起理工科的整體知識結(jié)構(gòu)。這種教學(xué)方法，在電路分析課程中還可應(yīng)用于疊加原理、齊次定理、動態(tài)電路的時域分析等知識點的講解。

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