微積分的案例教學策略探討

蔣芬

摘 要：高等數(shù)學是高等職業(yè)教育必修的基礎課，其理論基礎和思想方法不僅為專業(yè)課學習提供基礎，還是技能發(fā)展的支撐工具。高等數(shù)學在高素質技能型人才的培養(yǎng)方面占據非常重要的地位。微積分教學作為高等數(shù)學教學中的重要模塊，其教學成效重要性不言而喻。本文對微積分的教學進行研究，探討微積分的案例教學如何實現(xiàn)。

關鍵詞：教學成效；微分學；積分學；案例教學

高職院校以培養(yǎng)高素質技術型人才為主要方向的高等教育目的，其在課程設置需要依照高等職業(yè)院校學生的特點和專業(yè)需要。高等數(shù)學的教學展開情況直接影響了技術型人才的技能素養(yǎng)和終身發(fā)展的需求。

發(fā)展簡史

微積分的發(fā)展體現(xiàn)著人類認識是感性認識到理性認識的過程。早期萌芽時期始于公元前七世紀上半頁，表現(xiàn)為對圖形的長度，面積和體積的研究，比如窮竭法，割圓術等都體現(xiàn)了微積分思維的雛形。發(fā)展成型于十七世紀，此時科學的理論研究著力于速率、極值、切線等問題，特別是描述運動與變化的無限小算法等，后來，牛頓和萊布尼茨各自獨立地提出微積分系統(tǒng)的理論，使得微積分成為一門數(shù)學學科。自此以后，連續(xù)性、導數(shù)、無窮小以及函數(shù)收斂等得到一系列數(shù)學家的繼續(xù)深化研究和改善，微積分建立在牢固的理論基礎上。初等數(shù)學無法解決的問題隨著微積分理論迎刃而解，顯示出微積分學的非凡魅力。

教學案例的設計

微積分的發(fā)展史也體現(xiàn)了人類在數(shù)學方面的認知發(fā)展過程，微積分的教學成為高職教育中非常重要的一環(huán)。在微積分的講解過程當中，著力于高職教育的教育目的以及高職類學生的基礎特色，著重從實際案例引入微積分的教學。

極限思維培養(yǎng)

在微積分的講解過程當中，極限思維的培養(yǎng)是非常重要的。具有極限的思維能很好地理解函數(shù)的連續(xù)、可導，積分等微概念。案例：在課堂探討無限循環(huán)小數(shù)0.9與1的大小關系。

證明方式：x=0.9令，10x=9.9則有，聯(lián)立方程組求解有：10x=9.9x=0.9，解得x=1。

在進一步基礎上，引入初等數(shù)學問題討論“任意的無限循環(huán)小數(shù)都可化成分數(shù)”的實現(xiàn)。

另外可以適當根據學生的基礎情況，通過圓周率的確定，扇形面積公式等來進一步講解極限思維的應用場景，實現(xiàn)與初等數(shù)學的銜接和極限思想的進一步培養(yǎng)。

函數(shù)以及函數(shù)的連續(xù)性

函數(shù)體現(xiàn)的是實數(shù)變量之間的對應關系，可引入速度、時間和路程這些量之間的關系，系統(tǒng)解釋一元連續(xù)函數(shù)，如圖1。在連續(xù)函數(shù)的基礎上，可以進一步作離散的函數(shù)圖2，以作連續(xù)和離散函數(shù)的對比。

函數(shù)的可導

在函數(shù)連續(xù)的基礎上，導數(shù)定量研究函數(shù)的連續(xù)性，在實際講解過程中繼續(xù)對圖1所示函數(shù)進行分析：以y表示直線運動的路程，x表示運行時間，其中y=2xx-6x-8 0≤x≤10。

按照圖3所示，逐點x0

另外根據需要和學生情況，在端點處x=0和x=10處探討單側可導性。

通過此案例的介紹，其實導數(shù)衡量的變量的改變趨勢，包括改變的方向以及改變的快慢，是一種定量研究函數(shù)連續(xù)性的方法。

函數(shù)的可微

微分主要衡量自變量的改變對應引起的因變量的改變大小，本質上是導數(shù)的變形。

在此圖中，s?=y0'?x-?y，?y為圖3中對應的因變量的改變量，在極限狀態(tài)?x→0下s?為零，故有?y→y0‘?x?x→0，亦可記為dy=y0‘dx。此種推導過程推廣到整個區(qū)間，則有任意點x0

不定積分

從數(shù)學的角度來說，不定積分屬于微積分領域積分學的范疇，其實屬于導數(shù)的逆運算。在從微分學跨越到積分學的過程當中，從離散狀態(tài)的求和符號xi講起，然后強調積分符號fxdx本質上是一種連續(xù)狀態(tài)下的求和，把連續(xù)的微小量fxdx累加起來。通過不定積分的y'dx求解，可以得到——系列的路程——時間函數(shù)，這些函數(shù)的圖象保持如圖6所示的特點。

路程——時間函數(shù)呈現(xiàn)圖6的特點，得到多條趨勢一致的曲線（即路程——時間函數(shù)不唯一），這是由于速度只是決定了路程的變化趨勢，但是物體運動的初始位置沒有限定，故由速度反向確定路程——時間，得到的結果不唯一。

定積分及其不定積分的關系

定積分問題本質上屬于微分的逆運算，也是連續(xù)狀態(tài)下的求和問題。如果以時間、速度和路程三者的關系為例子圖6和圖7充分反映了定積分以及不定積分的關系。y2-y1=s1-s2+s3=x1x2y'dx，其本質反映了在時間段x1，x2上按照速度y'運動的物體路程的累計改變量，其結果跟圖6中所示的路程——時間函數(shù)具體選取哪個函數(shù)沒有關系。

知識升華和總結

在具體的教學過程當中，通過路程、時間和速度三者的之間的關系講解，最后延伸到身邊的數(shù)學當中去，比如可以借助經濟增長模型、傳染病控制相關知識、法醫(yī)鑒定人體死亡時間等相關知識來探討微積分相關知識。通過案例的引入，加深學生對微積分的理解，最后再從具體的案例當中抽象出來，從數(shù)學層面純粹探討微積分并進行講解。

本文通過時間、路程和速度三者的關系進行實例剖析，通過實例介紹，介紹微積分從連續(xù)、可導、可微、定積分和不定積分這些概念的內在聯(lián)系，為微積分的案例教學提供一定的參考。案例講解過程中忽略理論推導而注重直觀感受，比較符合高職教育的實際情況和需要。

（作者單位：廣州華夏職業(yè)學院）

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