機(jī)械能守恒定律服從力學(xué)相對(duì)性原理的思考

摘 要：機(jī)械能守恒定律是否服從力學(xué)相對(duì)性原理，曾經(jīng)是物理學(xué)上存在廣泛爭(zhēng)議的問題。筆者從興趣出發(fā)，通過查閱相關(guān)研究資料，結(jié)合自身的學(xué)習(xí)和理解，對(duì)機(jī)械能守恒定律服從力學(xué)相對(duì)性原理的條件進(jìn)行分析。

關(guān)鍵詞：機(jī)械能守恒定律；力學(xué)相對(duì)性原理；服從性

一、 前言

力學(xué)相對(duì)性原理指出，在不同慣性系中，力學(xué)規(guī)律具有相同形式。即對(duì)S系中的基本表達(dá)式進(jìn)行單純加撇代換，即可得到S′系中的對(duì)應(yīng)表達(dá)式。如果S系中的功能原理表達(dá)式也可以通過單純的加撇變換得到S′系中的功能原理表達(dá)式，則說明功能原理服從力學(xué)相對(duì)性原理。而機(jī)械能守恒定律是只有保守力做工的功能原理，有必要對(duì)其與力學(xué)相對(duì)性的服從性進(jìn)行探討。

二、 機(jī)械能守恒定律服從力學(xué)相對(duì)性原理的條件

（一） 功能原理的服從條件

在一個(gè)保守力學(xué)系統(tǒng)中，慣性系S的第i個(gè)支點(diǎn)矢量位置為ri，所受的非保守外力為Fi，系統(tǒng)內(nèi)力為fi，根據(jù)牛頓定律有Fi+fi=midvi/dt。將上式兩邊同時(shí)乘以質(zhì)點(diǎn)i的相對(duì)位移，可得到Fi·dri+fi·dri=mivi·dvi=d（miv2i/2）。對(duì)系統(tǒng)中的所有質(zhì)點(diǎn)進(jìn)行求和，即可得到∑iFi·dri+∑ifi·dri=d∑i（miv2i/2）。在保守系統(tǒng)中引入是能概念，則有∑iFi·dri=d∑i（miv2i/2+Ep），即S系統(tǒng)的功能原理。取另一個(gè)慣性系S′，設(shè)其相對(duì)于S系統(tǒng)的速度為u，對(duì)S系統(tǒng)中的功能原理進(jìn)行伽利略變換，即∑iFi·dri=∑iFi·（dri′+udt）=∑iFi·dri′+（∑iFi）·udt。由此可以得出，外力對(duì)系統(tǒng)做工與參考系有關(guān)。對(duì)d∑i（miv2i/2）進(jìn)行伽利略變換，可以得到d∑i（miv2i/2）=d∑i（miv2i′/2）+（∑iFi）·udt，說明動(dòng)能改變也與參考系有關(guān)。

對(duì)dEp進(jìn)行伽利略變換，并代入上述公式，可以得到∑iFi·dri′=d[∑i（miv2i′/2）+Ep′]，與∑iFi·dri=d∑i（miv2i/2+Ep）相比僅僅是由加撇變量代替了原變量，因此功能原理遵循力學(xué)相對(duì)性原理。

（二） 機(jī)械能守恒定律的服從條件

機(jī)械守恒定律是只有定律是只有保守力做工的動(dòng)能原理，非保守力不做工，或做工之和為0，即∑iFi·dri=0。將這個(gè)條件代入上述伽利略變化的推導(dǎo)過程，中間可以得到d[∑i（miv2i/2）+Ep]=0，和d[∑i（miv2i′/2）+Ep′]=0，不能利用伽利略變換將前一個(gè)表達(dá)式轉(zhuǎn)化為后一個(gè)表達(dá)式，因此機(jī)械能守恒定律不一定服從力學(xué)相對(duì)定律。只有在（∑iFi）·udt=0成立時(shí)，才能通過伽利略變換，由d[∑i（miv2i/2）+Ep]=0得到d[∑i（miv2i′/2）+Ep′]=0。由此可以得出結(jié)論，系統(tǒng)在某慣性系中如果滿足∑iFi的方向與u的方向垂直，或∑iFi為0，則機(jī)械守恒定律服從力學(xué)相對(duì)性原理。

三、 機(jī)械能守恒定律服從力學(xué)相對(duì)性原理的例題分析

（一） 水平運(yùn)動(dòng)體系的服從性分析

在本文中，為了能夠清楚地分析水平運(yùn)動(dòng)體系的服從性，根據(jù)物理課程中的機(jī)械能守恒定律，將會(huì)通過以下例題進(jìn)行系統(tǒng)的描述：

【例1】 某車廂以速度u在水平面沿某一方向做運(yùn)動(dòng)，同時(shí)在車廂中的光滑水平面上存在一個(gè)彈簧，其勁度系數(shù)用k表示。此時(shí)，彈簧的兩端各連接著一個(gè)小球，質(zhì)量分別為M、m。在開始的過程中，需要將彈簧壓縮至△x以后，以靜止的狀態(tài)釋放，當(dāng)其恢復(fù)至原始狀態(tài)時(shí)，兩個(gè)小球與車廂的相對(duì)速度分別用v1、v2表示。在研究水平運(yùn)動(dòng)體系的服從性時(shí)，需要將車廂中彈簧、兩個(gè)小球所構(gòu)成的一個(gè)整體為具體的研究對(duì)象，那么在這個(gè)整體中，其運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的機(jī)械能量守恒定是否服從力學(xué)相對(duì)性原理，具體的分析內(nèi)容如下：

在此題中，該系統(tǒng)受到的非保守力F，即兩個(gè)小球所受的桌面支持力垂直于相對(duì)速度u，該系統(tǒng)中機(jī)械能守恒定律服從力學(xué)相對(duì)性原理。設(shè)車廂的參考系為S，在參考系S中，系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，可以得出E1=E2，因此系統(tǒng)在參考系S中的機(jī)械能守恒定律的表達(dá)式為k（Δx）2/2=mv21/2+Mv22/2。以地面為參考系，在地面參考系S′中，系統(tǒng)的機(jī)械能也守恒，即E1′=E2′，初態(tài)E1′=（M+m）u2/2+k（Δx）2/2，末態(tài)E2′=M（u+v2）u2/2+m（u-v1）2/2=（M+m）u2/2+Mv22/2+mv21/2+（Mv2-mv1）u。根據(jù)系統(tǒng)的動(dòng)量守恒可以得出v2=mv1/M。再將v2=mv1/M代入上一表達(dá)式，可以得到E2′=（M+m）u2/2+Mv22/2+mv21/2。最后將其代入E1′=E2′，即可得到參考系S′中的機(jī)械能守恒定律表達(dá)式，即k（Δx）2/2=mv21/2+Mv22/2，由此可以得出結(jié)論，在該系統(tǒng)中，機(jī)械能守恒定律服從力學(xué)相對(duì)性原理。

（二） 斜面運(yùn)動(dòng)體系的服從性分析

斜面運(yùn)動(dòng)是高中物理課程中重要的內(nèi)容，學(xué)習(xí)難度也較大。那么，在斜坡運(yùn)動(dòng)中的機(jī)械能守恒定律是否服從力學(xué)相對(duì)性原理是學(xué)習(xí)中遇到的難題，下面通過例2進(jìn)行具體解析：

【例2】 某車廂在水平面上，以速度等于v0的狀態(tài)勻速的向右行駛。在該車廂中，存在一個(gè)的被固定的、傾斜角度等于θ的光滑斜面，上面存放著一塊質(zhì)量等于M的滑塊從斜面的頂端自由花滑落（在計(jì)算過程中可以將其看做一個(gè)質(zhì)點(diǎn)）。將斜面與滑塊視為一個(gè)系統(tǒng)，分析機(jī)械能量守恒定是否服從力學(xué)相對(duì)性原理？

在該題中，若以滑塊和斜面作為研究對(duì)象，那么在車廂參考系中，系統(tǒng)所受非保守力Fi，即斜面對(duì)滑塊的支持力對(duì)滑塊不做功，由此可以判斷系統(tǒng)機(jī)械能守恒。而在地面參考系中，由于非保守力Fi不與滑塊位移垂直，因此非保守力Fi對(duì)系統(tǒng)做功了，在該參考系中機(jī)械能不守恒。與前文得到的結(jié)論相同，即非保守力Fi不為零且不與相對(duì)速度u垂直時(shí)，機(jī)械能守恒定律不服從力學(xué)相對(duì)性原理。

四、 結(jié)束語(yǔ)

綜上所述，通過對(duì)機(jī)械能守恒定律服從動(dòng)能相對(duì)性原理的條件進(jìn)行思考，可以加深我們對(duì)機(jī)械能守恒定律的理解，從而把握好應(yīng)用條件，避免出錯(cuò)。

參考文獻(xiàn)：

[1]付喜錦.機(jī)械能守恒定律遵循力學(xué)相對(duì)性原理的條件[J].物理教師，2010，31（01）：63-64.

[2]張九鑄.關(guān)于力學(xué)相對(duì)性原理和機(jī)械能守恒定律的討論——也談機(jī)械能守恒定律和相對(duì)性原理[J].大學(xué)物理，2000，（02）：14-22.

作者簡(jiǎn)介：

馬凱，遼寧省北票市，遼寧省北票市高級(jí)中學(xué)。endprint