轉(zhuǎn)化與化歸思想在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

牟振華++高淑娟

摘 要：進(jìn)入高中學(xué)習(xí)階段后，相較于初中時(shí)候的計(jì)算和證明，高中數(shù)學(xué)更加注重?cái)?shù)學(xué)的思維應(yīng)用，加之題干材料較為繁雜、冗長(zhǎng)，學(xué)生在面對(duì)這樣的難題往往會(huì)容易失分。如果掌握好一定的數(shù)學(xué)方法，就能夠解答相應(yīng)的題目。在數(shù)學(xué)試題中，試題的形式往往是由一些簡(jiǎn)單的內(nèi)容復(fù)合或者經(jīng)過演化而成的，如果學(xué)生能夠適當(dāng)?shù)赜枰圆鸱只蚧?jiǎn)為簡(jiǎn)單的形式，那么就能正確的解答試題，這種解題的思路就稱為轉(zhuǎn)化與化歸思想。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；轉(zhuǎn)化與化歸；應(yīng)用

轉(zhuǎn)化與化歸的思想是數(shù)學(xué)思想的根本，只有掌握了這種思想，學(xué)生才能夠從根本上解決數(shù)學(xué)問題，靈活地運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)，提升自己的數(shù)學(xué)思維。常用的轉(zhuǎn)化與化歸思想有題干材料的等價(jià)轉(zhuǎn)化、換元法、函數(shù)和方程的思想、數(shù)形結(jié)合的思想等。本文就下面幾種方法為例，闡述轉(zhuǎn)化與化歸思想的具體應(yīng)用。

一、 等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用

等價(jià)轉(zhuǎn)化是指將未知的數(shù)學(xué)難題轉(zhuǎn)化為能夠解決的問題，通過轉(zhuǎn)化的過程，將復(fù)雜的材料轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問題，這種思想在歷年的考試試題中屢見不鮮，教師應(yīng)當(dāng)在日常授課中注重訓(xùn)練學(xué)生的這種意識(shí)，使其遇到此類問題時(shí)能夠自然地想到等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，從而快速、準(zhǔn)確地解答試題。

例 若x，y，z∈R+，且x+y+z=1，求1x-1

1y-11z-1的最小值。

解析：解題的關(guān)鍵是合理的變形，即等價(jià)轉(zhuǎn)化。

1x-11y-11z-1=1xyz（1-x）（1-y）（1-z）=1xyz（1-x-y-z+xy+yz+zx-xyz）=1x+1y+1z-1≥331xyz-1=33

xyz-1≥3x+y+z3-1=8。

通過將式子進(jìn)行等價(jià)變化，即先進(jìn)行通分、再整理公式、最后再拆分。將問題化為求1x+1y+1z-1的最小值，最終能夠簡(jiǎn)單地解決。

二、 換元法思想的應(yīng)用

換元法也是數(shù)學(xué)思想中的一項(xiàng)重要組成內(nèi)容。通過換元方法，學(xué)生可以將高次方程化為低次方程、將分式化為整式、將無(wú)理式化為有理式等，最終達(dá)到由繁入簡(jiǎn)的目的。

例 求函數(shù)y=（4-3sinx）（4-3cosx）的最小值。

解析：我們可以假設(shè)t=sinx+cosx，其中t∈[-2，2]，得到y(tǒng)關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式，最終求得它的最小值。

三、 函數(shù)與方程思想的應(yīng)用

函數(shù)與方程思想就是根據(jù)題干中的材料來(lái)構(gòu)造函數(shù)或者方程，對(duì)問題進(jìn)行正確的解答，通過設(shè)置未知量來(lái)求取未知量。在授課過程中，教師要注重這種思想的傳授，讓學(xué)生能夠熟練掌握這種思想進(jìn)行分析、解題，從而求得正確的答案。

例 設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，對(duì)于任意的實(shí)數(shù)α，β，有f（α）+f（β）=2fα+β2fα-β2，且fπ3=12，fπ2=0。求證：f（-x）=f（x）=-f（π-x）。

解析：（1）∵fπ3+fπ3=2fπ3f（0），且fπ3=12，∴f（0）=1。

又f（-x）+f（x）=2f（x）f（0），∴f（-x）=f（x），

∵f（x）+f（π-x）=2fπ2fx-π2，且fπ2=0，∴f（x）=f（-x）=-f（π-x）。

四、 數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用

在高中試題中，有的題干看起來(lái)難以理解，但是如果畫出它的圖形，就會(huì)顯得較為容易理解，這就是數(shù)形結(jié)合的思想。數(shù)形結(jié)合的思想能夠?qū)⒊橄蟮膯栴}變得更加直觀和形象，從而簡(jiǎn)化計(jì)算的過程，使解題方法更加簡(jiǎn)單、直接。

例 求函數(shù)f（x）=2-sinx2+cosx的值域。

解析：函數(shù)f（x）=2-sinx2+cosx可視為點(diǎn)（2，2），（-cosx，sinx）兩點(diǎn)連線的斜率。點(diǎn)（-cosx，sinx）的軌跡為x2+y2=1。

函數(shù)值域即為（2，2）與單位圓x2+y2=1上點(diǎn)連線斜率的范圍，過（2，2）且與單位圓相切的斜率存在，我們不妨設(shè)為k。

∴切線方程為y-2=k（x-2），即，kx-y-2k+2=0，

∴滿足|2-2k|1+k2=1，解之得k=4±73。函數(shù)f（x）的值域?yàn)?-73，4+73。

總之，廣大數(shù)學(xué)教師應(yīng)當(dāng)重視轉(zhuǎn)化與化歸思想，幫助學(xué)生掌握這種思想，使其能夠在解題中熟練運(yùn)用，最終取得較好的分?jǐn)?shù)。

參考文獻(xiàn)：

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作者簡(jiǎn)介：牟振華，高淑娟，黑龍江省大興安嶺區(qū)，黑龍江省大興安嶺實(shí)驗(yàn)中學(xué)。endprint