比較分析一元二次不等式的二種求解方法

彭寒池

【摘要】文章針對高中數(shù)學(xué)一元二次不等式，先簡單介紹了它的地位和作用，然后結(jié)合例題分析了不同的不等式求解方法，最后總結(jié)了不等式的學(xué)習(xí)難點，并以此為基礎(chǔ)提出學(xué)習(xí)建議。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；一元二次不等式；求解方法；數(shù)學(xué)思想

一元二次不等式是高中數(shù)學(xué)知識體系的重要組成部分，在逐漸向多元化轉(zhuǎn)變的高中數(shù)學(xué)考查中，它一般不以單獨形式出現(xiàn)，而是蘊含在某些題目或具體的求解過程當中。而由于不等式自身的特性，其求解方法多樣化。學(xué)生不一定會用到每一種方法，但每一種方法背后的數(shù)學(xué)思想必須掌握，這才是高中數(shù)學(xué)一元二次不等式學(xué)習(xí)的關(guān)鍵。

一、一元二次不等式在高中數(shù)學(xué)當中的地位與作用

高中數(shù)學(xué)的數(shù)量關(guān)系總體上可歸結(jié)為兩類：其一，數(shù)量相對，即等式；其二，數(shù)量不等，即不等式。其中，不等式與許多知識體系都有關(guān)聯(lián)，如函數(shù)、數(shù)列和概率等。通過對不等式的學(xué)習(xí)，能掌握不等關(guān)系的解決方法及完成不等式求解。由此可見，不等式在高中數(shù)學(xué)中是具有重要地位與作用的[1]。

不等式在小學(xué)數(shù)學(xué)中就有所涉及；學(xué)生升到初中后正式接觸不等式概念，但這時的知識內(nèi)容還局限于求解；高中所學(xué)內(nèi)容則是對初中內(nèi)容的進一步提升與完善；此外，高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和研究也要用到很多不等式的內(nèi)容。所以，學(xué)好不等式不僅僅是為了應(yīng)付考試，更是掌握一種方法、工具，為日后更加深入的學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)。

除了學(xué)習(xí)，生活中也會用到不等式，這是因為它可以直觀描述事物存在的不等關(guān)系，強調(diào)數(shù)量差別，即使這種差別很小，在數(shù)學(xué)上也是存在不等關(guān)系的。例如，股市行情調(diào)查分析，人口增長情況計算推測，地區(qū)經(jīng)濟發(fā)展研究等，這些問題無一不需要進行比較，而有比較就會有不等的關(guān)系。

學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中，除了要掌握課本上的知識，還要著重培養(yǎng)數(shù)學(xué)思想，熟練應(yīng)用各種數(shù)學(xué)方法，如分類談?wù)摲?、?shù)形結(jié)合法等。數(shù)學(xué)思想不僅是數(shù)學(xué)從產(chǎn)生到現(xiàn)在前人積累的寶貴經(jīng)驗，還是實現(xiàn)對不同知識體系進行關(guān)系建立的橋梁，在解題中能發(fā)揮重要作用。而學(xué)會利用數(shù)學(xué)思想解決問題則是掌握知識的前提。對于數(shù)學(xué)思想的培養(yǎng)，離不開好的素材，恰巧不等式正是對數(shù)學(xué)思想進行培養(yǎng)的良好實踐材料。從最基本的不等式開始，到越來越復(fù)雜的含有絕對值和參數(shù)的不等式，每個學(xué)習(xí)階段都能體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想。例如，對于指數(shù)、分式或?qū)?shù)不等式，均能利用化歸的方法，將其變成簡單不等式來簡化求解過程。

二、實例分析一元二次不等式的二種解法

例1：解一元二次不等式.

解法一：

∵該不等式，

∴可得兩個實數(shù)根分別為.

設(shè)函數(shù)，圖像如圖1所示，最終可得該不等式解集為.

圖1

該解法的核心是將不等式轉(zhuǎn)化成函數(shù)，再從函數(shù)圖像中根據(jù)不等關(guān)系確定解集。它和一元二次函數(shù)知識的零點問題有很高相似度，只是在進行求解時，先求出零點，再畫圖像，從圖像上找值小于的區(qū)域，從而確定自變量在滿足這一不等關(guān)系時的取值。

解法二：

∵根據(jù)不等式可得，

∴有或，

計算后得出：或.

∵不存在，

∴該不等式解集為.

該解法的核心為因式分解，通過分解與轉(zhuǎn)化使原不等式變成兩因式相乘的形式，再通過對因式正負的分析討論，確定不等式解集。需要注意的是，在因式轉(zhuǎn)化后，要判斷各因式的正負問題。

例2：解一元二次不等式.

該題的正確求解思路為：先對因式進行分解，然后標根求解。

基于這一思路，得出以下解題過程：原式可轉(zhuǎn)化為，這兩個因式的根分別為和；設(shè)函數(shù)，如圖2所示，不等式大于或等于0，即，所以上方取值即為本式解集，為.

通過上述分析可知，一個不等式通?？梢圆捎煤芏喾椒ㄇ蠼猓也煌姆椒ㄓ衅涮赜械乃悸放c捷徑，不能進行比較，也沒有必要分出孰好孰壞，因為各種方法對應(yīng)的數(shù)學(xué)思想都是完全正確的。所以，在實際學(xué)習(xí)過程中，要做的是盡可能多地掌握求解方法，審?fù)暌坏李}后能在腦海中立刻形成多種解決方式，再從其中選擇一種擅長的，將另外一種作為檢查結(jié)果是否正確的手段[2]。

三、一元二次不等式學(xué)習(xí)難度與建議

（一）難點

筆者通過對自身經(jīng)驗的總結(jié)，認為學(xué)生學(xué)習(xí)不等式時主要有以下兩個難點。

其一，理解困難，剛接觸不等式時認為它就是簡單的大小對比，沒有理解其性質(zhì)。表現(xiàn)為：面對一些求解與證明問題，無法靈活使用不等式性質(zhì)。例如，解分式不等式時，沒有對分母的正負問題進行分析，大多直接去分母，從而出現(xiàn)很多問題；解根式不等式時，忽略了根式內(nèi)部必須滿足的條件，或直接套用固定解題模式，沒有考慮另外一端正負問題。

其二，求解困難，可用于求解不等式的方法有很多，比如使用求根公式、數(shù)形結(jié)合與零點法等。當自身真正使用這些方法進行解題時，會發(fā)現(xiàn)以下問題：不等式知識無法和函數(shù)零點、圖形與方程的求解良好結(jié)合，繼而出現(xiàn)不等式轉(zhuǎn)換后不等價等實際問題[3]。

（二）建議

針對以上難點，筆者結(jié)合自身在學(xué)習(xí)和高考中取得的成功經(jīng)驗，提出以下學(xué)習(xí)不等式的建議。

第一步也是最基礎(chǔ)的，必須清晰認識并深刻理解不等式內(nèi)涵，挖掘其內(nèi)在含義，即它是一種能客觀反映事物不等關(guān)系的重要工具。因此，學(xué)習(xí)并不是拿起書就讀，拿起題就做，而是要明確知識的重要作用，這樣對于自身的理解以及日后的深化都大有幫助。

高中數(shù)學(xué)的難度我們都有目共睹，知識體系、理論、方法都上升到了全新高度，所以高中階段的不等式學(xué)習(xí)必須對思路做出改變，決不能用初中那一套思路來學(xué)習(xí)和理解高中的不等式知識。其原因主要是高中涉及的不等式并非單一求解問題，而是結(jié)合了所有可能結(jié)合的知識形成的復(fù)雜問題，比如不等式和絕對值結(jié)合、不等式和參數(shù)結(jié)合、不等式和線性規(guī)劃結(jié)合、不等式和函數(shù)結(jié)合等。因此，高中不等式問題的解決除了要運用豐富的知識，還要建立不等式與其他知識體系之間的聯(lián)系，從而既達到快速、正確求解的眼前目的，又能在實踐中充分形成并體會數(shù)學(xué)思想[4]。

從高考角度看，不等式始終是高考重要考點之一，它在衡量我們對于數(shù)學(xué)思想的認識與理解水平上有獨特的優(yōu)勢。也就是說，只要我們掌握了豐富、正確的數(shù)學(xué)思想，那么就能很輕松地學(xué)好不等式。這就要求我們在課前進行充分預(yù)習(xí)，在課堂上認真聽教師講解，在課后有針對性地練習(xí)，善于發(fā)現(xiàn)和解決學(xué)習(xí)中遇到的問題，更重要的是通過學(xué)習(xí)與練習(xí)理解其中蘊含的思想，鍛煉自己的發(fā)散思維，學(xué)會舉一反三[5]。

四、結(jié)束語

綜上所述，一元二次不等式不僅在高中數(shù)學(xué)中占據(jù)重要地位，是歷年高考重點考查內(nèi)容，而且它注重對數(shù)學(xué)思想的形成與培養(yǎng)，可將其視為貫穿數(shù)學(xué)整個知識體系，連接不同知識內(nèi)容，使考題和解題過程、方法都實現(xiàn)多元化、綜合性的工具。其主要表現(xiàn)就是一個不等式通?？梢圆捎煤芏喾椒ㄇ蠼?，而且不同的方法有其特有的思路與捷徑。因此，在學(xué)習(xí)不等式的過程中，要轉(zhuǎn)換觀念，以形成數(shù)學(xué)思想為核心宗旨領(lǐng)會不等式性質(zhì)，理解內(nèi)涵，在取得高分的同時，為將來的學(xué)習(xí)生涯鋪平道路。

【參考文獻】

[1]盧賢慧.一元二次不等式恒成立問題的求解策略[J].高中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2017（08）：46-48.

[2]江會芳.一元二次不等式恒成立問題求解策略[J].中學(xué)生數(shù)理化（高二高三版），2016（22）：19.

[3]謝勇.恒成立一元二次不等式中參數(shù)范圍的求解策略[J].理科考試研究（高中版），2016（21）：10-12.

[4]謝勇.恒成立一元二次不等式中參數(shù)范圍的求解策略[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2016（09）：35-38.

[5]謝勇.恒成立一元二次不等式中參數(shù)范圍的求解策略[J].數(shù)理化解題研究，2016（25）：16-17.endprint