試論高中數(shù)學(xué)中的分類討論思想

摘要：本文根據(jù)分類討論最常用到的點(diǎn)做了一些分析：如分段函數(shù)在現(xiàn)實(shí)生活中的運(yùn)用、分類思想在分析絕對(duì)值方面的應(yīng)用、分類思想在函數(shù)圖形中的應(yīng)用、分類討論在概率問題中也經(jīng)常用到。另外，在一些數(shù)學(xué)比較綜合類的大題中，也經(jīng)常會(huì)涉及分類討論，所以高中數(shù)學(xué)中對(duì)于分類討論這一板塊必須要引起我們足夠的重視。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；分類討論；思想運(yùn)用

高中數(shù)學(xué)中很多板塊、題目等都運(yùn)用到了分類討論思想，本文根據(jù)分類討論最常用到的點(diǎn)做了以下分析：

一、 分類思想在分段函數(shù)中的應(yīng)用

分段函數(shù)一般需要將函數(shù)在不同取值范圍內(nèi)的情況進(jìn)行分類統(tǒng)計(jì)，而且分段函數(shù)在現(xiàn)實(shí)生活中也是常常會(huì)用到的，本文就以一個(gè)現(xiàn)實(shí)生活中用到的例子進(jìn)行分析。

例1某公司準(zhǔn)備給參加公司活動(dòng)的顧客發(fā)放愛心回饋大禮包，預(yù)計(jì)能來參加公司活動(dòng)的有15～25人左右，該公司準(zhǔn)備在A和B兩家公司進(jìn)行選擇采購(gòu)大禮包，其產(chǎn)品都是一致的，A公司和B公司給出的單價(jià)都是1500元/份，同時(shí)，A公司表示可以給打八五折的折扣，而B公司則表示，可以在打九折的基礎(chǔ)上，多贈(zèng)送公司一份同樣的大禮包，那么，該公司選擇在A公司還是B公司進(jìn)行選購(gòu)產(chǎn)品更加實(shí)惠呢？

解答：針對(duì)這個(gè)問題，我們可以先設(shè)出變量，將實(shí)際能參加活動(dòng)的人數(shù)設(shè)為未知數(shù)x，而將在變量x下，實(shí)際需要支付A公司的禮品費(fèi)用為y1，實(shí)際需要支付B公司的禮品費(fèi)用為y2；

那么y1=1500x×0.85=1275x；y2=1500（x-1）×0.9

①當(dāng)y1= y2時(shí)，即1275x=1500（x-1）×0.9，x=18，即當(dāng)實(shí)際參加活動(dòng)的人數(shù)為18人時(shí)，在A公司或者B公司采購(gòu)產(chǎn)品的費(fèi)用是一樣的；②當(dāng)y1>y2時(shí)，即1275x>1500（x-1）×0.9，x<18，即當(dāng)實(shí)際參加活動(dòng)的人數(shù)1518，即當(dāng)實(shí)際參加活動(dòng)的人數(shù)18

二、 分類思想在分析絕對(duì)值方面的應(yīng)用

含有絕對(duì)值的等式或者不等式，由于要討論絕對(duì)值符號(hào)里面的內(nèi)容什么時(shí)候?yàn)檎龜?shù)什么時(shí)候?yàn)樨?fù)數(shù)，以方便去掉絕對(duì)值符號(hào)進(jìn)行運(yùn)算，所以往往這類問題一般都要用到分類討論。下面舉例加以說明：

例2一個(gè)很簡(jiǎn)單的運(yùn)算，|x-3|<3x中x的取值范圍？解答的時(shí)候就要用到分類討論：

①當(dāng)x>3時(shí)，那么│x-3│>0，可以直接去掉絕對(duì)值符合，即原公式變?yōu)閤-3<3x的解，公式變形為-2x-3<0的解，為x>-3/2，但是由于這個(gè)等式是在x>3的前提下討論的，所以當(dāng)x>3時(shí)，│x-3│<3x公式的取值范圍就是x>3；②當(dāng)x=0時(shí)，0<0，無解；③當(dāng)x<3時(shí)，│x-3│絕對(duì)值里面原本是負(fù)數(shù)，就應(yīng)該加負(fù)號(hào)去絕對(duì)值，即變?yōu)?x+3，就是當(dāng)x<3時(shí)，求-x+3<3x中x的取值范圍，可得到解3/4

三、 分類思想在函數(shù)圖形中的應(yīng)用

很多函數(shù)問題的解答中都要用到分類討論的思想，引入分類討論可以將函數(shù)問題解答起來更加簡(jiǎn)單，思路更加清晰。舉一個(gè)常見的例子：

例3圓形x2+y2=4與直線y=kx+4有幾個(gè)交點(diǎn)？解答：首先明確 x2+y2=4是原點(diǎn)在定點(diǎn)，半徑為2的圓形，y=kx+4很明顯直線經(jīng)過（0，4）這個(gè)點(diǎn)。

①當(dāng)k=0，那么直線就是y= 4，與圓沒有任何交點(diǎn)；②當(dāng)k<0，那么函數(shù)y=kx+4是遞減函數(shù)，先討論當(dāng)圓與直線相切時(shí)候，此時(shí)圓和直線只有一個(gè)交點(diǎn)，那么通過畫圖計(jì)算，圓半徑是2，經(jīng)過（0，4）點(diǎn)，而且圓和直線相切為直角，那么直線與圓的切點(diǎn)處為半徑，以及y軸構(gòu)成的直角三角形頂角是30度，那么假設(shè)直線與x軸的切點(diǎn)橫坐標(biāo)為z，根據(jù)直角三角形兩邊平方和等于第三邊平方和，z2+42=（2z）2，得出此時(shí)直線與x軸交點(diǎn)為（43，0）那么根據(jù)函數(shù)的兩個(gè)點(diǎn)（43，0）和（0，4），可以得出直線方程k=-3/3，由此可以得出：（1）當(dāng)k<3/3時(shí)，直線與圓有兩個(gè)交點(diǎn)；（2）當(dāng)k=-3/3，直線與圓有一個(gè)交點(diǎn)；（3）當(dāng)-3/3

②當(dāng)k>0，通過對(duì)②的分析可知，當(dāng)k>0時(shí)，是與k<0時(shí)，關(guān)于y軸對(duì)稱的，所以通過相同的解題方法可以得出：（1）當(dāng)k>3/3時(shí)，直線與圓有兩個(gè)交點(diǎn)；（2）當(dāng)k=3/3，直線與圓有一個(gè)交點(diǎn)；（3）當(dāng)0

所以綜上所述：k=-3/3或者k=3/3時(shí)，圓與直線有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)k>3/3或k<-3/3時(shí)，直線與圓有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)-3/3

四、 分類討論在概率問題中也經(jīng)常用到

概率問題中有一些需要求的問題也是有多個(gè)組成部分構(gòu)成的，需要用到分類討論的原理。

例4一個(gè)盒子里放著寫有編號(hào)的1、2、3、4、5、6、7、8、9，九個(gè)小球，從中任意挑選2個(gè)，那么選出來的兩個(gè)小球上的數(shù)字之積是偶數(shù)的概率是多少？

解答：從題目可以分析，如果取出來兩個(gè)奇數(shù)，那么奇數(shù)和奇數(shù)的成績(jī)還是奇數(shù)，如果取出來兩個(gè)偶數(shù)，偶數(shù)與偶數(shù)的成績(jī)是偶數(shù)，如果取出來的是一個(gè)奇數(shù)和一個(gè)偶數(shù)，兩者相乘的結(jié)果是偶數(shù)。所以此處要知道兩數(shù)之積是偶數(shù)的概率，就要分類將取出來的是兩個(gè)偶數(shù)以及取出來的是一奇一偶的概率相加。在9個(gè)小球之中隨意抽取兩個(gè)球的話，概率是C29，而抽出兩個(gè)偶數(shù)的概率是C24，取出一奇一偶的概率C14×C15，所以最后求出的概率是（C24+C14×C15）/C29=13/18。

五、 其他應(yīng)用

在一些數(shù)學(xué)比較綜合類的大題中，也經(jīng)常會(huì)涉及分類討論，這往往是由于公式的限制、參數(shù)值在變化、條件不唯一、需要某些數(shù)學(xué)運(yùn)算以確定函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性討論等引起的需要分類進(jìn)行討論，所以高中數(shù)學(xué)中對(duì)于分類討論這一板塊必須要引起我們足夠的重視。

參考文獻(xiàn)：

[1] 李劍評(píng).淺析高中數(shù)學(xué)思想在高考考查中的滲透[J].海峽科學(xué)，2010（09）.

作者簡(jiǎn)介：

劉志軍，寧夏回族自治區(qū)中衛(wèi)市，寧夏中衛(wèi)中學(xué)。