中考幾何壓軸題有效教學(xué)的點滴做法

廣東省廣州市荔灣區(qū)美華中學(xué)(510160) 鄭燕

一、問題提出

中考幾何壓軸題是必考題目,近八年廣州市中考題中幾何壓軸題的得分都在3分左右,老師和學(xué)生都感覺到花了很多時間和精力、講解和練習(xí)了很多題目,但收效不高.多數(shù)學(xué)生在解題時,連題目都沒有信心看下去,或者即便是能看懂問題,但面對圖形無從下手,最后放棄思考.所以一般生源的學(xué)校往往會放棄這類題目的解題教學(xué),反復(fù)操練代數(shù)運算的題目,以提高考試的平均成績.以下是2008年—2016年廣州市中考幾何壓軸題得分情況：

年份2008年2009年2010年2011年2012年2013年2014年2015年2016年題號24 24 24 25 25 24 25 24 25該題滿分14 14 14 14 14 14 14 14 14全市平均分4.09 2.43 2.78 2.62 2.72 3.74 1.99 2.46 1.73

二、歸因分析

1.思維訓(xùn)練欠缺.

新課教學(xué)中,教師不注重展示知識生成的過程,匆匆講授完定義、定理和例題后,就進入機械訓(xùn)練,不注重滲透核心數(shù)學(xué)思想方法,較少進行“一題多解”的教學(xué),其結(jié)果就是學(xué)生知其然不知其所以然,思維訓(xùn)練欠缺.備考復(fù)習(xí)時,因為部分學(xué)生學(xué)業(yè)水平不高,教師放棄講解這類題目,或者僅僅是大量練習(xí),但沒有對學(xué)生進行“多題歸一”的指導(dǎo).

2.解題信心不足.

師生雙方都對解決壓軸題缺乏信心.對中等或以下水平的學(xué)生,教師往往要求他們不要關(guān)注壓軸題,只要做好基礎(chǔ)題就可以了,這部分學(xué)生由于缺乏自我認同感,也就漸漸放棄去看壓軸題了.中考平均分顯示,相當(dāng)部分學(xué)生沒有去完成壓軸題中前面較基礎(chǔ)的問題.

3.閱讀理解不清.

中考壓軸題的字數(shù)在200字左右,文字量大,其中還有不少幾何符號,即便學(xué)生有意愿去嘗試解決壓軸題,但由于閱讀起來存在困難,更不用說理解其中的含義了,所以也造成學(xué)生放棄解決壓軸題.以下是近九年中考幾何壓軸題的字數(shù)：

年份2008年2009年2010年2011年2012年2013年2014年2015年2016年題號24 24 24 25 25 24 25 24 25字數(shù)174 122 175 201 167 195 109 223 139

三、理論依據(jù)

1.學(xué)習(xí)心理方面

加涅認為,如果學(xué)習(xí)者對達到預(yù)定目標有強烈的愿望,即處在較高水平的動機狀態(tài),他就能集中注意,專心學(xué)習(xí),選擇行之有效的學(xué)習(xí)和記憶策略.學(xué)習(xí)目標的實現(xiàn)會令學(xué)習(xí)者感到滿足、愉快,從而增強了學(xué)習(xí)信心,更加努力地投入下一個學(xué)習(xí)活動.

心理學(xué)研究發(fā)現(xiàn),學(xué)習(xí)者遇到的新情境越復(fù)雜,新情境與原先學(xué)習(xí)的情境越不相似,問題解決的難度越大,所要求的創(chuàng)造性程度越高.創(chuàng)造是解決問題的最高形式.奧蘇伯爾認為,解決問題涉及到問題條件命題和目標命題、背景命題、推理規(guī)則和解決策略.有意義學(xué)習(xí)必須具有三個條件：學(xué)習(xí)材料具有邏輯意義;學(xué)生認知結(jié)構(gòu)中具有同化新知識的原有知識基礎(chǔ);將材料的潛在意義轉(zhuǎn)化為學(xué)生心理意義的一個重要條件是學(xué)生具有有意義學(xué)習(xí)的心向.

中學(xué)階段的思維能力既然是以邏輯思維能力的發(fā)展為基礎(chǔ)和核心的,幾何教學(xué)應(yīng)更加強調(diào)對邏輯推理能力的培養(yǎng),使學(xué)生能從已有的事實出發(fā),憑借經(jīng)驗和直覺,通過歸納和類比等推測某些結(jié)果;并從已有的事實(包括定義、公理、定理等)出發(fā),按照規(guī)定的法則證明(包括邏輯和運算)結(jié)論.在整個數(shù)學(xué)教學(xué)過程中發(fā)展學(xué)生的推理能力.

2.幾何教學(xué)方面

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準(2011年版)》中提出,數(shù)學(xué)是人類文化的重要組成部分,數(shù)學(xué)素養(yǎng)是現(xiàn)代社會每一個公民應(yīng)該具備的基本素養(yǎng).關(guān)于幾何課程的目標要求是：掌握圖形與幾何的基礎(chǔ)知識和基本技能,發(fā)展合情推理和演繹推理能力,清晰地表達自己的想法.

高慎英、劉良華著的《有效教學(xué)論》中指出：凡是能夠有效地促進學(xué)生發(fā)展,有效地實現(xiàn)預(yù)期的教學(xué)結(jié)果的教學(xué)活動,都可稱之為“有效教學(xué)”.

四、做法建議

(一)夯實基礎(chǔ)

1.構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)

《2016年廣州市初中畢業(yè)生學(xué)業(yè)考試指導(dǎo)書》中明確了考查知識內(nèi)容及考查目標要求,詳細列舉了基本事實與定理共23條,包含94個定理,作為計算或證明的依據(jù).教學(xué)中,可以在初始年級指導(dǎo)學(xué)生利用思維導(dǎo)圖構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)圖,到九年級時,就能形成一個完整的平面幾何知識網(wǎng)絡(luò)圖.學(xué)生對圖形的性質(zhì)和判定有了清晰的認識與理解,有利于解決復(fù)雜的幾何問題.核心知識點的生成過程不能忽略,分析講解就是一種思考問題方式的展示.

2.熟悉基本圖形

教材中的例題、習(xí)題的圖形很多都是基本圖形,中考幾何壓軸題的圖形中往往是由一些基本圖形疊加而成的.日常教學(xué)中,指導(dǎo)學(xué)生認真分析研究這些圖形,真正理解圖形中包含的信息,從而熟悉這些圖形,有利于從壓軸題的復(fù)雜圖形中提取基本圖形,找到解決問題的突破口.

(二)解題指導(dǎo)

1.嘗試猜測聯(lián)想

壓軸題包含的信息比較多,而且圖形復(fù)雜,解題時需要根據(jù)題意和圖形猜測聯(lián)想,多次嘗試.日常壓軸題的教學(xué)中,要鼓勵學(xué)生根據(jù)題意大膽猜想,利用排除法進行篩選,找到解決問題的最佳路徑.中考備考階段,更要給學(xué)生足夠的時間去嘗試、猜想、論證,讓學(xué)生享受探究的快樂.

2.合理添加輔助線

幾何壓軸題的圖形比較復(fù)雜,基本上都需要添加輔助線才能解決問題.日常壓軸題的教學(xué)中,要指導(dǎo)學(xué)生根據(jù)題意作圖,重點分析輔助線添加的原因,合理添加輔助線.

3.觀察提取基本圖形

近年來,《廣州市初中畢業(yè)生學(xué)業(yè)考試年報》的分析中多次提到,學(xué)生遇到難題畏縮,缺乏信心,題目中的條件不會轉(zhuǎn)化,不會提取核心圖形、典型圖形,最后選擇放棄解答.因此,日常壓軸題的教學(xué)中,要學(xué)習(xí)根據(jù)題意畫出圖形,認真分析典型圖形,指導(dǎo)學(xué)生在復(fù)雜圖形中提取基本圖形.

4.滲透數(shù)學(xué)思想方法

壓軸題的教學(xué),不是一蹴而成的事.從起始年級就應(yīng)該滲透核心內(nèi)容、數(shù)學(xué)思想方法.日常教學(xué),注重分析知識的生成過程,真正指導(dǎo)學(xué)生理解核心內(nèi)容、數(shù)學(xué)思想方法,學(xué)會將已知條件合理轉(zhuǎn)化.解決問題時,學(xué)會適當(dāng)引入?yún)?shù),找等量關(guān)系得到方程求參數(shù)值,或通過化簡消去參數(shù)以達到解決問題的目的.

5.總結(jié)提升多題歸一

壓軸題的教學(xué),除了指導(dǎo)學(xué)生通過分析題意、轉(zhuǎn)化已知、猜測聯(lián)想、添加輔助線、提取基本圖形、運用數(shù)學(xué)思想方法解決問題外,還要指導(dǎo)學(xué)生將所做過的壓軸題進行分析總結(jié),提煉出通性通法,實現(xiàn)“多題歸一”.

(三)實例分析

1.下面以2016年廣州市中考數(shù)學(xué)第25題(全卷最后一題)為例,說明如何通過猜測聯(lián)想轉(zhuǎn)化已知、添加輔助線、提取基本圖形、合理運用數(shù)學(xué)思想方法,以解決問題的過程.

原題重現(xiàn)如圖,點C為△ABD外接圓上的一動點(點C不在弧BAD上,且不與點B,D重合),∠ACB=∠ABD=45°.

(1)求證：BD是該外接圓的直徑;

(2)連結(jié)CD,求證：;

(3)若△ABC關(guān)于直線AB的對稱圖形為△ABM,連接DM,試探究DM2,AM2,BM2三者之間滿足的等量關(guān)系,并證明你的結(jié)論.

分析過程第(2)問,要證明,要用截長補短的方法,但有AC前有系數(shù),截長不容易,所以想到補短.還要保留∠ACB=45°,所以,

解法一如圖1,選擇延長CB到E,使BE=CD,則BC+CD=BC+BE=CE.需證明,會聯(lián)想到等腰直角三角形,圖中沒有,但有∠ACB=45°,所以猜想證明△EAC是等腰直角三角形,使得.為了證明AE=AC且∠EAC=90°,需證明△AEB與△ACD全等,這兩個三角形就是常見的基本圖形,如圖解法一圖2.

解法二如圖2,選擇延長CD到E,使DE=BC,則CD+BC=CD+DE=CE,需證明,會聯(lián)想到等腰直角三角形,圖中沒有,但有∠ACB=45°,∠ACE=45°,所以猜想證明△EAC是等腰直角三角形,使得.為了證明AE=AC且∠EAC=90°,需證明△ABC與△ADE全等,這兩個三角形就是常見的基本圖形,如圖解法二圖2.

第(3)問,要探究DM2,AM2,BM2三者之間滿足的等量關(guān)系,即探究三條線段長度的平方之間的關(guān)系,首先會聯(lián)想到直角三角形.但這三條線段并不在一個直角三角形中,由圖觀察可以看到DM是最長的一條線段,所以嘗試保留DM、BM,會選擇延長線段MB(可以讓學(xué)生嘗試延長MA,看看是否可行),交圓于點N,由BD是直徑,可以得到 ∠BND=90°,則MD2=MN2+ND2.由△ABC關(guān)于直線AB的對稱圖形為△ABM可得∠AMB= ∠ACB=45°. 由 ∠ABD=45°,可以得到弧AB所對圓周角都為45°,選擇連接AN,得到∠ANB=45°,從而得到等腰直角三角形AMN,MN2=2MA2.則MD2=MN2+ND2=2MA2+ND2.最后就要分析ND與MB的關(guān)系了.由對稱性得到MB=BC,所以轉(zhuǎn)化為分析BC與ND的關(guān)系,在圓中分析弧BC與弧ND的關(guān)系,易證明弧BC=弧ND.從而問題得解.

2、總結(jié)提升,多題歸一.下面以2008、2012、2016年廣州市中考數(shù)學(xué)題為例進行分析.

原題重現(xiàn)

(2008年廣州第24題) 如圖1,扇形OAB的半徑OA=3,圓心角 ∠AOB=90°,點C是弧AB上異于A、B的動點,過點C作CD⊥OA于點D,作CE⊥OB于點E,連結(jié)DE,點G、H在線段DE上,且DG=GH=HE.

(1)求證：四邊形OGCH是平行四邊形.

(2)當(dāng)點C在弧AB上運動時,在CD、CG、DG中,是否存在長度不變的線段?若存在,請求出該線段的長度.

(3)求證：CD2+3CH2是定值.

(2012年廣州第25題) 如圖1,在平行四邊形ABCD中,AB=5,BC=10,F為AD的中點.CE⊥AB于點E,設(shè) ∠ABC=α(60°≤α＜90°).

(1)當(dāng)α=60°時,求CE的長.

(2)當(dāng)60°≤α ＜90°時,

①是否存在正整數(shù)k,使得∠EFD=k∠AEF?若存在,求出k的值;若不存在,請說明理由.

②連接CF,當(dāng)CE2-CF2取最大值時,求tan∠DCF的值.

分析過程這三年的幾何壓軸題都出現(xiàn)了線段的平方,2008年較直觀,直接證明“CD2+3CH2是定值”,2012年是“當(dāng)CE2-CF2取最大值時,求tan∠DCF的值”,需要先求出線段平方差的最大值,2016年是“試探究DM2,AM2,BM2三者之間滿足的等量關(guān)系,并證明你的結(jié)論”.雖然提問方式不同,但解決問題的思路都是找相應(yīng)的直角三角形,這些邊是直角三角形的邊,如果沒有符合條件的直角三角形,就需要根據(jù)題意構(gòu)造直角三角形.輔助線添加如圖所示(2008年廣州第24題圖2、2012年廣州第25題圖2、2016年廣州第25題第(3)問添加輔助線圖).因此,建議教師及時指導(dǎo)學(xué)生將題目歸類,總結(jié)分析解決問題的通性通法,實現(xiàn)多題歸一.

五、結(jié)束語

幾何教學(xué)的目標是培養(yǎng)學(xué)生掌握圖形與幾何的基礎(chǔ)知識和基本技能,發(fā)展合情推理和演繹推理能力,清晰地表達自己的想法.在平時的教學(xué)中要幫助學(xué)生樹立解題信心,指導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)圖,熟悉教材中的基本圖形.壓軸題的設(shè)問是層層遞進的,點撥學(xué)生在解題中大膽猜測聯(lián)想,合理添加輔助線,并提取基本圖形,運用數(shù)學(xué)思想方法輔助解題.通過這樣的指導(dǎo),學(xué)生必能在幾何的學(xué)習(xí)中提升推理演繹能力,嘗到成功解決問題的快樂!