坐標(biāo)為器 幾何為核*—高考向量二輪專題教學(xué)設(shè)計(jì)的思考

江蘇省常州市第一中學(xué)(213003) 陸建明

文獻(xiàn)[1]談?wù)摿烁咧袛?shù)學(xué)解題課型的的教學(xué)設(shè)計(jì),從結(jié)構(gòu)上筆者認(rèn)為它于高考二輪復(fù)習(xí)十分吻合,建立高中數(shù)學(xué)二輪課型的教學(xué)設(shè)計(jì)對于高三復(fù)習(xí)十分有意義,不僅可提供理論依據(jù),也能從根本上幫助學(xué)生做好高考復(fù)習(xí),提升學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識.而事實(shí)上很多時(shí)候二輪復(fù)習(xí)就是個(gè)講評作業(yè)的任務(wù),如果僅講題,不做專業(yè)總結(jié),讓學(xué)生被動接受,這樣的復(fù)習(xí)是是不利于培養(yǎng)學(xué)生的優(yōu)秀思維的.因此筆者建議結(jié)合解題課型的教學(xué)設(shè)計(jì),將講評課加上點(diǎn)砝碼,以期形成一些高級規(guī)則,提升數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練.

下面以我的一節(jié)高三復(fù)習(xí)課的自動生成,與大家一起探討高考專題復(fù)習(xí)課的教學(xué)設(shè)計(jì).

一、教學(xué)任務(wù)分析

向量在高考中等級要求是一C四B一A,且向量常常在知識點(diǎn)的交匯處出題,給學(xué)生造成了很大的麻煩.本課的學(xué)習(xí)任務(wù)就是：平面向量知識的綜合運(yùn)用,主要涉及向量的平行四邊形法則,向量的數(shù)量積等知識.學(xué)習(xí)結(jié)果：一是對于向量的建系法作出合理選擇,屬于高級規(guī)則的學(xué)習(xí);二是向量中數(shù)形結(jié)合思想的思想方法和動點(diǎn)軌跡意識的自動生成,屬于認(rèn)知策略的學(xué)習(xí),學(xué)生雖然在一輪復(fù)習(xí)涉及,但是意識不強(qiáng),需要更強(qiáng)的示例,強(qiáng)化認(rèn)知.

二、教學(xué)的基本過程

二輪教學(xué)離不開解題,但是題目是問題的開始,也是引發(fā)學(xué)生深入思考的起始.

第一步：從一輪復(fù)習(xí)作業(yè)中找到矛盾的焦點(diǎn),引起學(xué)生的注意.

作業(yè)1(2013安徽高考理科第9題) 在平面直角坐標(biāo)系中,O是坐標(biāo)原點(diǎn),兩點(diǎn)A,B滿足：,則點(diǎn)集,|λ|+|μ|≤ 1}所表示的區(qū)域面積是___.

思路1_如圖1建系,,所以.設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y),條件轉(zhuǎn)化為

因此,再去絕對值,將可行域表示得結(jié)果,但是相對來說,這個(gè)建系的思路,最后一步分四類去絕對值畫可行域?qū)W生還是怕煩,自然思考能否簡化呢.

圖1

圖2

思路2首先考慮λ＞0,μ＞0的情況.

因?yàn)棣?μ≤1,結(jié)合一輪復(fù)習(xí)知識：三點(diǎn)P,A,B共線的充要條件是且λ+μ=1,λ,μ ∈.由幾何意義可知點(diǎn)P的軌跡是△AOB及其內(nèi)部.

再討論其他情況,即可畫出點(diǎn)P的軌跡為一矩形(如圖2),矩形面積就是點(diǎn)集所表示的區(qū)域的面積,看清P點(diǎn)軌跡比直接建系找可行域相對簡單了點(diǎn).

作業(yè)2已知向量,向量,則向量與向量的夾角的取值范圍是___.

思路1

所以結(jié)合一輪向量復(fù)習(xí)夾角公式

可得,但是以下操作難度大,學(xué)生無法下手.

思路2由題意,得：

所以點(diǎn)A的軌跡是圓(x-2)2+(y-2)2=2,

如圖3,當(dāng)A位于使向量與圓相切時(shí),向量與向量的夾角分別達(dá)到最大、最小值,答案為.

圖3

文獻(xiàn)[1]中,根據(jù)加涅的觀點(diǎn),數(shù)學(xué)問題的解決中的“問題”的最高境界是相對于學(xué)習(xí)者而言,在問題的解答過程中會產(chǎn)生新的學(xué)習(xí).而二輪復(fù)習(xí)就是強(qiáng)調(diào)在綜合問題中產(chǎn)生一個(gè)新的學(xué)習(xí),需要從比較中讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)一些問題深層次的東西,向量的本質(zhì)不是建系,而是刻畫幾何對象的重要工具,因此研究向量不管建系不建系,都應(yīng)該看到向量背后的幾何意義,甚至應(yīng)該形成向量優(yōu)化思維的第一步是圖形.

第二步：通過典例探究向量問題本質(zhì),提升意識.

典例 1已知非零向量滿足,向量夾角為 60°,則最大值為___.

解如圖4,取

由已知得：∠AOB=120°,∠ACB=60°,

所以A,O,C,B四點(diǎn)共圓.

因此本題的關(guān)鍵是C點(diǎn)在優(yōu)弧AB上,將問題轉(zhuǎn)化為求外接圓的半徑.

圖4

圖5

典例 2已知非零向量滿足,,則的范圍為___.

法1構(gòu)造向量,

則C點(diǎn)在以AB為直徑的圓上(取E為AB中點(diǎn)),

又因?yàn)?

法 2建系,令,可得A、B在兩個(gè)半徑為2的圓,C在半徑為1的圓上,而第三個(gè)條件等價(jià)為∠ACB=90°,由于A、B、C均在變化,不妨可以令C(x0,y0)固定,取AB中點(diǎn)E(x,y),

根據(jù)圓的幾何性質(zhì),可以得：OE⊥AB,OE2+AE2=4,

又因?yàn)榫匦蜛BCD中AE=CE,

所以O(shè)E2+CE2=4,

所以x2+y2+(x-x0)2+(y-y0)2=4,

總結(jié)法1是根據(jù)向量知識找到兩圓有交點(diǎn)得刻畫,法2是建系后找出向量圖形中動點(diǎn)軌跡,是兩種方法的關(guān)鍵,所以建系只是一種工具,關(guān)鍵是尋找向量背后的圖形與軌跡意識.下面我們再通過兩道題強(qiáng)化上述意識.

典例 3已知非零向量滿足,,則的范圍為____.

法1建系法(省略)

法2尋找動點(diǎn)軌跡,

所以C在以AD為直徑的圓上,圓心為J(圖6).

圖6

圖7

典例 4已知G為△ABC重心,且,若,則λ=___.

所以

代入條件可得：

平面向量問題應(yīng)該以基底為本,坐標(biāo)只是向量問題的一個(gè)工具而已,幾何維度對思維要求最高,更易切入向量問題的核心,準(zhǔn)確快速地解決問題問題,下面和學(xué)生一起總結(jié)一般步驟.

第三步：歸納解決向量綜合問題的一般方法與步驟

(1)閱讀題目,觀察思考向量代表的幾何意義,形成圖形;

(2)結(jié)合圖像思考,需不需要建系,如果建系將圖形問題轉(zhuǎn)化代數(shù)思想(探究軌跡);如果不建系,將圖形本質(zhì)探究,形成數(shù)形結(jié)合思想;

(3)運(yùn)算與化簡得結(jié)論;

(4)檢驗(yàn)與反思得結(jié)論.

第四步：變式與遷移轉(zhuǎn)化階段(將此思想遷移到其他知識點(diǎn),下面通過例題說明)

遷移1(2014常州市高三期末聯(lián)考14題) 在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知圓O:x2+y2=16,點(diǎn)P(1,2),M,N為圓O上不同的兩點(diǎn),且滿足,則的最小值為___.

簡解同典例2,將P,Q中點(diǎn)軌跡找出,然后借助圓得答案.

遷移2(2012安徽高考理科14題) 若平面向量,則的最小值為____.

簡解在文獻(xiàn)[2]有此題的研究,我們不妨固定在x軸 上,設(shè).所以條件轉(zhuǎn)化為,結(jié)論轉(zhuǎn)化為,

簡解P點(diǎn)為圓O1與圓O2公共點(diǎn),

將兩圓方程做差可得兩圓公共弦方程為：

代入公共弦方程可得：2kx+2y-k2(b+d)=0,

圓O1化簡為x2+y2-2kbx-2by+k2b2-1=0,

上兩式化簡可得：

于是問題轉(zhuǎn)化為直線上任意一點(diǎn)到圓上動點(diǎn)距離最小值,顯然為圓心(0,0)到直線3x-4y-25=0距離d-r=5-3=2.

第五步：總結(jié)與作業(yè)布置階段

總結(jié)本課題解決了一類向量的綜合問題,結(jié)構(gòu)中關(guān)鍵是包括向量中的動點(diǎn)軌跡問題,蘊(yùn)含了數(shù)形結(jié)合思想.

[1]譚國華,高中數(shù)學(xué)解題課型及其教學(xué)設(shè)計(jì)[J],中學(xué)數(shù)學(xué)研究(上半月),2013,(8).

[2]朱彭,六大意識解平面向量高考題[J],上海中學(xué)數(shù)學(xué),2013,(10).