提煉習(xí)題核心本源 提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)—例談基于核心知識(shí)的數(shù)學(xué)習(xí)題講評(píng)教學(xué)

浙江省元濟(jì)高級(jí)中學(xué)(314300) 丁晨芳 姜巍

1.問(wèn)題的提出

學(xué)科關(guān)鍵能力和學(xué)科核心素養(yǎng)是近期國(guó)家新課程標(biāo)準(zhǔn)修訂中提出的最新概念,從“雙基”到“三維目標(biāo)”再到“學(xué)科關(guān)鍵能力和核心素養(yǎng)”反映了中國(guó)教育的發(fā)展與進(jìn)步.那么該以什么樣的教學(xué)路徑和方法去養(yǎng)成學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科關(guān)鍵能力和核心素養(yǎng),是我們一線教師需要與時(shí)俱進(jìn)去考慮的一個(gè)問(wèn)題.

在平時(shí)的教學(xué)反饋中,我發(fā)現(xiàn)兩方面問(wèn)題：(1)在針對(duì)學(xué)生解題錯(cuò)誤的習(xí)題講評(píng)教學(xué)中,課堂氣氛沉悶,學(xué)生參與度不高;(2)學(xué)生在解決某些數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)會(huì)反復(fù)的犯錯(cuò)、“屢教不改”.而我對(duì)學(xué)生的解題錯(cuò)誤原因進(jìn)行調(diào)查后得到的回答通常是“算錯(cuò)了”、“計(jì)算粗心了”、“沒(méi)見(jiàn)過(guò)一樣的題型就不會(huì)做了”等等.這些浮于皮毛的原因并非關(guān)鍵,計(jì)算和題型只是數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用的一種承載方式,通過(guò)它們承載的是一個(gè)龐大的數(shù)學(xué)體系和一類解決問(wèn)題的思想方法,而支撐這個(gè)體系的是各種數(shù)學(xué)概念、定理和公式,即數(shù)學(xué)核心概念.如果學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)核心概念的理解和掌握不夠透徹甚至是模糊的,那他就缺失解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng),不能實(shí)現(xiàn)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的正確、巧妙應(yīng)用,發(fā)生解題錯(cuò)誤.

數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)是一個(gè)螺旋上升的過(guò)程,因此,在學(xué)生的學(xué)習(xí)發(fā)生錯(cuò)誤的時(shí)候,如何講評(píng)習(xí)題,為學(xué)生提供從意義建構(gòu)到能力生成的學(xué)習(xí)環(huán)境,引導(dǎo)學(xué)生建立知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系,構(gòu)建自己的結(jié)構(gòu)化知識(shí)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng),增強(qiáng)數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力,進(jìn)而提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是筆者時(shí)時(shí)思考的一個(gè)問(wèn)題.下面筆者結(jié)合平時(shí)的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)談?wù)勗诹?xí)題講評(píng)課中深化學(xué)生對(duì)核心概念的理解與掌握,提高學(xué)生的數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力,形成數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)所做的探究和思考.

2.對(duì)核心概念和核心素養(yǎng)的理解

2.1 何謂數(shù)學(xué)核心概念?

數(shù)學(xué)概念是從現(xiàn)象、事實(shí)中抽象出來(lái)的理性知識(shí),是數(shù)學(xué)問(wèn)題構(gòu)建的理論背景和基本材料.正確理解并靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)概念,是掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和運(yùn)算技能、發(fā)展邏輯論證和空間想象能力的前提.從一定意義上說(shuō),學(xué)生學(xué)習(xí)知識(shí)主要是掌握概念和由概念組成的系統(tǒng),通過(guò)對(duì)概念的學(xué)習(xí)加深了客觀事物之間的聯(lián)系.數(shù)學(xué)核心概念是本源概念,是指以其反映的數(shù)學(xué)思想貫穿內(nèi)容體系,或標(biāo)志著其在整個(gè)內(nèi)容體系中起著核心關(guān)鍵作用的一類概念.核心概念在整個(gè)高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中起到一個(gè)統(tǒng)領(lǐng)、主導(dǎo)的作用.學(xué)生抓住核心概念就等于抓住了高中學(xué)習(xí)的命脈,學(xué)生掌握核心概念就等于掌握高中數(shù)學(xué)的根本.

2.2 何為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)?

王尚志、史寧中等專家根據(jù)教育部的研制計(jì)劃,結(jié)合數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn),對(duì)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)給出了界定,即數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是具有數(shù)學(xué)基本特征、適應(yīng)個(gè)人終身發(fā)展和社會(huì)發(fā)展需要的必備品格和關(guān)鍵能力,是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)和育人價(jià)值的集中體現(xiàn),它是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中逐步實(shí)形成的.數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)包括：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析共六個(gè)方面.參照數(shù)學(xué)素養(yǎng)的界定模型(PISA2012),筆者認(rèn)為可以通過(guò)以下教學(xué)模型來(lái)培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)(圖1).

圖1

圖1 中闡述的可以是從一個(gè)生活實(shí)際問(wèn)題出發(fā),到問(wèn)題解決的一個(gè)實(shí)際流程,一般的數(shù)學(xué)應(yīng)用題的解決過(guò)程符合上述路徑.然而,在數(shù)學(xué)的教學(xué)中不可能只講應(yīng)用題,從廣義的角度來(lái)說(shuō)建模也不一定是實(shí)際問(wèn)題的模型建立,可以是數(shù)學(xué)問(wèn)題本身的本質(zhì)模型識(shí)別與建構(gòu),如何在不同問(wèn)題中分離出共同的本質(zhì)性的核心和實(shí)質(zhì)特征,建構(gòu)為熟悉的數(shù)學(xué)問(wèn)題求解.在平時(shí)作業(yè)中學(xué)生發(fā)生錯(cuò)誤的習(xí)題,可以重組建模處理,輔助學(xué)生提高數(shù)學(xué)能力和素養(yǎng).

3.在課堂中養(yǎng)育學(xué)生的核心素養(yǎng)

3.1 當(dāng)前數(shù)學(xué)“習(xí)題講評(píng)課”教學(xué)中存在的不足

習(xí)題課是我們?nèi)粘Ｉ詈艹Ｒ?jiàn)的一種課型,它是根據(jù)學(xué)生近期學(xué)習(xí)中對(duì)于數(shù)學(xué)知識(shí)模糊、數(shù)學(xué)思維或者數(shù)學(xué)方法模糊的學(xué)情,特定安排的有針對(duì)性的解題教學(xué)課程,是學(xué)習(xí)中的重要環(huán)節(jié).作為新授課的一種延伸,一節(jié)好的習(xí)題講評(píng)課可以根據(jù)學(xué)生在平時(shí)作業(yè)練習(xí)中暴露的問(wèn)題從學(xué)生思維的角度引導(dǎo)學(xué)生分析、探究問(wèn)題,從根本上解決學(xué)生學(xué)習(xí)中的疑難點(diǎn)、困惑點(diǎn),進(jìn)一步鞏固數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí),讓學(xué)生真正掌握、理解、應(yīng)用知識(shí),提升其數(shù)學(xué)學(xué)科關(guān)鍵能力和核心素養(yǎng).通過(guò)分析學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中存在的缺失,并結(jié)合觀察教師在針對(duì)學(xué)生解題錯(cuò)誤的數(shù)學(xué)習(xí)題講評(píng)課課堂教學(xué)的實(shí)施情況,發(fā)現(xiàn)當(dāng)前數(shù)學(xué)“講評(píng)課”教學(xué)中存在以下不足：

3.1.1 忽視教學(xué)“核心概念”的提煉

習(xí)題課是對(duì)所學(xué)內(nèi)容進(jìn)行復(fù)現(xiàn),鞏固與內(nèi)化的教學(xué)活動(dòng),同時(shí),它又是一個(gè)有針對(duì)性地診斷教學(xué).通過(guò)一定的復(fù)習(xí),老師應(yīng)解決一些學(xué)生混淆不清的知識(shí),彌補(bǔ)一定的知識(shí)漏洞,并幫助他們建構(gòu)起自身的知識(shí)體系.教師如果不分輕重,面面俱到,只要有錯(cuò)就講解,重點(diǎn)不突出,學(xué)生在上完課后就會(huì)感覺(jué)純粹是一節(jié)作業(yè)訂正課.在此過(guò)程中教師對(duì)學(xué)生的解題錯(cuò)誤盲目地、機(jī)械地進(jìn)行反復(fù)的講評(píng)和操練,卻忽略了隱含在錯(cuò)誤中的核心概念而沒(méi)有進(jìn)行教學(xué)內(nèi)容重組,教學(xué)切入點(diǎn)不夠精確,不能對(duì)癥下藥,不能很好地幫助學(xué)生理清知識(shí)間的聯(lián)系、建構(gòu)起自己的知識(shí)體系,從而無(wú)法突破學(xué)生學(xué)習(xí)的薄弱點(diǎn)和思維的拐點(diǎn),更別提提高數(shù)學(xué)思維能力.

3.1.2 教學(xué)方式陳舊單一、缺乏吸引力

習(xí)題講評(píng)課是復(fù)習(xí)課的一種,復(fù)習(xí)是對(duì)所學(xué)知識(shí)的復(fù)現(xiàn),那勢(shì)必會(huì)存在一定的重復(fù),而重復(fù)教學(xué)卻是教學(xué)中最忌諱的,因?yàn)閷W(xué)生生性好奇,他們熱衷于新鮮的事物,一旦一樣?xùn)|西重復(fù)兩次以上,他們就會(huì)感到索然無(wú)味,失去學(xué)習(xí)興趣.很多數(shù)學(xué)習(xí)題講評(píng)課都是圍繞知識(shí)復(fù)習(xí)、作業(yè)和試卷錯(cuò)題講評(píng)展開(kāi)的,不能吸引學(xué)生參與其中,不能引起學(xué)生的學(xué)習(xí)共鳴,使學(xué)生游離在體驗(yàn)、感悟知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過(guò)程之外,導(dǎo)致學(xué)生對(duì)復(fù)習(xí)缺乏熱情.

3.1.3 忽視學(xué)生學(xué)習(xí)能力不足,缺乏適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)

高中生的思維意識(shí)不夠成熟,在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中存在對(duì)題型死記硬背、機(jī)械學(xué)習(xí)的問(wèn)題,沒(méi)有去思考問(wèn)題的本質(zhì)、梳理知識(shí)體系,從而只會(huì)模仿不會(huì)變通,無(wú)法形成自己的數(shù)學(xué)思維能力.而教師在習(xí)題講解的過(guò)程中,在學(xué)生站在突破問(wèn)題的岔路口時(shí),沒(méi)有給予適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo),使得學(xué)生沒(méi)有看透問(wèn)題的核心本質(zhì),沒(méi)有獲得解決問(wèn)題的關(guān)鍵能力,只能模仿,不會(huì)變通,進(jìn)而無(wú)法提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

3.2 提煉習(xí)題核心本源,提升學(xué)生核心素養(yǎng)

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程中,學(xué)生解題錯(cuò)誤的出現(xiàn)在所難免,它是認(rèn)知過(guò)程中必然的思想產(chǎn)物,也是學(xué)生思維上各種缺陷的真實(shí)暴露.如何利用學(xué)生“提供的錯(cuò)誤資源”設(shè)計(jì)習(xí)題課,引導(dǎo)學(xué)生從根本上解決學(xué)習(xí)中的疑難點(diǎn)、困惑點(diǎn),進(jìn)而鞏固知識(shí),提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)呢?

元認(rèn)知理論認(rèn)為學(xué)習(xí)的過(guò)程就是一個(gè)不斷提高認(rèn)知的過(guò)程,學(xué)習(xí)是認(rèn)知結(jié)構(gòu)的組織和重新組織,是一個(gè)積極主動(dòng)并不斷內(nèi)化的過(guò)程.學(xué)生學(xué)習(xí)的過(guò)程是提高元認(rèn)知能力的過(guò)程.教師可以基于學(xué)生的作業(yè)等學(xué)情反饋,對(duì)學(xué)生的錯(cuò)誤資源分析、剖解、提煉出與問(wèn)題本質(zhì)相關(guān)的核心概念,遵從學(xué)生的實(shí)際學(xué)習(xí)需求,并以此為教學(xué)生長(zhǎng)點(diǎn)為學(xué)生提供從意義建構(gòu)到能力生成的學(xué)習(xí)環(huán)境,使得學(xué)生在明顯的邏輯主線中能夠充分經(jīng)歷學(xué)習(xí)的過(guò)程、知識(shí)獲得的過(guò)程和方法得出的過(guò)程,以一種螺旋上升的方式深化學(xué)生對(duì)核心概念的本質(zhì)的理解,理清問(wèn)題表象下知識(shí)本質(zhì)之間的密切聯(lián)系,進(jìn)而靈活應(yīng)用數(shù)學(xué)概念,實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力和核心素養(yǎng)的提升.

【案例】《運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決復(fù)合函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題》的習(xí)題講評(píng)課教學(xué)

(1)創(chuàng)設(shè)情境――提煉核心本質(zhì)

基于學(xué)生的認(rèn)知水平,這個(gè)問(wèn)題是很容易得出答案的,教師要做的是引導(dǎo)學(xué)生抽象出問(wèn)題的核心本質(zhì)——函數(shù)的概念.由此做如下的問(wèn)題引領(lǐng)：

①如何由自變量3求出f(f(3))?

令u=f(x),y=f(u).

函數(shù)值f(f(3))產(chǎn)生的過(guò)程：

可逆的過(guò)程：

同理：

【設(shè)計(jì)意圖】中國(guó)科學(xué)院數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)研究院研究員李邦河院士認(rèn)為數(shù)學(xué)根本上是玩概念,而不是玩技巧,所以對(duì)概念的清晰認(rèn)識(shí)顯得尤為重要.“函數(shù)”是高中數(shù)學(xué)的核心概念之一.借助問(wèn)題(1)(2)(3)引導(dǎo)學(xué)生抽象出函數(shù)概念的本質(zhì)：對(duì)應(yīng)關(guān)系,培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象與邏輯推理素養(yǎng).借助問(wèn)題(4)提煉數(shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合,培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象素養(yǎng).

(2)建構(gòu)數(shù)學(xué)——凝煉總結(jié)方法

結(jié)合例1的解題經(jīng)驗(yàn),學(xué)生應(yīng)該有了相應(yīng)的解題思路,教師要乘勝追擊幫助學(xué)生進(jìn)一步凝練問(wèn)題的核心本質(zhì)——函數(shù)的概念.由此做如下的問(wèn)題引領(lǐng)：

①結(jié)合例1的解題經(jīng)驗(yàn),如何解方程f(f(x))=2?

②自變量與函數(shù)值之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系如何能夠直觀的呈現(xiàn)?

③你能夠總結(jié)一下復(fù)合函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題的解決方法嗎?

【設(shè)計(jì)意圖】數(shù)學(xué)概念是從現(xiàn)象、事實(shí)中抽象出來(lái)的理性知識(shí),是數(shù)學(xué)問(wèn)題構(gòu)建的理論背景和基本材料,因此問(wèn)題解決的關(guān)鍵,在于對(duì)問(wèn)題中隱含的本質(zhì)概念的掌握.以變式為背景,通過(guò)追問(wèn)來(lái)展現(xiàn)學(xué)生的思維成果,解除小部分學(xué)生的困惑,啟發(fā)學(xué)生共同思考,同時(shí)增強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí),滲透建模思想,加深對(duì)核心概念及核心概念解讀的必要性的理解.

(3)類比強(qiáng)化——增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)

【設(shè)計(jì)意圖】在解決問(wèn)題的過(guò)程中,進(jìn)一步感受將客觀化的問(wèn)題凝煉為函數(shù)核心概念——對(duì)應(yīng)關(guān)系的思維過(guò)程,幫助學(xué)生固化、內(nèi)化核心概念,學(xué)會(huì)識(shí)別問(wèn)題的本質(zhì)和處理方法.

(4)變式延伸——促其知識(shí)交匯

很多學(xué)生在遇到本題時(shí)一開(kāi)始束手無(wú)策,讀不懂題.造成困難的原因主要是加了“對(duì)任意給定的t∈(1,+∞),都存在唯一的x∈”這一條件,使得學(xué)生對(duì)題目的解讀產(chǎn)生偏差,模糊了問(wèn)題的核心本質(zhì).對(duì)學(xué)生來(lái)講是全新的問(wèn)題情境,要想突破此難點(diǎn),關(guān)鍵在于如何引導(dǎo)學(xué)生撥開(kāi)重重迷霧,識(shí)得盧山真面目,由此設(shè)計(jì)了以下問(wèn)題：

①針對(duì)“對(duì)任意給定的t∈(1,+∞)”這一條件,t變化,導(dǎo)致什么在變化?

②令m=2a2t2+at,當(dāng)實(shí)數(shù)m變化時(shí),都存在唯一的x∈R滿足方程f(f(x))=m,方程的根有幾個(gè)?

③當(dāng)實(shí)數(shù)m取值如何時(shí),方程f(f(x))=m有唯一實(shí)數(shù)根?如何求解?

④對(duì)任意給定的t∈(1,+∞),m=2a2t2+at的取值已知,求正實(shí)數(shù)a的最小值是什么數(shù)學(xué)問(wèn)題?

⑤2a2t2+at＞1,任意給定的t∈(1,+∞)恒成立,求正實(shí)數(shù)a的最小值.

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)問(wèn)題串讓學(xué)生感悟到一些復(fù)雜的客觀表征下,隱含的是函數(shù)核心概念的對(duì)應(yīng)關(guān)系,解決問(wèn)題的關(guān)鍵是能夠抽絲剝繭的去除一些非本質(zhì)的特征,抓住問(wèn)題的核心本質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.同時(shí)讓學(xué)生體會(huì)數(shù)形結(jié)合、等價(jià)轉(zhuǎn)換、分類討論思想在處理知識(shí)直接內(nèi)在聯(lián)系是發(fā)揮的作用,提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)、滲透數(shù)學(xué)思想.

(5)課外思考——深化概念理解

思考2f(x)=x|x-a|-2x,若對(duì)任意a∈(-2,4),關(guān)于x的方程f(x)=tf(a)總有3個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

【設(shè)計(jì)意圖】基于習(xí)題講評(píng)課的課外思考,給予學(xué)生在學(xué)習(xí)基礎(chǔ)上應(yīng)用知識(shí)的機(jī)會(huì),進(jìn)一步深化概念理解、提升核心素養(yǎng),同時(shí)也對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)成果起到評(píng)價(jià)的作用.適當(dāng)改變的題干,對(duì)知識(shí)有適當(dāng)?shù)难由?使學(xué)生的思維水平不滯留在某一層面上,而且獲得更大的發(fā)展空間.

4.總結(jié)語(yǔ)

數(shù)學(xué)素養(yǎng)是數(shù)學(xué)學(xué)科所固有的內(nèi)蘊(yùn)特征,是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)中獲得的、融于身心的一種品格和關(guān)鍵能力.教師在習(xí)題講評(píng)課方面,可以結(jié)合學(xué)生的作業(yè)反饋,圍繞問(wèn)題的根本核心概念開(kāi)展教學(xué),以對(duì)一類問(wèn)題的層層遞進(jìn)的研究為主線,在環(huán)環(huán)相扣的變式設(shè)計(jì)中,設(shè)置問(wèn)題串,以問(wèn)題引領(lǐng)學(xué)生清晰地識(shí)別深層知識(shí)的核心思想、不斷深化對(duì)函數(shù)核心概念的理解,籍以發(fā)展學(xué)生超越客觀問(wèn)題的構(gòu)想思維,促進(jìn)其思想與感覺(jué),觀念與實(shí)體的統(tǒng)一,并有助于學(xué)生將學(xué)習(xí)結(jié)果內(nèi)化并加以應(yīng)用,不斷的將學(xué)習(xí)過(guò)程引向更深、更有意義的方向,養(yǎng)成數(shù)學(xué)素養(yǎng).