基于問題驅(qū)動理論的概念課教學(xué)設(shè)計—以弧度制概念教學(xué)設(shè)計為例

廣東省廣州市東涌中學(xué)(511453) 何嘉駒 吳敏

一、引言

本文探索了怎樣在數(shù)學(xué)應(yīng)試與素質(zhì)教育之間尋找平衡點(diǎn),以弧度制概念課教學(xué)設(shè)計為例,闡述了怎樣開展問題驅(qū)動概念課的教學(xué).本文廣州市十三五課題關(guān)于教學(xué)效能課題研究的開端,也是我們探索問題驅(qū)動原理對于概念課教學(xué)的嘗試,我們會深入研究問題驅(qū)動教學(xué)理論,并逐步把他應(yīng)用到概念課、原理課、解題課和復(fù)習(xí)課中.

弧度制是高一下學(xué)期必修四第一章講授的內(nèi)容,通常只介紹弧度制與角度制的互換規(guī)律,課程標(biāo)準(zhǔn)中對弧度制的要求不高.如何把弧度制概念引入到實(shí)際教學(xué)中?如何闡明弧度制與角度制概念之間的關(guān)系?學(xué)生要達(dá)到怎樣的學(xué)習(xí)目標(biāo)?很多老師好像對這類問題是不關(guān)注或不了解的.于是學(xué)生只是盲目的接受老師灌輸?shù)男碌臄?shù)學(xué)技能方法,而不知道學(xué)習(xí)該知識的歷史價值與意義,學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)能給我們帶來什么,不得不說這與我們傳統(tǒng)的教學(xué)注重方法與技巧、忽視思想息息相關(guān).

數(shù)學(xué)概念的引入大多來源于現(xiàn)實(shí)或自然科學(xué)中出現(xiàn)的問題.可以這么說,具有促使這個概念產(chǎn)生的最初的問題,這類問題通常稱為本原性問題,但是如果是違背概念產(chǎn)生的情景,這類問題通常稱為偽命題.筆者認(rèn)為,概念課教學(xué)應(yīng)該圍繞著本原性問題展開,歷史上促使一個概念產(chǎn)生的原因是什么?而不是老師憑主觀臆想設(shè)計一些偽問題、創(chuàng)造一些偽情境.所以問題驅(qū)動理論的教學(xué)正是探索如何還原數(shù)學(xué)的本原性問題,讓數(shù)學(xué)問題更具有真實(shí)性,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)內(nèi)驅(qū)力.

二、弧度制的歷史簡介

據(jù)我們了解,第一類老師按照人教材P6所述先利用長度有不同的單位米、英尺、碼,重量有千克,磅等不同單位,而且不同單位能為我們帶來方便,類比方法得到或許我們角的度量也許有不同的單位?進(jìn)而就產(chǎn)生了弧度制,作為角的度量另一種表示單位;第二類老師根據(jù)人教版教材P8例三所述,采用弧度制時,弧長公式與扇形面積公式簡單了,從而產(chǎn)生弧度制;第三類老師回顧完初中角度制定義后,馬上引入高中有一種新的角度量方式弧度制,并把π=180°就是弧度制和角度制的互換公式告訴學(xué)生,完全沒有提及弧度制的產(chǎn)生歷史.

不難發(fā)現(xiàn)弧度制的產(chǎn)生與三角函數(shù)有緊密關(guān)系,弧度制因描述三角函數(shù)的不方便而形成.因?yàn)樵谝粋€三角圓中以角度與弧長兩種單位刻畫同一數(shù)學(xué)對象而帶來不便,為此需要統(tǒng)一單位,歐拉提出了以半徑為單位來量弧長,從而解決了三角函數(shù)中一個等式兩側(cè)度量單位不一致的麻煩.常常被教師敷衍而過的是一個對后世深遠(yuǎn)影響的數(shù)學(xué)概念,這既不符合歷史也沒有闡明弧度制的重要性體現(xiàn)在哪里.

三、弧度制的教學(xué)設(shè)計

杜威教育理論認(rèn)為,教育即生長、教育即生活、教育即經(jīng)驗(yàn).我們要善于在學(xué)生的生活情景中尋找符合數(shù)學(xué)發(fā)展史的數(shù)學(xué)本原性問題.從大量的弧度制教學(xué)案例中發(fā)現(xiàn),往往新課引入時,教師不是直接通過長度和質(zhì)量有不同度量方式進(jìn)行類比,就是從采用弧度制后,弧長公式與扇形面積公式變簡單了引入,然后揭示弧度制概念.可是沒有告訴學(xué)生為什么要研究它,為什么要在本來就有角度制的基礎(chǔ)上研究弧度制.這樣的教學(xué)忽視了兩個至關(guān)重要的問題：

(1)弧度制來自什么?雖然教材及教參對其歷史多有提及,但都是蜻蜓點(diǎn)水帶過,很不清晰,學(xué)生聽了依然對弧度制的發(fā)展里程很不清晰;

(一)引入

探究1 同學(xué)們大多數(shù)都坐過公共汽車來上學(xué),公共汽車?yán)锍瘫碛涗浟斯财囁旭偟穆烦?里程表數(shù)和車輪之間是否存在一定關(guān)系,如果把車輪的半徑看作單位1,你知道里程表上的數(shù)字和車輪之間的關(guān)系嗎?(圖1和圖2)

圖1

圖2

圖3

點(diǎn)評 在沒有學(xué)習(xí)弧度制概念的情況下,學(xué)生是解決不了該問題.而該問題正是揭示弧度制概念的本原性問題,即探究里程表上數(shù)字和車輪之間的關(guān)系,就是探究如何把車輪的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動轉(zhuǎn)化為里程表上表征汽車做直線運(yùn)動路程的關(guān)系(圖2,圖3),即是探究半徑為1的圓.在射線AB上的旋轉(zhuǎn)量.刻畫車輪與里程表之間關(guān)系需要我們先認(rèn)識與探究三角學(xué)中刻畫三角函數(shù)發(fā)展歷史中的故事.

(二)揭示數(shù)學(xué)史

引起學(xué)生的求知欲后,老師可以再給學(xué)生揭示弧度制的數(shù)學(xué)發(fā)展里程.

(三)探索概念生成

探究2 你能發(fā)現(xiàn)sin30°=0.5等式中左右進(jìn)制和單位有什么特點(diǎn)?如果你能發(fā)現(xiàn)問題所在,你想如何解決它?

點(diǎn)評 學(xué)生比較容易想到,在等式sin30°=0.5中,等式左邊是以60進(jìn)制,等式右邊是以10進(jìn)制為單位.等式左邊是以弧長為單位,等式右邊是以半徑為單位.

探究3 學(xué)生覺得三角函數(shù)等式的兩側(cè)單位不一致會帶來什么后果?如何解決這個問題?

學(xué)生不難想到單位不統(tǒng)一的兩個數(shù)學(xué)對象不能放在等式的左右兩側(cè),所以需要統(tǒng)一單位.

點(diǎn)評 統(tǒng)一單位是解決這個問題的核心,具體來說阿耶波多的正弦表設(shè)計按60進(jìn)制,整個圓周長是2πr=360度 =21600分.假如半徑使用弧長的“分”為單位,不難算出：半徑約等于3437分.阿耶波多的思想就孕育著弧度制的思想.

探究4 阿耶波多明顯是用弧長來表示半徑,你們覺得取半徑為3438分方便嗎?如果不方便,能不能換個角度思考一下?

學(xué)生不難想到,用半徑去表示弧長,設(shè)半徑等于1,那么整個圓周的長就是2π個半徑,半圓周的長就是π個半徑.

探究5 每個小組發(fā)一個硬紙做成的圓形圖片(圖4),一段細(xì)鐵絲,讓學(xué)生測量在不同的圓中,等于半徑長的圓弧所對圓心角?并且是不是所有同樣的圓心角所對的弧長與半徑之比都是常數(shù)?通過觀察所得到的結(jié)果有什么規(guī)律?并完成下表.

圖4

圖5

同心圓小圓中圓大圓大圓大圓弧長/cm半徑/cm弧長與半徑之比圓心角/度

學(xué)生通過動手實(shí)踐,探索發(fā)現(xiàn)弧長與半徑比值相等,學(xué)生還發(fā)現(xiàn)了同心圓中同樣的圓心角所對的弧長與半徑之比是一個常數(shù),而且該常數(shù)與圓心角的度數(shù)比值相同.

探究6 角度制與弧度制能否換算,如何換算?

圖6

學(xué)習(xí)了弧度制的概念之后學(xué)生就能輕松解決探究1.

(四)拓展提升

即時訓(xùn)練

(1)把下列各角從弧度化為度.

(2)把下列各角從度化為弧度.

拓展 弧度制的實(shí)質(zhì)上說的是實(shí)現(xiàn)了弧長與半徑的單位統(tǒng)一,那么親愛的同學(xué)們,你們嘗試一下完成這條問題：航海羅盤的圓周被分成32等份,把每一等份所對的圓心角的大小分別用度與弧度表示出來?

點(diǎn)評 通過以上例子說明如何運(yùn)用弧度制解決實(shí)際或熟悉問題,這對于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)動機(jī),以及對弧度制的重要性的認(rèn)識有很大幫助.為了強(qiáng)化理解概念,必要的練習(xí)還是不能少,讓學(xué)生學(xué)會探索問題,掌握解決問題的方法.

四、總結(jié)

基于問題驅(qū)動的弧度制概念的教學(xué)設(shè)計,通過查看相關(guān)書籍發(fā)現(xiàn)弧度制的發(fā)展過程,找到弧度制產(chǎn)生的歷史事實(shí),找出發(fā)展弧度制的本原性問題,利用本原性問題聯(lián)系學(xué)生生活情景,創(chuàng)設(shè)弧度制產(chǎn)生的現(xiàn)實(shí)問題情境引入.我們可以發(fā)現(xiàn),在數(shù)學(xué)課堂中引用重現(xiàn)數(shù)學(xué)概念的歷史發(fā)展,同時也為學(xué)生提供現(xiàn)實(shí)創(chuàng)設(shè)這數(shù)學(xué)概念的情境.是能讓這節(jié)弧度制概念課上活,能讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)概念創(chuàng)作的偉大,是一碗很好的心里雞湯.