有心圓錐曲線一個性質(zhì)的再推廣

贛南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院(341000) 曾建國

文[1]證明了有心圓錐曲線的一個性質(zhì)(圖1).

命題1[1]設(shè)P是有心圓錐曲線上一點(diǎn),PP′為曲線的直徑,過P′點(diǎn)的切線與x軸交于點(diǎn)Q,過Q點(diǎn)任作一直線交曲線于P1,P2,直線PP1,PP2與x軸分別交于M1,M2,則OM1=OM2.

圖1

文[2]將命題1中點(diǎn)Q推廣至過P′點(diǎn)的切線上任一點(diǎn)(圖2).

圖2

命題2[2]設(shè)P是有心圓錐曲線上一點(diǎn),PP′為曲線的直徑,點(diǎn)Q為過P′點(diǎn)的切線上任一點(diǎn),過Q點(diǎn)任作一直線交曲線于P1,P2,直線PP1,PP2與直線OQ分別交于M1,M2,則OM1=OM2.

本文從另一個角度推廣命題1,得到了下面的結(jié)論(圖3、圖 4).

定理1設(shè)P是有心圓錐曲線上一點(diǎn),弦PP′(或其延長線)與y軸交于點(diǎn)O′,過O′平行于x軸的直線與曲線在P′點(diǎn)的切線交于點(diǎn)Q,過Q點(diǎn)任作一直線交曲線于P1,P2,直線PP1,PP2與直線O′Q分別交于M1,M2,則OM1=OM2.

圖3

圖4

證明受篇幅所限,這里僅證明曲線為橢圓時的情形(當(dāng)曲線為雙曲線時,類似可證).

在定理1中,當(dāng)O′為曲線的中心時,就得到命題1,因此,定理1是命題1的一種推廣.

[1]楊波.有心圓錐曲線的一個性質(zhì)及應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)通報(bào),2005(3):33-34

[2]鄒黎明.有心圓錐曲線的一個性質(zhì)的推廣[J].福建中學(xué)數(shù)學(xué),2005(12):26-27