靈活變通 巧解不等式—例談“1”在基本不等式中的“七個巧用”

梅州市教育局教研室(514021) 陳啟南

自然數(shù)1看似既平凡又簡單的數(shù)字,在基本不等式章節(jié)中,自然數(shù)1卻起著舉足輕重的作用.在利用基本不等式解題過程中,若能充分挖掘條件,靈活巧用“1”,通過恒等變形,會收到意想不到的效果.本文例談“1”在基本不等式中的“七個巧用”,巧解不等式題,展現(xiàn)“1”的無限魅力.

一、巧代“1”—警惕陷阱

例題1已知a,b∈R+,若a+2b=1,求的最小值.

分析在教學反饋中,我們發(fā)現(xiàn)學生的答案往往如此:因為,所以,因此,解題過程看似環(huán)環(huán)相扣,一氣呵成,再探究后,不難發(fā)現(xiàn)其錯解根源在于忽視基本不等式在使用兩次過程中,取等號的條件不能同時滿足.本題的突破口在于尋找條件中“1”恒等式與所求的關系,將“1”代入是瞬時思維的直接反映,代入易得

本題巧代“1”,恰如其分回避了使用兩次基本不等式帶來的陷阱,解題水到渠成,無懈可擊.

拓展題已知a,b,c∈R+,若a+b+c=1,求的最小值.

分析參照例1解法可將a+b+c=1代入得

評注對于不等式證明中出現(xiàn)“1”的恒等式,可嘗試將“1”代入,為基本不等式使用創(chuàng)設條件,但是解題過程中取等條件是否成立是解題關鍵,需引起我們足夠的重視.

二、巧乘“1”—靈活變通

例題2已知a,b∈R+,若,求 2a+3b的最小值.

分析此題與例題1有相同之處,出現(xiàn)“1”恒等式,但不同之處在于無法將“1”代入,通過對比,發(fā)現(xiàn)與例題1的條件和結論位置恰好相反,可考慮將“1”的恒等式乘入即可,即

詳細解答過程略.

拓展題已知a,b∈R+,若2a+b?4ab=0,求a+b的最小值.

分析此題在考查中得分率很低,很多學生反饋無從入手,如何挖掘隱藏條件是解題的關鍵.從表面上看與“1”毫無相關,已知條件2a+b?4ab=0,可通過恒等變形為,恒等變形的一小步實現(xiàn)解題突破的一大步,正是此題巧妙之所在!本題即可化歸為例題2的巧乘“1”模型,解答過程從略.

評注與例題1相似的解法,通過將“1”的恒等式乘入,為基本不等式使用創(chuàng)設條件,復雜的問題往往將“1”隱匿條件之中,從而大大提高解題的難度和深度,這正是數(shù)學思維靈活變通的體現(xiàn).

三、巧湊“1”—迎刃而解

例題3已知0＜x＜1,a,b∈R+,求的最小值.

分析本題學生容易出現(xiàn)錯解,錯誤原因與例1相同.觀察待求函數(shù),易知其分母之和恰好為“1”,可嘗試配湊“1”的恒等式x3+(1?x3)=1,例3可轉化為例題2模型,巧乘“1”得:

詳細過程略.巧湊“1”的方法不僅很好地回避了使用兩次基本不等式帶來的陷阱,而且解題方法別出心裁,帶來豁然開朗的解題愉悅感.

拓展題已知0＜a＜1,求證:.

分析此題與例題3看上去很相似,但分母之和不為“1”讓很多學生束手無策,如何“配湊”使分母之和為“1”呢?可使用分析法,找到問題解決的切入口,要證:

此時其分母之和恰好為 “1”,可湊出 “1”的恒等式:a+(1?a)=1,解題方法參照例題3.

評注此類問題求解的關鍵在于抓住已知條件的結構特點,合理挖掘隱藏條件,配湊出“1”的恒等式,解題思路既合理自然,又富有創(chuàng)意,解題過程讓人產(chǎn)生一種撥開云霧見月明的頓悟.

四、巧定“1”—逐層剖析

例題4已知a,b∈R+,若a+b=1,求證:.

分析本題“1”的恒等式該如何使用?正是困擾學生的棘手問題.在無從入手情況下,可嘗試逐層推進,利用分析證明法層層剖析,要證:

評注基本不等式有“和定積最大,積定和最小”的結論,利用結論發(fā)現(xiàn):和或積為定值是解題重要前提,此題分析題設條件與不等式左端結構特征,利用分析證明法,逐層剖析,可找到問題求解的突破口.

五、巧分離“1”—立竿見影

例題5已知a＞b＞c,且恒成立,求實數(shù)m的最大值.

分析在無從入手情況下,亦可嘗試逐層剖析,要證不等式恒成立,即證:

評注在齊次分式證明過程中,分離常數(shù)法是經(jīng)常被使用的方法,此題在分離常數(shù)的過程中,既實現(xiàn)了分離常數(shù)“1”的效果,又為基本不等式適用提供了條件,解題方法達到立竿見影的效果.

六、巧加減“1”—另辟蹊徑

例題6已知a,b,c∈R+,求證:

分析由題意可知,不等式右邊常數(shù)帶來的想法是:將左邊的三個分母約去,如何湊出與分母相同的因式是解題的關鍵一步.參照例題5的解法,此題可考慮逆向追溯法來解題,可嘗試將三個分式同時加回“1”即可,即:

詳細過程從略.

評注齊次分式證明過程中,通過加減“1”構造出適用基本不等式的條件,其解題策略展現(xiàn)出數(shù)學的無窮魅力,其難度系數(shù)較大,要求我們在解題過程中樂于思考,勤于發(fā)現(xiàn),善于對比,在實踐中總結提高.

七、巧去“1”—避繁就簡

例題7已知a,b∈R+,且,求a·b的最小值.

分析本題看似簡單,困擾在“1”該如何妙用?卻又不知從何下手?往往復雜的想法不如簡單直接的想法有效,此題便是例證,此題只需恒等變化消去“1”即可,化簡得:a+b+8=ab,因為,解得t≥4,所以ab≥16.

評注“1”的巧用方法眾多,往往容易形成思維定勢的套路,固定的套路往往容易遮蔽智慧的雙眼,讓我們對最直接、最簡單的方法視而不見,這就要求我們不能拘泥于套路,具體問題需要具體分析才行.

以上是筆者積累和總結的“1”在基本不等式中的“七個巧用”,意在通過典型例題的分析和評注,讓典型例題成為學生鞏固知識、探究問題、發(fā)展能力的重要渠道,通過典型例題的探究和總結,讓學生體會數(shù)學知識的巧妙,體驗數(shù)學學習的樂趣.