巧借圖形 妙解向量

湖北省松滋市教科中心(434200) 杜守燦

湖北省松滋市第二中學(xué)(434213) 盧 濤

向量是高考的必考題,而且有些題是處在選填題壓軸題位置.向量是溝通代數(shù)與幾何的橋梁,解決向量問題有兩個(gè)方向,一是轉(zhuǎn)化為代數(shù)的運(yùn)算,二是借助圖形的直觀分析,同樣的一題不同的解法反映了不一樣的思維品質(zhì).高考向量題有什么特點(diǎn)?能不能簡算?在平常的教學(xué)中我們應(yīng)該注意什么?從哪些方面去提升學(xué)生的思維品質(zhì)?本文以向量為例,圖形—提升思維品質(zhì)的利器,以拋磚引玉.

一.平行四邊形的性質(zhì)運(yùn)用

例題1(2017浙江,15)已知向量a,b滿足|a|=1,|b|=2,則|a+b|+|a?b|的最小值是____,最大值是___.

圖1

分析如圖:取.因?yàn)?/p>

(三角形兩邊之和不小于第三邊,當(dāng)且僅當(dāng)a,b共線時(shí)取等號).因?yàn)?/p>

評注求|a+b|+|a?b|最小值時(shí)構(gòu)造借助圖形觀察即得.求|a+b|+|a?b|最大值時(shí),借助平行四邊形的性質(zhì)|a+b|2+|a?b|2=2(|a|2+|b|2),建立|a+b|與|a?b|的等量關(guān)系,再借助算術(shù)平均數(shù)與平方平均數(shù)建立不等關(guān)系.此平行四邊形的性質(zhì)是人教社A版必修4向量第106頁中的例題1,此高考題來源于課本,又高于課本,使考生在公正公平的背景下,考察學(xué)生分析解決問題的能力.

例題2 (2013重慶理,10)在平面上,,若,則的取值范圍是()

分析設(shè)矩形AB2PB1對角線交點(diǎn)為E,連接OE,

評注此題由平行四邊形的性質(zhì)的變形使用得到:

矩形ABCD的性質(zhì):O為平面上任意一點(diǎn),則OA2+OC2=OB2+OD2.

圖2

圖3

例題3(2017課標(biāo)II,理12)已知△ABC是邊長為2的等邊三角形,P為平面ABC內(nèi)一點(diǎn),則的最小值是( )

圖4

分析如圖4,取BC中點(diǎn)E,連接AE,取AE中點(diǎn)G,連接PG,則

當(dāng)P與G重合時(shí)取最小值.

評注此題也可以建立直角坐標(biāo)系,通過已知條件及點(diǎn)P的坐標(biāo)表示出,通過二元函數(shù)求解,但運(yùn)算過程復(fù)雜,運(yùn)算量大.若將轉(zhuǎn)化為是由同一起點(diǎn)的兩個(gè)向量的數(shù)量積,可以考慮極化恒等式(G是線段AE的中點(diǎn))

思想方法探源(人教社A版必修4向量P109中的例1)

在平行四邊形ABCD中,設(shè).則有:

圖5

推論1

(本質(zhì)揭示:反映三角形中中線長與三邊關(guān)系,參見人教社A版必修5解三角形第20頁中的習(xí)題1.2第13題,譬如在本文例題2中運(yùn)用)

推論2(極化恒等式).即.

推論3在△ABC中,O是邊BC的中點(diǎn),則(極化恒等式的幾何意義).

二.模長運(yùn)用

例題4(2016四川理第10題)在平面內(nèi),定點(diǎn)A,B,C,D滿 足,,動點(diǎn)P,M滿足,則的最大值是()

圖6

分析因?yàn)?/p>

所以D是正三角形△ABC的中心,.因?yàn)?所以P是以A為圓心,半徑為1的圓上的點(diǎn).因?yàn)?所以M是PC的中點(diǎn),取AC的中點(diǎn)N,連接MN.因?yàn)镸N是△APC中位線,所以

評注由題設(shè)知,點(diǎn)P在圓A上運(yùn)動,C是圓A外一定點(diǎn),求線段PC中點(diǎn)M的軌跡,思想來源于人教社A版必修2圓的一般方程第122頁中的例5,運(yùn)用坐標(biāo)采用代入法求軌跡模型.

變式1 若將或者都可以采用過M作AP的平行線交AC于N,采用平面幾何同理解決.

變式2若本題中點(diǎn)P在橢圓(雙曲線)上面運(yùn)動,C為橢圓(雙曲線)外一定點(diǎn),那么線段PC中點(diǎn)M的軌跡又是什么呢?筆者做了探究,結(jié)論為:M的軌跡為橢圓(雙曲線).以下僅以橢圓為例說明.

例子已知P是以F1,F2為焦點(diǎn)的已知橢圓上的動點(diǎn),C是橢圓外一定點(diǎn),問線段PC中點(diǎn)M的軌跡是什么?(F1,F2,C為定點(diǎn))

圖7

連接PF1,PF2,CF1,CF2,分別取CF1,CF2中點(diǎn)G,H,連接MG,MH,由分析知:

因?yàn)镻是橢圓上的點(diǎn).所以PF1+PF2為定值.故點(diǎn)M到兩定點(diǎn)G,H的距離之和為定值.M的軌跡為:以G,H為焦點(diǎn)的橢圓.

三.數(shù)量積幾何意義運(yùn)用

例題5(2016浙江理科第15題)已知向量a,b,|a|=1,|b|=2,若對任意單位向量e,均有,則a·b的最大值是____.

圖8

分析記,A,B在射線OE上的投影分別為A′,B′.

評注運(yùn)用向量數(shù)量積的幾何意義構(gòu)造|a·e|+|b·e|=OB′,然后分析即可.

四.平面向量線性運(yùn)算運(yùn)用

例題6(2017課標(biāo)III卷理科第12題)在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,動點(diǎn)P在以點(diǎn)C為圓心且與BD相切的圓上.若,則λ+μ的最大值為()

圖9

分析過P作BC的平行線交AB于P1,設(shè)∠PCE=θ,由已知可得:.

評注本題可以用坐標(biāo)運(yùn)算解決,但是坐標(biāo)運(yùn)算運(yùn)算量大.如果用平面幾何思想,因?yàn)辄c(diǎn)P是圓C上面的動點(diǎn),通過設(shè)∠PCE=θ控制P點(diǎn)位置,通過向量線性運(yùn)算表示,將λ+μ用θ表示求最值.

這些向量題很多都處在選填題壓軸題位置,解法有很多,但是很明顯將向量用平面圖形來分析其關(guān)鍵核心,幾何量可以快速求解,有效降低了運(yùn)算量.優(yōu)化思維是課堂教學(xué)永恒的追求,我們教學(xué)中應(yīng)該充分借助圖形培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì).