看似尋常最奇崛 成如容易卻艱辛—2016年高考浙江卷理科第8題解法探究

廣東廣雅中學(xué)(510160) 徐廣華

題目(2016年浙江理科第8題)已知實(shí)數(shù)a,b,c,則( ).A.若|a2+b+c|+|a+b2+c|≤1,則a2+b2+c2＜100 B.若|a2+b+c|+|a2+b?c|≤1,則a2+b2+c2＜100 C.若|a+b+c2|+|a+b?c2|≤1,則a2+b2+c2＜100 D.若|a2+b+c|+|a+b2?c|≤1,則a2+b2+c2＜100

分析本題考查絕對(duì)值不等式的性質(zhì)和推理論證能力.其表面看起來(lái)仿佛很平常,但實(shí)際上卻內(nèi)蘊(yùn)深厚,有如靜水流深,對(duì)邏輯思維的要求較高,要想在短時(shí)間內(nèi)找到解決問(wèn)題的思路和突破口,絕非易事!

可采用特殊值排除法:令a=b=10,c=?110,可排除 A;令a=10,b=?100,c=0,可排除 B;令a=100,b=?100,c=0,可排除C.故答案選D.

評(píng)注對(duì)于判斷不等式恒成立問(wèn)題,一般采用舉反例排除法.解答本題時(shí)能夠?qū)λ膫€(gè)選項(xiàng)逐個(gè)利用賦特殊值的方式進(jìn)行排除,進(jìn)而確認(rèn)成立的不等式.問(wèn)題是如何證明D是正確的呢?這就很難了!

筆者經(jīng)過(guò)深入研究,得到如下4種證法供大家參考.

證法一根據(jù)絕對(duì)值三角不等式,有

顯見(jiàn)答案D中的范圍a2+b2+c2＜100比上面的范圍要大得多!

證法二因?yàn)?將(?)放縮得a2+a＜2,解得

盡管這個(gè)范圍比a2+b2+c2＜16大一點(diǎn),但依然比答案a2+b2+c2＜100要小得多,而且運(yùn)算量明顯要少很多!

證法三由①得

其幾何意義是動(dòng)點(diǎn)(a,b)在以為圓心,半徑為的圓上或圓內(nèi).而a2+b2表示動(dòng)點(diǎn)(a,b)到原點(diǎn)的距離的平方,由數(shù)形結(jié)合知:

證法四由 (??),可考慮用三角換元法,令,則

顯見(jiàn),以上4種證法中,證法四得到的范圍a2+b2+c2＜13是最精準(zhǔn)的,遠(yuǎn)比答案D中的范圍a2+b2+c2＜100小得多!有沒(méi)有其它更好的證明方法并得到a2+b2+c2更精準(zhǔn)的范圍呢?留給大家繼續(xù)去思考和研究.