形異法相同，同源構(gòu)法成

郝敬軍

[摘 要] 對于不同類型的考題，有時(shí)可以采用相同的思路來求解，該類考題稱之為解法同源考題. 該類考題的出現(xiàn)，極大地拓展了解題方法，有助于解題思路的關(guān)聯(lián)性建構(gòu)，對提高解題效率有一定的幫助.

[關(guān)鍵詞] 同源；面積；性質(zhì)；割補(bǔ)法；幾何

考題2 （2018年甘肅張掖中考）如圖6，已知二次函數(shù)y=ax2+2x+c的圖像經(jīng)過點(diǎn)C（0，3），與x軸分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B（3，0），其中點(diǎn)P是直線BC上方拋物線上一動點(diǎn).

（1）試求二次函數(shù)y=ax2+2x+c的表達(dá)式.

（2）連接PO，PC，并將△POC沿y軸翻折，得到四邊形POP′C，如果四邊形POP′C為菱形，請求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).

（3）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到什么位置時(shí)，四邊形ACPB的面積可以取得最大？請求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)以及四邊形ACPB面積的最大值.

思路突破 本題為典型的函數(shù)綜合題，涉及拋物線和直線，第（1）（2）問分析略，下面主要探討第（3）問的求解策略.

難點(diǎn)分析 對于第（3）問，從問題形式來看，求四邊形ACPB的面積過程中，存在三大難點(diǎn)，一是題目為最值問題，隨著點(diǎn)P的移動，四邊形ACPB的形狀必然發(fā)生變化，如何定量分析有待研究；二是四邊形ACPB為不規(guī)則圖形，如何利用已有知識建立面積求解模型有待討論；三是題干信息僅給出了函數(shù)的解析式，沒有具體的線段長，如何利用轉(zhuǎn)換條件獲得相應(yīng)的線段長需要進(jìn)一步討論.

思路構(gòu)建 研究面積的最值，可以嘗試設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，使其變?yōu)橄鄬σ饬x上的靜止點(diǎn)，則可以建構(gòu)特定條件下的四邊形面積模型. 四邊形ACPB為不規(guī)則圖形，可以嘗試采用分割法，將其轉(zhuǎn)化為幾個規(guī)則的基本圖形的組合，則不規(guī)則圖形的面積就可以通過分別求解規(guī)則圖形的面積來求解. 線段的長度可以通過兩點(diǎn)之間的坐標(biāo)來獲得，因此可以將求線段長度的問題轉(zhuǎn)化為求關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)，求點(diǎn)的坐標(biāo)可以結(jié)合函數(shù)解析式來獲得. 最后，可以建立關(guān)于點(diǎn)P坐標(biāo)參數(shù)的面積函數(shù)式，通過研究點(diǎn)P的軌跡參數(shù)來完成最值求解.

考題1和考題2的第（3）問都是求幾何圖形的面積，只是問題的研究背景不同. 考題1直接給出了幾何元素的相關(guān)信息，包括角、邊的大小以及相關(guān)幾何性質(zhì)，是幾何動點(diǎn)下的面積分析問題；而考題2給出了函數(shù)的解析式和相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，是函數(shù)圖像中的幾何問題，屬于解析幾何. 雖然兩者的問題形式不同，但考慮到解析幾何是函數(shù)與幾何的綜合，因此實(shí)質(zhì)上都是對幾何的拓展研究. 上述解題策略在思想方法和構(gòu)建思路上存在一些相同之處，具體如下.

對于思想方法，考題所涉及的四邊形均為不規(guī)則四邊形，利用已有的圖形面積求解方法無法直接完成，因此基于構(gòu)造思想采用面積的割補(bǔ)法是最為有效的方式. 該解題思想方法在考題1、考題2中均有充分的體現(xiàn)，它們均是通過添加輔助線的方式，將四邊形分割成幾部分，構(gòu)造出幾個常見的基本圖形，利用其面積公式來求解. 需要注意的是，不同的分割方式所構(gòu)造的基本圖形不相同，面積求解的難易程度也有差異，最為簡潔的方式是根據(jù)題目所給條件進(jìn)行圖形構(gòu)造，如考題1的純幾何問題直接利用已知的線段長，考題2則盡量將已知點(diǎn)作為所構(gòu)圖形的頂點(diǎn)，這是構(gòu)造思想的具體使用細(xì)節(jié)，合理構(gòu)造可以簡化求解.

對于思路構(gòu)建，利用面積割補(bǔ)法是構(gòu)建求解幾何模型的總體思想，而如何建立已知條件與目標(biāo)問題的關(guān)系是求解的具體思路. 考題1基于三角形的面積公式，利用幾何性質(zhì)來探究面積求解的關(guān)鍵線段長，采用的是“公式→線段→幾何性質(zhì)”的思路探尋模式，這是由所給條件——幾何性質(zhì)所決定的；考題2同樣基于圖形面積公式，進(jìn)行了所需線段長度的思路構(gòu)建，采用的是“公式→線段→函數(shù)性質(zhì)”的思路探尋模式，都是由問題目標(biāo)展開的思路構(gòu)建. 考慮到點(diǎn)坐標(biāo)與線段之間的聯(lián)系，及幾何與代數(shù)之間的不可分割聯(lián)系，問題的構(gòu)建思路均是以定理、公式為出發(fā)點(diǎn)，建立必要條件與性質(zhì)之間的聯(lián)系，這是兩道考題構(gòu)建思路的同源所在.

考題求解的學(xué)習(xí)思考

1. 重視考題解法，透析問題結(jié)構(gòu)

上述考題屬于不同知識領(lǐng)域的“形異法同”的關(guān)聯(lián)題，雖然問題的形式、題干信息條件有較大的差異，但由于均是對不規(guī)則面積的求解，因此在解題策略上存在同源性. 對考題進(jìn)行總結(jié)歸納，不能只局限于同類型的考題，也應(yīng)重視對相同解題策略的考題整理，尤其是具有相同思想方法的考題. 深入探析解法上的“同”與“不同”，不僅可以豐富解題方法，在解法歸納的過程中還可以拓展解題思路，促進(jìn)思維的活躍性. 另外，關(guān)注同源考題的命題結(jié)構(gòu)，反思問題求解時(shí)的轉(zhuǎn)化策略，充分理解命題人由條件構(gòu)建問題的基本框架，真正理解解法一致性的根源，是解題的核心.

2. 提煉問題條件，總結(jié)重點(diǎn)知識

解后反思是對問題求解進(jìn)行信息提煉，包括問題的條件、出題形式、求解涉及的基礎(chǔ)知識，如上述考題1給出圖形的基本性質(zhì)來求解圖形的面積，涉及菱形、三角形的性質(zhì)，求解時(shí)利用了面積公式、勾股定理、分割方法等. 對問題信息進(jìn)行總結(jié)，有助于后續(xù)知識的學(xué)習(xí)，結(jié)合考題，可以深入理解涉及的知識內(nèi)容，積累知識運(yùn)用的經(jīng)驗(yàn)，達(dá)到融會貫通的效果. 同時(shí)，在知識整理的過程中，可以進(jìn)一步把握知識之間的聯(lián)系，構(gòu)建知識的解題框架，這樣有助于解題策略的形成. 解后反思實(shí)際上是知識的內(nèi)化過程，是知識與能力強(qiáng)化、提升的過程.

寫在最后

解法同源是較為特殊的一類關(guān)聯(lián)考題，解題過程中用到的思想方法、構(gòu)建思路具有潛在的研究價(jià)值，尤其是在命題形式多樣化的中考中，局限于表象問題是難以提升解題能力的. 深刻挖掘解題思路的構(gòu)建策略、思想方法，有助于擺脫考題的束縛，真正理解問題的精髓，獲得思想層面的能力提升.