射影空間上涉及q,c階差分算子的第二基本定理

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(上海理工大學 理學院,上海 200093)

1 問題的提出

Nevanlinna[1]在1925年建立了復平面上關于亞純函數(shù)的第二基本定理.Cartan[2]將其推廣到復射影空間n()中全純曲線上,得到了相應的第二基本定理.Huang等[3]證明了Nevanlinna第二基本定理在復平面上更一般的形式,見定理1。

定理1設函數(shù)f在復平面上非常值亞純,a1,…,aq是q個互不相同的復數(shù),則對于任給的ε>0有

(1)

式中,Nram,f(r)=Nf′(r,0)+2Nf(r,)-Nf′(r,),r→且r?E,這里E?(0,)是一個對數(shù)測度為有窮的集合.

后來,Wong[4]將這一經典理論推廣到了高維的情況(更多的拓展參見文獻[5-7]),得到如下定理.

定理2[4]設f:→n是一個線性非退化的全純映射,H1,…,Hq是q個處于一般位置的超平面,則

式中,Nram,f(r)=N(r,W(f)=0)是f的朗斯基行列式零點的計數(shù)函數(shù).S(r,f)=o(T(r,f)),r→且r?E,這里E?(0,+)是一個對數(shù)測度為有窮的集合.

2006年,Halburd等[8]考慮用差分算子Δcf=f(z+c)-f(z)?0來替代f′,得到了涉及差分算子所對應的情形.

定理3[8]設f是復平面上的有窮級亞純函數(shù),滿足Δcf=f(z+c)-f(z)?0,其中c≠0是常數(shù),則對于q個互異的點a1,…,aq∈∪{}有

其中

定理4[9]設f:→n是一個有窮級的全純映射,且f()?Hi,i=1,…,q,這里H1,…,Hq是q個處于一般位置的超平面.若WΔc(f)?0,其中c≠0是常數(shù),則

式中,NΔc(r)=N(r,WΔc(f)=0).

受此啟發(fā),考慮如下的q,c階差分算子Δq,cf=f(qz+c)-f(z),其中q∈{0},c∈,并將定理4作如下推廣,得到定理5.

定理5設f:→n是一個零級全純映射,并且f()?Hi,i=1,…,q,H1,…,Hq是q個處于一般位置的超平面.若WΔq,c(f)?0,q∈{0},c∈,則對任給的ε>0有

式中,NΔq,c(r)=N(r,WΔq,c(f)=0).

2 引理及證明

引理1(Nevanlinna第一基本定理)設f:→n是亞純映射,且f()?H,這里H是處于一般位置的超平面,則

mf(r,H)+Nf(r,H)=Tf(r) (r>1)

引理2[10]設f是零級的亞純函數(shù),q∈{0},c∈,則

引理3設f是零級的亞純函數(shù),q∈{0},c∈,則

且T(r,qz+c)=T(r,f(z))+S(r,f).

定義1設f:→n()是全純映射,是f的既約表示,其中f0,f1,…,fn是無公共零點的全純函數(shù).記H={[w0,…,wn]∈n(其中是n+1上的非零表示.當?0時,記

類似于文獻[10]中的定義,則有

定義3設f:→n()是全純映射,是f的既約表示,是n+1上的非零表示,與分擔是指=0當且僅當若與有相同的零點和重數(shù),則稱與分擔

引理4[11](轉換律) 設f:→n是一個全純映射,是f的一個既約表示,φ是n上的一個自同構,則

WΔq,c(φ°f)=cφWΔq,c(f)

其中,

q∈{0},c∈

證明記

WΔq,c(φ°f)=

WΔq,c(f)detφ*=WΔq,c(f)cφ

于是引理4得證.

引理5設H1,…,Hq是n()上q個處于一般位置的超平面,記T為所有單射μ:{0,1,…,n}→{1,…,q}的集合,則有

類似于文獻[10]中定理A3.1.3,則有

引理6設f=[f0,…,fn]:→n()是零級的全純曲線,H1,…,Hq是n()上任意q個超平面,且使得f()?Hi,i=1,…,q.設K?{1,…,q},使得是Hj(1≤j≤q)的系數(shù))線性無關.則

r→且r?E,這里E?(0,)是一個對數(shù)測度為有窮的集合.

證明設H1,…,Hq是n+1上的超平面,不失一般性,q≥n+1,#K=n+1.記T是所有使得線性無關的單射μ:{0,1,…,n}→{1,…,q}的集合.則

其中

結合引理2和引理3可知

故

S(r,f).

且

所以

I1≤S(r,f)

又

由引理4可得

C|WΔq,c(f0,…,fn)|

這里C≠0是常數(shù)，則

結合I1,I2,從而引理6可證.

3 定理5的證明

結合引理5和引理6可得

兩式相加可得

于是定理得證.

推論設f:→n是一個零級全純映射,并且f()?Hi,i=1,…,q,H1,…,Hq是q個處于一般位置的超平面,f與Δq,cfCM分擔Hj.若q≥N+2,則WΔq,c(f)≡0.

證明倘若不然,可假設WΔq,c(f)≡0.由定理5可得

結合第一基本定理得

設z0∈,(z0)=0重數(shù)為m(m>1),又f與Δq,cfCM分擔Hj(j=1,…,q),z0作為Hj>的零點,重數(shù)也為m(m>1),l=1,…,n,所以z0作為WΔq,c(f)的零點,重數(shù)至少為m.故

所以(q-n-1)Tf(r)≤0.又q>N+2,故得出矛盾.

因此

WΔq,c(f)≡0.

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