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    數(shù)學(xué)分析第一堂課的教學(xué)探討

    2018-01-15 11:23:13黃英芬顏寶平安黔江
    關(guān)鍵詞:數(shù)學(xué)分析教學(xué)探討

    黃英芬+顏寶平+安黔江

    【摘要】數(shù)學(xué)分析第一堂課的質(zhì)量對整個數(shù)學(xué)分析課程的教學(xué)有著重要的影響.本文通過分析數(shù)學(xué)分析與后繼課程及中學(xué)數(shù)學(xué)的聯(lián)系,結(jié)合數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)人才培養(yǎng)目標(biāo),剖析了本門課程的重要地位;其次講述數(shù)學(xué)分析的主要內(nèi)容,聯(lián)系中學(xué)數(shù)學(xué)知識,引用“芝諾悖論”,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣;最后結(jié)合數(shù)學(xué)分析課程的特點給出學(xué)習(xí)建議,讓學(xué)生有章可循,增強信心.

    【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)分析;第一堂課;教學(xué)探討

    一、引 言

    數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)的大學(xué)新生,剛剛來到一個新的環(huán)境,遇到新的教師、新的同學(xué),對一切都還是懵懂的,而數(shù)學(xué)分析作為該專業(yè)的重要基礎(chǔ)課,由于其內(nèi)容抽象、邏輯性強,語言精確,又是許多后續(xù)課程的先修課程,因此,學(xué)好數(shù)學(xué)分析對于數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生來說,是極為重要的.萬事開頭難,良好的開始等于成功的一半,上好第一堂課就顯得非常重要.

    我們結(jié)合多年從事數(shù)學(xué)分析教學(xué)的教師的經(jīng)驗,建議將數(shù)學(xué)分析課程內(nèi)容與方法、重要性、興趣的激發(fā)、資料的選擇與獲取等方面內(nèi)容作為數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生大學(xué)第一堂課的教學(xué)要點,這樣能夠達到事半功倍的效果.

    二、數(shù)學(xué)分析的重要地位

    如果我們把數(shù)學(xué)比喻成一棵大樹,那中學(xué)數(shù)學(xué)就是它的根,微積分就是這棵大樹的主干,諸如常微分方程、復(fù)變函數(shù)、實變函數(shù)、泛函分析、微分幾何、拓撲學(xué)就是它的枝葉.數(shù)學(xué)分析在此起到一個承上啟下的作用,上可為后繼課程做準備,下可為中學(xué)數(shù)學(xué)做指導(dǎo).學(xué)好這門課是大學(xué)新生順利從初等數(shù)學(xué)過渡到高等數(shù)學(xué)的關(guān)鍵.

    數(shù)學(xué)分析是幾乎所有后繼課程,如常微分方程、概率論與數(shù)理統(tǒng)計、復(fù)變函數(shù)、實變函數(shù)、泛函分析等課程的先修課程和重要基礎(chǔ).比如,數(shù)學(xué)分析和復(fù)變函數(shù)研究的都是定義在數(shù)域上的函數(shù),數(shù)學(xué)分析研究實數(shù)集上的函數(shù),復(fù)變函數(shù)研究復(fù)數(shù)域上的函數(shù),數(shù)學(xué)分析中的部分定理及性質(zhì)在復(fù)變函數(shù)中仍然成立,有些卻不能成立.復(fù)變函數(shù)是數(shù)學(xué)分析的理論推廣.數(shù)學(xué)分析不僅在內(nèi)容上為后繼課程提供必備的基礎(chǔ)知識,而且它的定義、定理中包含的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法,對后繼課程的學(xué)習(xí)具有至關(guān)重要的作用.數(shù)學(xué)分析是以極限理論為基礎(chǔ),用導(dǎo)數(shù)、積分等方法研究函數(shù)的分析性質(zhì),是整個變量數(shù)學(xué)的奠基石.數(shù)學(xué)分析中精確的符號語言,嚴格的邏輯推理,可以培養(yǎng)學(xué)生良好的思維習(xí)慣,這為后繼課程的學(xué)習(xí)打開局面.

    要提高數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生的綜合素質(zhì),必須首先培養(yǎng)好學(xué)生的專業(yè)素質(zhì)——數(shù)學(xué)素質(zhì).數(shù)學(xué)分析作為應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)最重要的課程之一,對培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)具有重要的作用.數(shù)學(xué)分析中精確的數(shù)學(xué)語言可以培養(yǎng)學(xué)生準確地表達自己的數(shù)學(xué)思想;數(shù)學(xué)分析中大量的定義、定理的證明可以培養(yǎng)學(xué)生的高度抽象、嚴密地邏輯思維能力;數(shù)學(xué)分析中的重要概念,如導(dǎo)數(shù)、積分都是源于實際問題并能夠應(yīng)用到實際中去,這可以培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模及應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力.

    在教學(xué)內(nèi)容上,數(shù)學(xué)分析與中學(xué)數(shù)學(xué)聯(lián)系緊密,對于培養(yǎng)一名優(yōu)秀的中學(xué)數(shù)學(xué)教師具有重要作用.由于知識結(jié)構(gòu)的限制,中學(xué)數(shù)學(xué)中不能深入研究的問題,只有學(xué)了數(shù)學(xué)分析才能解決.中學(xué)數(shù)學(xué)研究函數(shù)的方法只能停留在“原始”的水平上,比如,中學(xué)數(shù)學(xué)畫函數(shù)的圖像往往采用描點法,然后用光滑曲線把這些點連接起來,而學(xué)生們并不理解為什么非要用“光滑曲線”呢.只有學(xué)了數(shù)學(xué)分析才能明白,我們以前研究的函數(shù)都是初等函數(shù),而初等函數(shù)具有可導(dǎo)性,這在圖像上表現(xiàn)為光滑曲線.再如,積分學(xué)也能為中學(xué)數(shù)學(xué)的很多問題提供理論依據(jù)和計算方法,如,幾何中的祖暅定理,不規(guī)則圖形的面積,幾何體的體積等.數(shù)學(xué)分析的基本理論對中學(xué)數(shù)學(xué)具有重要的指導(dǎo)作用,學(xué)生只有學(xué)好數(shù)學(xué)分析,才能深入解讀中學(xué)數(shù)學(xué)教材.

    德國數(shù)學(xué)家克萊因說:“教師應(yīng)具備較高的數(shù)學(xué)觀點,理由是,觀點越高,事物越顯得簡單.”近年來,與數(shù)學(xué)分析知識相聯(lián)系的試題在中高考試題中所占比例逐年上升.這要求中學(xué)教師應(yīng)掌握數(shù)學(xué)分析與中學(xué)數(shù)學(xué)的內(nèi)在聯(lián)系,會運用數(shù)學(xué)分析的方法解決初等數(shù)學(xué)的問題.中學(xué)教師只有在深刻理解數(shù)學(xué)分析理論、思想方法的基礎(chǔ)上,站在更高的角度,俯視中學(xué)數(shù)學(xué),才能探索出巧妙的解題思路,以簡馭繁,達到更好的教學(xué)效果.

    三、數(shù)學(xué)分析的主要內(nèi)容

    為了使學(xué)生做到心中有數(shù),我們應(yīng)該介紹數(shù)學(xué)分析的基本框架.數(shù)學(xué)分析又名微積分或無窮小分析,它的主要內(nèi)容有極限理論、一元函數(shù)微積分、級數(shù)、多元函數(shù)微積分.如果把微積分比喻成一座高樓大廈,那學(xué)習(xí)極限理論就是為這座大廈打地基.極限將是學(xué)生遇到的第一個最重要的概念,并且它也是最主要的推理方法和工具.用極限的方法研究函數(shù)的性質(zhì)是數(shù)學(xué)分析的主要內(nèi)容.

    為了便于學(xué)生接受,我們可以從他們最熟悉的中學(xué)知識入手,讓學(xué)生知道學(xué)無止境,他們所掌握的中學(xué)數(shù)學(xué)還遠遠不夠.比如,圓面積公式S=πr2,這個公式怎么來的?球的體積公式V=43πr3,這個公式又是怎么得到的?通過學(xué)習(xí)了數(shù)學(xué)分析中的積分理論,我們就能知道這些公式的來龍去脈.再比如,對于等比數(shù)列12,14,18,…,12n,…,中學(xué)階段已經(jīng)推導(dǎo)出它的前n項和公式.此時,教師可啟發(fā)學(xué)生,隨著n的無限增加,數(shù)列的和是否趨于一個固定的值.亦可進一步啟發(fā)什么樣的數(shù)列有上述特點,什么樣的數(shù)列沒有.要解決這個問題,我們需要學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析中的級數(shù)理論.通過舉一些學(xué)生熟知的例子,讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)分析是以中學(xué)數(shù)學(xué)為基礎(chǔ)逐步發(fā)展起來的.

    四、興趣的激發(fā)

    愛因斯坦說:“興趣是最好的老師.”古語有云:“知之者不如好之者,好之者不如樂知者.”由此可見,興趣對于學(xué)習(xí)者有驅(qū)動作用.有效激發(fā)學(xué)生的興趣,可以提高教學(xué)效果.然而,如何激發(fā)學(xué)生的興趣,需要我們不斷去探索.

    通過研究中學(xué)數(shù)學(xué)的一些公式,我們發(fā)現(xiàn)這樣神奇的關(guān)系(如下表所示).這種關(guān)系不是偶然,而是有可靠的理論基礎(chǔ),待我們學(xué)習(xí)了數(shù)學(xué)分析,用定積分的思想方法,這些證明便迎刃而解.這個例子深入淺出,容易接受,可以激起學(xué)生濃厚的探索興趣.endprint

    為了進一步激發(fā)學(xué)生的興趣,我們還可以引用芝諾悖論——阿基里斯和烏龜賽跑悖論.他提出讓烏龜在阿基里斯前面1 000米處開始,并且假定阿基里斯的速度是烏龜?shù)?0倍.當(dāng)比賽開始后,若阿基里斯跑了1 000米,設(shè)所用的時間為t,此時烏龜便領(lǐng)先他100米;當(dāng)阿基里斯跑完下一個100米時,他所用的時間為t10,烏龜仍然前于他10米.當(dāng)阿基里斯跑完下一個10米時,他所用的時間為t100,烏龜仍然前于他1米……芝諾解說,阿基里斯能夠繼續(xù)逼近烏龜,但絕不可能追上它.給學(xué)生留出時間,讓他們自由地討論如何推翻它.教師可以給學(xué)生留懸念,待到正式講到數(shù)列極限的概念時,再給出正式、嚴密的解答.

    微積分的產(chǎn)生是自然科學(xué)最偉大的發(fā)明之一,教師應(yīng)該在第一堂課上介紹微積分發(fā)展簡史.教師可在介紹時穿插一些數(shù)學(xué)家的小故事,以增加課堂的人文性和趣味性.

    五、數(shù)學(xué)分析的特點及學(xué)習(xí)方法

    數(shù)學(xué)分析經(jīng)過三個多世紀的發(fā)展和完善,已經(jīng)形成一整套抽象的、嚴密的、邏輯性極強的理論體系,其內(nèi)容多,跨度大,概念抽象,系統(tǒng)性、邏輯性強.數(shù)學(xué)分析與中學(xué)數(shù)學(xué)的特點有巨大差異,同時任課教師的上課方式也隨之改變,這讓剛?cè)胄iT的新生感覺非常不適應(yīng).那么數(shù)學(xué)分析究竟有哪些特點?它與中學(xué)數(shù)學(xué)的差別體現(xiàn)在什么地方?

    定義、定理繁多.中學(xué)數(shù)學(xué)理論較少,注重計算與解題技巧.而數(shù)學(xué)分析理論繁多,有時一次課(100分鐘)接觸的定義、定理多達十幾個.講解過程中有大量的推理論證,尤其在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析的初期階段,多用定義去證明.講授內(nèi)容邏輯性強,高度抽象.

    精確的符號語言.中學(xué)數(shù)學(xué)的知識比較容易用自然語言描述,用圖形語言去解釋.為了精確表達概念和定理,數(shù)學(xué)分析有一套自己的邏輯符號,它非常精確、邏輯性極強、高度抽象.只有掌握好數(shù)學(xué)符號語言,才能為后面邏輯推理打下堅實的基礎(chǔ).

    教學(xué)方式的改變.中學(xué)數(shù)學(xué)講得細,舉例較多,特別注重解題技巧.數(shù)學(xué)分析課堂容量大,進度快,理論多,舉例少,并且很少復(fù)習(xí).學(xué)好數(shù)學(xué)分析的關(guān)鍵不在于做了多少題,而在于理解好定義、定理以及里面所蘊含的思想方法.

    針對數(shù)學(xué)分析的特點,提出以下學(xué)習(xí)建議:

    提前預(yù)習(xí).在不懂的地方做下記號,帶著疑問去聽課,效果更好.

    科學(xué)聽課.聽課時,遇到不懂的地方,不要一直糾纏,而應(yīng)該做下記號,繼續(xù)跟著教師的思路走,課下再找教師或同學(xué)討論,或者查閱資料.

    當(dāng)天復(fù)習(xí).利用當(dāng)天晚自習(xí)時間,應(yīng)該首先把教師白天所講內(nèi)容復(fù)習(xí)一遍,而不是急于完成作業(yè).復(fù)習(xí)時,應(yīng)該做到會復(fù)述講過的概念,定理會獨立推導(dǎo),而不是只看不動手,這樣會造成眼高手低.學(xué)生們可以利用晚自習(xí)的時間,加強討論,輪流上臺講解習(xí)題,達到鞏固所學(xué)知識的目的.

    給自己充裕的學(xué)習(xí)時間.面對各種各樣的活動,學(xué)生應(yīng)該根據(jù)自己的特長或喜好,有選擇地去參加,切忌遇到活動就參加,本末倒置.

    適當(dāng)鉆鉆牛角尖.對于書上難懂的概念、定理,要勤于鉆研.遇到似曾相識又不完全相同的題目,要放在一起多辨析.

    六、資料的選擇與獲取

    僅僅為了期末考試而去學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析毫無意義.要想深刻理解數(shù)學(xué)分析中的概念、定理,進而掌握數(shù)學(xué)分析中的思想方法,必須參考相關(guān)書籍和文獻.除了主要教學(xué)參考書,還應(yīng)當(dāng)推薦一些必要的參考書,例如,謝惠民編寫的《數(shù)學(xué)分析習(xí)題講義》、裴禮文編寫的《數(shù)學(xué)分析中的典型問題與方法》、柯朗著的《什么是數(shù)學(xué):對思想和方法的基本研究》等.

    通過正確途徑去檢索文獻,而不能凡事問“百度”.教會學(xué)生從中國知網(wǎng)(http://www.cnki.net/)、萬方數(shù)據(jù)知識服務(wù)平臺(http://www.wanfangdata.com.cn/)等官方網(wǎng)站查閱文獻.

    七、結(jié)束語

    剛剛經(jīng)歷過高考的大學(xué)新生,思想上正處于放松狀態(tài),而數(shù)學(xué)分析難度較大、歷時較長,在今后的學(xué)習(xí)過程中,容易讓學(xué)生產(chǎn)生厭倦的情緒.若第一堂課上,給學(xué)生講清楚數(shù)學(xué)分析是什么,為什么要學(xué),怎樣去學(xué)的問題,使學(xué)生對數(shù)學(xué)分析有了整體而清晰的認識之后,帶著教師為學(xué)生設(shè)置的重重疑問去開始微積分之旅,將會大大提高今后的教學(xué)效果.

    【參考文獻】

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