淺析數學證明的功能及作用

張少林

【摘要】數學證明是數學學習過程中非常重要的一部分.事實上，數學證明就是對一些命題的真假性進行判斷，這些命題涉及幾何方面的和代數方面的.但不管是哪方面的命題，其證明的過程都具有相似性.數學證明有論證命題、理解命題、發(fā)現(xiàn)命題的功能和作用.

【關鍵詞】數學證明；論證命題；理解命題；發(fā)現(xiàn)命題

一、數學證明的由來

數學證明始于公元前6世紀，據一些文獻考證，希臘哲學家泰勒斯是擁有一些演繹幾何學定理發(fā)明權的第一人，一般認為，他對的一些命題作了相應的證明.

如，1.圓被任何直徑二等分；2.等腰三角形兩底角相等；3.兩直線相交，其對頂角相等；4.兩角及夾邊對應相等的兩個三角形全等；5.內接于半圓的角是直角.

從一個比較基本的事實出發(fā)，經過較簡單的演繹推理，得到所要求的結果.這種幾何學被稱為論證（或者演繹的、系統(tǒng)的）幾何學.到了公元前4世紀，歐幾里得在其《幾何原本》中，從一些基本定義與公理、公設出發(fā)，以合乎邏輯的演繹方法推導出很多定理，從而奠定了數學證明的模式.

二、數學證明的定義

數學作為人類思維的表達形式，反映了人們積極進取的意志、縝密周詳的推理以及對完美境界的追求.數學研究的對象并沒有指明哪種具體的物質運動形態(tài)，是從眾多的物質和物質運動形態(tài)中抽象出來的事物，是人腦的產物.如，數學中研究的圓，客觀世界中有太陽、月亮、車輪、籃球、足球，但并沒有數學中研究的圓.數學中研究的圓，是人腦的產物.數學不同于物理、化學、生物等學科.這些學科都有具體的物質和具體的物質運動形態(tài)作為自己的研究對象，而數學是研究現(xiàn)實世界空間形式和數量關系的科學，它的應用是非常的廣泛的，是掌握現(xiàn)代科學技術必不可少的基礎學科，所以，我們學習數學，就離不開數學證明.

什么是數學證明呢？一般人認為數學證明就是根據相應的定義、公理，法則等來證明一個命題的真假性的一個過程.比如，證明三角形內角和為是180°，就是通過相應的公理和法則來證明的.事實上，這種說法并不完整，它只是說出了數學證明的表面現(xiàn)象，而沒有真正揭示出數學證明的本質來.數學證明則是以一些基本概念和基本公理為基礎的，使用合乎邏輯的推理來決定判斷是否正確.數學中的判斷叫作命題.因此，“一個命題是真的，必須且只需它是這樣一串命題的最后一個，其中每一個命題或者是形式系統(tǒng)的一條公理，或者是由一條推導法則所導出的命題”.也就是說，數學證明是以一些真實性已確定的命題為前提，通過邏輯論證，確定某一命題的真實的思維形式.因為數學是一門演繹的科學.由于數學的本質及其組織以及構造方式的特點.決定了數學證明只是一種演繹的證明.要回答這個問題，我們只需打開歐幾里得《幾何原本》這本書就足于明白了.

三、數學證明的功能及作用

數學證明在數學學習過程中非常重要，在于數學證明的功能和作用，數學證明有下面三個主要的功能或作用.

（一）論證命題

數學證明最基本的功能和作用就是可以論證一個命題的真假或者說是正確性.數學命題有真有假，一般來說，命題的真實性不是顯然的，這時要判斷真假就需要借助于一些方法，如，觀察，實驗，數學證明等等.比如，“直線外的一點與這直線上的點的連線中，垂線段最短”，通過觀察就能看出它是一個真命題.通過實驗的方法我們可以發(fā)現(xiàn)“三角形的外角和等于360°”這也是一個真命題.當然.“三角形的外角和等于360°”這個命題也可以用其他方法.但是，我們利用的觀察、實驗等的方法其實是不嚴謹的，相應的會產生沒有說服力.而且，有許多命題通過觀察和實驗是無法論證的，比如，“2是無理數”通過觀察和實驗就無法判斷其真假.而數學證明是通過引用一些真命題和特定的題設條件，經過嚴格的邏輯推理方法進行的，具有無可辯駁的說服力，可以論證一個命題的真假.

（二）理解命題

數學證明有助于增進對所證命題的理解，它可以通過一些邏輯的、推理的程序，來使得大家進一步理解一個命題，以及加深對在證明該命題過程中所用到的相關的數學知識的理解，真正看出該命題成立的原因.

比如，怎樣去理解x2+bx=c這樣一個代數方程呢？我們可以我們可以構造一個圖形.

同時，通過數學證明還可以使人們尋找新舊知識之間的聯(lián)系，使人們獲得的知識系統(tǒng)化.

證明一個命題的真假時，需要靈活的運用相應的公理、定理以及其他的條件.因而，通過數學證明，在論證某個命題真假的同時，也增加了對證明過程中所涉及的知識的理解.在證明某個命題的時候要用到另外的命題，那么，這些命題之間的一定有內在的聯(lián)系，尋找它們之間聯(lián)系的橋梁就是數學證明.同時，通過不斷的數學證明，尋找到新舊知識之間的聯(lián)系，使人們所學的知識有機地結合起來，從而趨于系統(tǒng)化.比如，在證明梯形的中位線定理的時候，我們用到了三角形全等的判定定理（或推論），兩直線平行內錯角相等的定理以及三角形中位線定理等等.通過靈活的運用，可以加深對這些知識的理解.而且，在證明了梯形的中位線定理以后，我們可以發(fā)現(xiàn)：梯形的中位線定理和三角形的中位線定理有許多的相似之處，都存在平行和一半的關系.這樣，就可以將這兩個知識聯(lián)系起來，使自己的知識趨于系統(tǒng)化.

（三）發(fā)現(xiàn)命題

數學證明有助于人們發(fā)現(xiàn)新的結論及新的知識.通過數學的證明來發(fā)現(xiàn)命題，在數學史上，有許多發(fā)現(xiàn)就是從數學證明開始的.例如，n個平面都經過一點，但其中任何三個平面不共線，問n個平面把空間分成多少個部分？對于這樣一個命題，我們首先來看n，當n=1時，分成了2個部分，即21部分，當n=2時，分成了4個部，即22部分；當n=3時，分成了8個部分23部分；于是有人認為，n個平面可以把空間分為2n個部分.當我們證明這個結論時，發(fā)現(xiàn)它最多只能分成14個部分，而不是2的4次等于16個部分，從這個事實出發(fā)，人們進而發(fā)現(xiàn)了一個正確的命題.就是：n個平面只能把空間分成了n（n-1）+2個部分.又比如，歐拉在解決“哥尼斯堡七橋問題”的時，發(fā)現(xiàn)這個問題無法用以前的幾何學的方法解決，是一個全新的問題.因為按照人們所熟知的幾何理論，都是與長短、大小這些量有關，而七橋問題與量無關.歐拉通過研究得出了一筆畫的原理.最后，證明了這是個不可能問題，并且提出了一個新的幾何學分支——拓撲學.

又如，非歐幾何的發(fā)現(xiàn)就是源于對歐幾里得《幾何原本》中第五公式的證明.人們覺得第五公設“若兩條直線與第三條直線相交，而且在同一側所構成的兩個同旁內角之和小于兩個直角，則該兩直線沿這一側延長后必定相交.”比其他四條公設復雜多了，因而，嘗試從別的公理把它推出來.但是，所有的努力都失敗了，人們不是證明時不知不覺的用了與第五公設有關的定理，就是提出了與第五公設邏輯等價的新定理.不過，這些錯誤與失敗卻為后來的成功鋪了路.1830年左右，匈牙利數學家鮑耶與俄羅斯數學家羅巴切夫斯基在前人的基礎上他們互相獨立地建立了或分別發(fā)現(xiàn)了非歐幾何的存在.

【參考文獻】

[1]顧泠沅.數學思想方法[M].北京：中央廣播電視大學出版社，2004.

[2]顧沛.數學文化[M].北京：高等教育出版社，2013.endprint