基于兩級信用支付的兩貨棧訂購策略研究

張 沖，袁蘭蘭

（南京郵電大學(xué) 管理學(xué)院，江蘇 南京 210023）

1 引言

信用支付（延期支付）是現(xiàn)代商業(yè)活動中常見的一種短期商貸方式，在發(fā)達(dá)國家的企業(yè)融資中起著重要的作用。上游供應(yīng)商為了提高其商品的市場占有率，可以采用信用支付方式去鼓勵下游零售商更多購買其商品。在延期支付期限內(nèi)，零售商無需向供應(yīng)商支付任何費(fèi)用，還可用銷售產(chǎn)品收入去獲得其他投資收益，超過信用支付期時，零售商需要為未銷售商品支付貨款和貨款利息。Goyal[1]首先提出在信用支付條件下的EOQ模型，隨后，眾多學(xué)者從多個角度（比如需求率變化、允許缺貨、變質(zhì)品等）對Goyal的模型進(jìn)行了拓展研究，使其研究問題更接近實際情況。

現(xiàn)有文獻(xiàn)中，部分文獻(xiàn)將信用支付期限設(shè)為定值，部分文獻(xiàn)考慮信用支付期限不再固定，比如考慮信用支付期與訂貨量相關(guān)。在假定顧客需求不變情況下，Huang[2]探討了一種新的信用支付模型，假設(shè)當(dāng)訂購批量大于某一閾值時，零售商的所有貨款均可在信用支付到期時支付。當(dāng)訂購批量小于訂購閾值時，零售商需要在貨物到庫時立即支付部分貨款，剩余貨款需要在信用支付期內(nèi)支付。研究發(fā)現(xiàn)，信用支付比例較高會導(dǎo)致更高的訂購批量和較低的總成本，隨著訂購閾值增大，零售商訂購批量和總成本增加。隨后，Chen等[3]對Huang[2]模型中的假設(shè)條件進(jìn)行了部分修正，同時采用一種簡單方法對模型進(jìn)行求解，得到了一些管理啟示。假設(shè)供應(yīng)商根據(jù)零售商訂購批量允許其延期支付貨款的同時，零售商也允許下游顧客延期支付貨款的情形下，Kreng和Tan[4]研究了信用支付期依賴于訂購量的零售商最優(yōu)庫存策略，研究表明，零售商可以采用減少訂購批量，增大訂購次數(shù)的方式來享受信用支付的優(yōu)惠策略。在兩級信用支付策略的條件下，姚云飛等[5]研究基于顧客需求的大小而提供不同等級信用支付期的零售商最優(yōu)庫存策略問題。Chung[6]構(gòu)建了基于部分信用支付期的變質(zhì)品EOQ模型。在假設(shè)供應(yīng)商提供給零售商的信用支付期依賴于其訂購量的情況下，Ouyang等[7]探討了下層信用支付期小于上層信用支付期的兩層信用支付最優(yōu)訂貨策略模型。考慮上層部分信用支付與下層部分信用支付的情況下，杜文意等[8]研究了變質(zhì)品的三階段EOQ策略模型。Shah[9]探討了當(dāng)零售商的訂單超過某一閾值時，供應(yīng)商提供給零售商現(xiàn)金折扣或者一個固定的信用支付期限的優(yōu)惠策略問題，研究結(jié)果表明，零售商可以在信用支付和價格折扣之間進(jìn)行權(quán)衡，選擇利潤增加較大的優(yōu)惠方式。張沖[10]構(gòu)建基于信用支付的兩種支付時間選擇模型，研究了不同金融環(huán)境下的零售商支付時間選擇問題和最優(yōu)訂購策略。

現(xiàn)實中，零售商經(jīng)營規(guī)模有限，自有庫存容量受到限制。在這種情況下，為了享受更多的信用支付優(yōu)惠，零售商有可能租賃倉庫，將超出自有庫存容量的商品放入其中，此類信用支付問題被歸為兩貨棧庫存模型研究。Jamal等[11]首先研究了自有庫存有限的信用支付訂貨策略。隨后，在兩層信用支付策略下，Chung和Huang[12]研究了庫存容量有限的變質(zhì)品零售商最優(yōu)策略模型。研究表明，隨著變質(zhì)率增加，零售商會減低訂購批量同時導(dǎo)致總成本的增加；隨著自有庫存的容量越大，零售商會增大訂購批量同時降低其總成本。在不限制利息支出率與利息收益率大小的條件下，Teng[13]探討了庫存容量有限的兩層信用支付EOQ模型。在允許延期支付的條件下，閔杰和常浩[14]構(gòu)建了一種變質(zhì)品的兩貨棧的零售商庫存模型。Yen等[15]構(gòu)建了基于信用支付和有限庫存容量的零售商最優(yōu)訂購策略。在兩層信用支付策略的條件下，Liao[16]探討了庫存容量有限的變質(zhì)品最優(yōu)訂貨策略。零售商可以根據(jù)不同金融條件下的利息收入率與利息支出率的不同，來決定何時支付貨款。

在現(xiàn)有的文獻(xiàn)中，信用支付模型考慮了信用支付期限與訂貨量相關(guān)的情形，卻忽略了一個重要的實際問題，都假設(shè)不管訂購批量大小，零售商總能把它們存放在自有倉庫中。而事實上，零售商的決策會受到自有庫存容量的限制。即當(dāng)兩級信用支付存在時，零售商為了享受更多優(yōu)惠有可能加大訂貨量，這時不得不考慮自有庫存容量限制，以及是否通過租賃倉庫來存儲超出自有庫存容量的商品。因此，在考慮供應(yīng)商根據(jù)零售商訂單的大小提供兩級信用支付期條件下，本文研究了零售商自有庫存有限條件下的EOQ模型，以零售商的年平均相關(guān)成本最小化為目標(biāo)，證明了零售商最優(yōu)訂貨周期的存在且唯一，最后通過算例來進(jìn)一步驗證模型和求解方法的有效性，提出了一些管理啟示。

2 符號與假設(shè)

本模型需要的符號表示如下:D為顧客需求率，是確定值；p為零售商銷售單位商品的價格；c為零售商采購單位商品的價格；h為零售商自有倉庫內(nèi)單位商品單位時間的倉庫保管費(fèi)用（不包含倉庫商品占用資金的成本）；k為零售商租賃的倉庫內(nèi)單位商品單位時間的庫存保管費(fèi)用（不包含倉庫商品占用資金的成本）；s為零售商一次訂貨的固定訂貨費(fèi)用；A為租賃倉庫的固定費(fèi)用；Ic為單位庫存商品單位時間的利息支出率；Ie為單位庫存商品單位時間的利息收益率；W為零售商自有倉庫的庫存容量；W1為供應(yīng)商提供給零售商延期支付期限M1時的允許最小訂購數(shù)量（訂貨閥值）；W2為供應(yīng)商提供給零售商信用支付期限M2時的允許最小訂購數(shù)量（訂貨閥值），且W1＜W2,M1＜M2；Q為零售商的訂貨批量；Q*為零售商的最優(yōu)訂貨批量；T為零售商的訂購周期，為決策變量；T*為零售商的最優(yōu)訂購周期；tw為零售商租賃倉庫內(nèi)商品售完所需時間，即tw=(Q-W)/D；Ta為零售商自有倉庫內(nèi)商品售完所需時間，即Ta=W/D；Tw1為訂購量W1售完所需時間，即Tw2為訂購量W2售完所需時間，即為零售商的年平均成本；TC(T*)為零售商的年平均成本最小值。其中，OW表示自有倉庫，RW表示租賃倉庫。

本模型假設(shè)如下：（1）不允許缺貨；（2）顧客需求率為定值；（3）庫存系統(tǒng)運(yùn)行時間無界；（4）供應(yīng)商允許零售商延遲支付的期限小于零售商的補(bǔ)貨周期，即M2＜T；（5）為計算方便，假設(shè)cIc＞pIe；（6）當(dāng)Q＜W1時，表示零售商需要在訂購時支付貨款，不享受信用支付優(yōu)惠，當(dāng)W1≤Q＜W2時，表示零售商可以在信用支付期M1時支付貨款，當(dāng)Q≥W2時，表示零售商可以在信用支付期M2時支付貨款；（7）零售商根據(jù)顧客需求，優(yōu)先出售租賃倉庫中的商品，然后出售自有倉庫中的商品。

3 數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建

零售商的年總費(fèi)用由年采購費(fèi)、年訂貨費(fèi)、自有庫存持有費(fèi)、租賃庫存固定費(fèi)、租賃庫存持有費(fèi)、年利息收支等組成。而各項費(fèi)用因Ta、Tw1和Tw2三者之間的大小關(guān)系不同而變化。因此，依據(jù)三者之間的大小關(guān)系，將分為三種情形進(jìn)行討論。

3.1 情形1 Ta＞Tw2＞Tw1

（1）年訂貨費(fèi)用=s/T

（2）年采購費(fèi)用=cD

（3）RW的年租金和庫存費(fèi)用

情形①T≤Ta，不需要租賃倉庫，因此不產(chǎn)生租金和庫存費(fèi)用。

情形②T＞Ta，RW的年租金=A/T，

（4）OW的年庫存費(fèi)用

情形①：T≤Ta，OW的年庫存費(fèi)用=hDT/2；

情形②：T＞Ta，OW的年庫存費(fèi)用=hW(T+tw)/(2T)。

（5）年利息支出

情形①：0＜T＜Tw1，年利息支出=cIc DT/2；

情形②：Tw1

≤T＜Tw2，

情形③：T≥Tw2，

（6）年利息收入

情形①：0＜T＜Tw1，小于訂貨閥值W1,不享受信用支付優(yōu)惠，無利息收入；

情形②：Tw1≤T＜Tw2，

情形③：T≥Tw2，

由上可知，零售商的年平均費(fèi)用=一次訂貨的固定訂貨費(fèi)用+年訂貨費(fèi)+自有庫存存儲費(fèi)用+租賃庫存固定費(fèi)+租賃庫存存儲費(fèi)用+年利息支出-年利息收入，即：

3.2 情形2 Tw2＞Ta＞Tw1

在這種情形下，零售商的年平均費(fèi)用為：

3.3 情形3 Tw2＞Tw1＞Ta

在這種情形下，零售商的年平均費(fèi)用為：

4 模型求解

4.1 情形1 Ta＞Tw2＞Tw1

為研究方便，不妨將TC1(T)的定義域延拓為(0,+∞)，對TC1(T)求導(dǎo)可得:

為研究方便，不妨將TC2(T)的定義域延拓為(0,+∞)，對TC2(T)求導(dǎo)可得:

為研究方便，不妨將TC3(T)的定義域延拓為(0,+∞)，對TC3(T)求導(dǎo)可得:

為研究方便，不妨將TC4(T)的定義域延拓為(0,+∞)，對TC4(T)求導(dǎo)可得:

因此，對于Ta＞Tw2＞Tw1的情形，零售商年平均費(fèi)用函數(shù)TC(T)的最優(yōu)解為T*=argmin{T1*,T2*,T3*,T4*}，即TC(T)在(0 ,+∞)上的最優(yōu)值為TCi(T)(i =1,2,3,4)在各自區(qū)間上最優(yōu)值的最小值。

4.2 情形2 Tw2＞Ta＞Tw1

由情形1求解過程可知，TC1(T)在[Tw2,+∞ )上的最優(yōu)解為T1*=max{T1, Tw2}。

為研究方便，不妨將TC5(T)的定義域延拓為(0,+∞)，對TC5(T)求導(dǎo)可得:

由情形1求解過程可知，TC3(T)在[Tw1,Ta]上的最優(yōu)解可通過如下方式確定：若T3≤Tw1，則；若Tw1＜T3＜Ta，則 T3*=T3；若 T3≥Ta，則

由情形1求解過程可知，TC4(T)在(0 ,Tw1)上的最優(yōu)解T4*=min{T4, Tw1}。

因此，對于Tw2＞Ta＞Tw1的情形，零售商年平均費(fèi)用函數(shù)TC(T)的最優(yōu)解為T*=argmin{T1*,T5*,T3*,T4*}，即TC(T)在(0 ,+∞)上的最優(yōu)值為TCi(T)(i=1,5,3,4)在各自區(qū)間上最優(yōu)值的最小值。

4.3 情形3 Tw2＞Tw1＞Ta

由情形1求解過程可知，TC1(T)在[Tw2,+∞ )上的最優(yōu)解為T1*=max{T1, Tw2}。

由情形2求解過程可知，TC5(T)在[Tw1,Tw2)上的最優(yōu)解T5*可通過如下方式確定：若T5≤Tw1，則；若Tw1＜T5＜Tw2，則T5*=T5；若 T5≥Tw2，則

為研究方便，不妨將TC6(T)的定義域延拓為(0,+∞)，對TC6(T)求導(dǎo)可得:

由情形1求解過程可知，TC4(T)在區(qū)間(0 ,Ta)上的最優(yōu)解T4*=min{T4, Ta}。

因此，對于Tw2＞Tw1＞Ta的情形，零售商年平均費(fèi)用函數(shù)TC(T)的最優(yōu)解為T*=argmin{T1*,T5*,T6*,T4*}，即TC(T)在區(qū)間(0 ,+∞ )上的最優(yōu)值為TCi(T)(i=1,5,6,4)在各自區(qū)間上最優(yōu)值的最小值。

5 算例仿真

以下舉例說明本文所建模型和相關(guān)理論，探討一些相關(guān)參數(shù)的變化對于零售商是否租用庫存以及年平均費(fèi)用最小值的影響。

例1 假定需求系數(shù)D=3 300(單位/年)，一次訂貨的固定費(fèi)用s=150（元），自有倉庫商品保管費(fèi)用h=0.6（元/單位/年），租賃倉庫商品保管費(fèi)用 k=0.8（元/單位/年），租賃倉庫的固定費(fèi)用 A=120（元），零售商購買單位商品的價格c=5（元/單位），零售商銷售單位商品的價格 p=10（元/單位），利息收益率Ie=0.02（元/單位/年），利息支付率 Ic=0.08（元/單位/年），自有倉庫容量W=1 500（單位），W1=800（單位），M1=0.15年，W2=1 300（單位），M2=0.2年。通過計算得到滿足情形1的條件，即滿足Ta＞Tw2＞Tw1，T1*=0.455，T2*=0.394，T3*=0.309，T4*=0.242。通過比較可知，T*=T2*=0.394（年），Q*=1 300（單位），并且有TC(T*)=TC(T2*)=17 300.277（元）。

根據(jù)算例1的參數(shù)設(shè)定，進(jìn)一步分別探討了重要參數(shù)W、Ic、k，s、c的變化對零售商最優(yōu)訂貨策略（最優(yōu)訂購周期、最優(yōu)訂購批量、最低平均費(fèi)用以及是否租用庫存）的影響。表1-表5為參數(shù)變化對零售商訂購策略的影響。

表1 W的變化對零售商訂購策略的影響

當(dāng)自有倉庫容量W較小時，零售商的最優(yōu)訂購周期T*保持不變，而其訂購批量較大，零售商租用庫存的決策為“是”。說明零售商為了獲得信用支付所帶來的收益，會增加其訂購批量，進(jìn)而將租用庫存。隨著自有倉庫容量W的增加，零售商的最優(yōu)訂貨周期T*變大，年平均費(fèi)用TC(T*)隨之減少，零售商租用庫存的決策為“否”。說明在顧客需求D不變的情況下，當(dāng)自有倉庫容量增加時，零售商更加傾向于將商品存放在自有庫存中，選擇租賃庫存的概率必然降低，年費(fèi)用支出也相應(yīng)減少。此算例表明，零售商應(yīng)在能力范圍內(nèi)積極拓展自有庫存容量，以求增加訂購周期，降低訂購批量，最終降低年平均費(fèi)用。

表2 Ic的變化對零售商訂購策略的影響

當(dāng)單位庫存單位時間的支付利息Ic增加時，最優(yōu)年平均費(fèi)用TC(T*)增加，在利息收益率與支出率相差不大時，零售商的最優(yōu)訂購周期T*保持不變，此種情形下，零售商不需要租用庫存。當(dāng)利息支出率較高時，零售商將增大訂購周期，同時提高訂購批量，進(jìn)而零售商需租用倉庫以存儲更多的商品。隨著利息支出率的提高，零售商最優(yōu)訂貨周期T*減小，零售商租用倉庫的決策為“是”。說明利息支出率越高，零售商的年平均成本增加，此時零售商應(yīng)該盡量減少其訂購批量，以達(dá)到更頻繁的減少信用支付利息的目的，減少年平均成本的增長率。

表3 k的變化對訂購策略的影響

當(dāng)租賃庫存單位商品單位時間的庫存保管費(fèi)用k增加時，零售商的最優(yōu)訂貨周期T*減少，而年費(fèi)用TC(T*)增加，零售商租用庫存的決策從“是”變?yōu)椤胺瘛薄＿@也就意味著，在信用支付條件下，租賃倉庫的庫存保管費(fèi)用越高成本越高。所以此時應(yīng)選擇更少的訂貨量，從而避免訂單量過大不得不租賃庫存的現(xiàn)象發(fā)生。

表4 s的變化對零售商訂購策略的影響

隨著零售商一次訂貨的固定費(fèi)用s增加，其年費(fèi)用TC(T*)也隨之增大。當(dāng)一次訂貨的固定費(fèi)用較低時，零售商的最優(yōu)訂購周期T*不變，零售商租用倉庫的決策為“否”；之后，隨著固定訂貨費(fèi)用的增加，零售商最優(yōu)訂貨周期T*增大，零售商租用庫存的決策為“是”。此種情況說明，隨著零售商固定訂貨費(fèi)用的增大，為了分?jǐn)偣潭ǔ杀具^高的壓力，零售商在權(quán)衡利弊下更加傾向于擴(kuò)大訂單量，并將多余的商品存放在租賃倉庫中。

表5 c的變化對零售商訂購策略的影響

隨著單位商品購買費(fèi)用c的增大，零售商年平均費(fèi)用TC(T*)增大。當(dāng)單位商品的購買費(fèi)用較低時，零售商的最優(yōu)訂購周期T*=0.181 8保持不變，零售商租用庫存的決策為“否”；之后，隨著購買費(fèi)用的增加，零售商最優(yōu)訂貨周期T*=0.393 9保持不變，零售商租用庫存的決策為“是”，這也就意味著，單位商品的購買費(fèi)用越高，零售商所應(yīng)支付的商品成本增加，相應(yīng)的年費(fèi)用隨之增加，為了取得同樣多的收益，不得不擴(kuò)大訂單量，并將多余的商品存放在租賃倉庫中。

6 結(jié)語

在假定供應(yīng)商根據(jù)零售商的訂購批量大小提供兩級信用支付期的情況下，討論了零售商是否租用倉庫的兩貨棧庫存模型，分別對模型中三種可能情形進(jìn)行討論，提出了求解算法，并給出了證明，最后通過算例驗證了模型和理論結(jié)果的有效性。研究表明，零售商的年平均費(fèi)用的最小值隨著自有倉庫容量W增大而減小，零售商應(yīng)該積極拓展自有庫存容量；隨著租賃倉庫內(nèi)單位商品單位時間的庫存保管費(fèi)用k的增大，零售商最優(yōu)訂貨周期減小，年平均費(fèi)用增高。作為應(yīng)對措施，零售商應(yīng)該選擇增大訂貨頻率，降低每次的訂貨批量，由此降低年平均費(fèi)用；隨著單位時間單位庫存的支付利息Ic、零售商一次訂貨的固定費(fèi)用s和單位商品的購買價格c的增大，零售商租用倉庫的決策從“否”變?yōu)椤笆恰?，也就意味著，不同的參?shù)組合，零售商需在降低年平均費(fèi)用的前提下，選擇是否租用倉庫。

雖然本文對現(xiàn)有的相關(guān)庫存模型進(jìn)行了推廣，但在一些假設(shè)方面有所欠缺，比如本文考慮確定的顧客需求率，而現(xiàn)實中顧客需求依賴于庫存水平、營銷努力水平。模型中還可以進(jìn)一步考慮到允許缺貨以及產(chǎn)品的變質(zhì)等情況，為現(xiàn)實生活中的訂貨策略提供更好的指導(dǎo)意義。

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