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    基于提高初中數(shù)學解題能力的教學反思

    2018-01-11 00:02張世欽
    數(shù)學學習與研究 2017年24期
    關(guān)鍵詞:解題能力教學反思初中數(shù)學

    張世欽

    【摘要】反思,可以提高自身學習效能、培養(yǎng)自身的學科素養(yǎng);反思也是學習提高的重要環(huán)節(jié),提高數(shù)學解題能力是學生不懈追求的目標,也是培養(yǎng)數(shù)學學科素養(yǎng)的必要手段;通過反思,可以不斷積累經(jīng)驗,培養(yǎng)思維的深刻性與批判性,從而激發(fā)學生探索數(shù)學的興趣;進一步推動學生的探究意識,發(fā)展學生思維創(chuàng)造力.本文通過對反思解題規(guī)律、解題思維、數(shù)形結(jié)合思想等等的探究,闡述了如何養(yǎng)成反思習慣,從而提升學生的數(shù)學解題能力,提高學習的有效性.

    【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學;解題能力;教學反思

    “學而不思則罔,思而不學則殆.”在數(shù)學學習中,許多學生只注意解題的數(shù)量,而不重視解題的質(zhì)量;只重視解題的結(jié)果,而不重視解題的過程.要讓學生形成良好的學習方法,就必須把學生從題海中領(lǐng)出來,引導學生從題目特征、解決問題的規(guī)律、思維策略等方面進行多角度、多側(cè)面的反思,只有這樣才能拓寬思路,優(yōu)化解法,提高學習效率,增強創(chuàng)造性解決問題的能力.筆者結(jié)合平時的教學實踐對培養(yǎng)學生的反思習慣做一些探索.

    一、反思解題規(guī)律,培養(yǎng)學生探究精神

    同一類型的問題,解題方法往往有其規(guī)律性,因此當一個問題解決后,要不失時機地引導學生反思解題方法,認真總結(jié)解題規(guī)律,力圖從解決問題中找出新的普遍適用的東西,提高解決問題的能力.

    如,在有些分式加減法運算中,用常規(guī)方法通分去解相當煩瑣,如果根據(jù)題型特征用拆項法解,能夠化繁為簡,化難為易,提高學生分析問題、解決問題的能力.如果分式分母中的兩個因式相差1,逆用分式減法法則拆項.即表示為1x(x+1)=1x-1x+1.

    例計算:1x(x+1)+1(x+1)(x+2)+…+1(x+99)(x+100).

    解原式=1x-1x+1+1x+1-1x+2+…+1x+99-1x+100

    =1x-1x+100=100x2+100x.

    通過例1的解法學生豁然開朗,較大地激發(fā)了學生的好奇心和解題積極性.這時教師及時給出練習1、練習2.

    練習1解方程:1x+4+1(x+1)(x+2)+1(x+2)(x+3)+1(x+3)(x+4)=2.

    解原方程可化為

    1x+4+1x+1-1x+2+1x+2-1x+3+1x+3-1x+4=2,

    1x+1=2,

    去分母得2(x+1)=1,解得x=-12.

    經(jīng)檢驗x=-12是原方程的根.

    練習2化簡:a-bab+b-cbc+c-aca.

    解原式=1b-1a+1c-1b+1a-1c=0.

    數(shù)學問題,浩如煙海,根據(jù)題目特征,尋找解題規(guī)律,另辟蹊徑,??色@得別開生面的妙解.通過此類題型的解答引導學生反思解題規(guī)律,即如果分式分母中的兩個因式相差1,逆用分式減法法則拆項即可簡化運算,進而提高學生的解題應(yīng)變能力.

    又如,正方形ABCD與正方形CEFG的位置如圖所示,點G在線段CD或CD的延長線上.分別連接BD,BF,F(xiàn)D,得到△BFD.

    (1)在圖1-圖3中,若正方形CEFG的邊長分別為1,3,4,且正方形ABCD的邊長均為3,請通過計算填寫下表.

    正方形CEFG的邊長134

    △BFD的面積

    圖1

    圖2

    圖3

    (2)若正方形CEFG的邊長為a,正方形ABCD的邊長為b,猜想S△BFD的大小,并結(jié)合圖3證明你的猜想.

    解(1)92;92;92.

    (2)猜想:S△BFD=b22.

    證明:證法1:S△BFD=S△BCD+S△梯形DCEF-S△BEF

    =b22+12a(a+b)-12a(a+b)=b22.

    證法2:如圖,連接CF,由正方形的性質(zhì)可知∠DBC=∠FCE=45°,∴BD∥CF,

    ∴△BFD與△BCD的BD邊上的高相等,

    ∴S△BFD=S△BCD=b22.

    本題(1)學生比較容易得出,并且發(fā)現(xiàn)正方形CEFG的邊長發(fā)生變化,但△BFD的面積卻不變.這樣引起學生的好奇心,是不是真的有這個關(guān)系呢?此時學生的思維處在獲得成功的興奮中,于是不失時機地引導學生思考(2).

    經(jīng)過學生們的探索、反思,馬上有學生猜想得出了結(jié)論:S△BFD=b22.并通過數(shù)學推理加以證明.本題通過反思,引導學生從特殊到一般,反思解題規(guī)律,從而推廣出一類問題的解決辦法,這有利于培養(yǎng)學生的深入鉆研的良好習慣,提高解題能力.

    二、反思題目特征,培養(yǎng)發(fā)散思維

    如何反思題目特征呢?我們首先應(yīng)從多角度、多方面、多層次去思考問題、認識問題和解決問題,只有這樣才能將題目的特征反思得透徹,有利于將題目逐步引申、變式、推廣,不僅能鞏固所學的知識,而且能培養(yǎng)和發(fā)展學生思維的發(fā)散性,提高應(yīng)變能力.

    又如,在復(fù)習“全等三角形”的知識時,我布置了這樣一道作業(yè)題:

    (1)如圖4所示,已知在△ABC中,AB=AC,P是△ABC內(nèi)部任意一點,將AP繞A順時針旋轉(zhuǎn)至AQ,使得∠QAP=∠BAC,連接BQ,CP,求證BQ=CP.

    通過對圖4的分析,大部分學生都能夠通過證明△ABQ≌△ACP,從而證得BQ=CP.當直接證明原題后,可改變題目的條件,使圖形發(fā)生變化,在運動變化中觀察相關(guān)圖形的變化,發(fā)現(xiàn)隱含在其中的不變量,從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律.

    圖4

    圖5

    (2)變式:若將點P移到等腰三角形ABC之外,原題中的條件不變,“BQ=CP”仍然成立嗎?若成立,請你就圖5給出證明;若不成立,請說明理由.

    此題圖形有交叉,初一看圖感覺有點亂.但只要仔細一看就會發(fā)現(xiàn)一樣能夠通過證明△ABQ≌△ACP,從而證得BQ=CP.endprint

    比較兩題證法:

    證明(1)∵∠QAP=∠BAC,

    ∴∠QAP-∠BAP=∠BAC-∠BAP,

    即∠QAB=∠PAC.

    在△BQA和△CPA中,AQ=AP,∠QAB=∠PAC,AB=AC,

    ∴△BQA≌△CPA(SAS),∴BQ=CP.

    (2)BQ=CP仍然成立,理由如下:

    ∵∠QAP=∠BAC,

    ∴∠QAP+∠PAB=∠BAC+∠PAB,

    即∠QAB=∠PAC.

    在△QAB和△PAC中,AQ=AP,∠QAB=∠PAC,AB=AC,

    ∴△QAB≌△PAC(SAS),∴BQ=CP.

    通過證明過程我們發(fā)現(xiàn),兩題證法的步驟、依據(jù)都一樣.在這一變式題中,證明過程都不復(fù)雜,而且上述結(jié)論都成立.但通過對原題的圖形適當?shù)刈冃?,有利于激發(fā)和培養(yǎng)學生的探索精神,培養(yǎng)思維的靈活性.

    又如,在勾股定理的簡單應(yīng)用中,我給學生出了這樣幾道題:

    (1)如圖6所示,三個正方形中的兩個面積分別為25和46,則第三個正方形的面積為.

    (2)如圖7所示,分別以直角三角形的三邊為邊長向外作正方形,然后分別以三個正方形的中心為圓心,正方形邊長的一半為半徑作圓,記三個圓的面積分別為S1,S2,S3,則S1,S2,S3之間的關(guān)系是.(S1+S2=S3)

    (3)如圖8所示,△ABC是直角三角形,∠C=90°,AB=40,BC=24,試求以AC為直徑的半圓的面積.

    圖6

    圖7

    圖8

    通過對(1)、(2)、(3)題的解法引導學生反思此類題型的解題規(guī)律,圖中的S1,S2,S3都是由直角三角形三邊向外做的而且都相似,則面積一定有S1+S2=S3.

    (4)在直線l上依次擺放著七個正方形(如圖9所示).已知斜放置的三個正方形的面積分別是1,2,3,正放置的四個正方形的面積依次是S1,S2,S3,S4,則S1+S2+S3+S4=.

    圖9

    這一組變式題,解答過程都不復(fù)雜.但通過對原題的圖形適當?shù)刈冃?,適度地引申,使多題的問題變?yōu)橐恢v,這樣有利于激發(fā)和培養(yǎng)學生的探索精神.在數(shù)學復(fù)習中,也充分證實了這一點,不僅活躍了課堂氣氛,學生們的思維廣闊性也得到了發(fā)展.

    三、反思題目隱含條件,提高思維全面性

    解數(shù)學題時往往有這么一種現(xiàn)象:對有一些含有附加條件的問題簡單易解,但結(jié)果經(jīng)常出錯,原因是學生沒有充分考慮條件中隱含的深層含義,挖掘所有的內(nèi)容.

    如,先化簡1+1x-1÷xx2-1,再任意選擇一個你喜歡的x值代入并求值.

    解原式=x+1(解略).當x=0時,原式=1.

    反思錯解原因,此題關(guān)于化簡比較簡單,但在求值時題目沒有給出字母的具體取值,看起來簡單但實際要求更高.雖然化簡結(jié)果x+1中x的取值不受限制,但實際解題中還需考慮分式是否有意義這一隱含條件.故本題x的取值中1,-1,0都不能取到.

    又如,已知a-b=2,(a-1)(b+2)

    (1)求a的取值范圍;

    (2)若a2+2ab+a+b2-b=38,求a+b的值.

    解(1)∵(a-1)(b+2)

    又∵a-b=2,∴a<-2.

    (2)∵a2+2ab+a+b2-b=38,

    ∴a2+2ab+b2+a-b=38,

    ∴a2+2ab+b2=36,

    即(a+b)2=36,∴a+b=6或-6.

    反思錯解原因,本題共有兩問:(1)由題目已知條件直接求出a的取值范圍;(2)通過化簡得到(a+b)2=36,進而得到a+b=6或-6.固然沒錯,但由(1)我們易得a,b都為負數(shù),所以a+b=-6.

    通過這些題的反思訓練,使學生們領(lǐng)悟到審題一定要仔細,要注意對隱含條件的挖掘,提高思維的全面性.“吃一塹,長一智”,從錯誤中得到的教訓,更能發(fā)人深思.

    四、反思數(shù)學思想,培養(yǎng)思維的創(chuàng)造性

    數(shù)學思想方法主要有函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸、分類討論、數(shù)形結(jié)合,而初中學生運用較多的是方程、數(shù)形結(jié)合、分類討論的思想,這幾種思想方法要注意在平時教學過程中滲透給學生.

    例如,一個三角形三個內(nèi)角之比為2∶3∶4,求這三個角的度數(shù).這道題就可以運用方程的思想解題.設(shè)三個角的度數(shù)分別為2x,3x,4x,則有2x+3x+4x=180,從而得出答案.

    在解答某些數(shù)學問題時,有時會遇到多種情況,需要對各種情況加以分類,并逐類求解,然后綜合得解,這就是分類討論法.

    圖10

    例如,如圖10所示,在y軸上求一點P,使△PAO為等腰三角形,求出滿足條件的P點的坐標.

    本題所求P點滿足△PAO為等腰三角形,但沒說誰是腰誰是底,故要進行分類討論:

    ① 當OA為腰時,求出P點的坐標(3點);

    ② 當OA為底時,求出P點的坐標(1點).

    又如,求1+2+3+4+…+n的值,其中n是正整數(shù).

    對于這個求和問題,如果采用純代數(shù)的方法(首尾兩頭加),問題雖然可以解決,但在求和過程中,需對n的奇偶性進行討論.

    如果采用數(shù)形結(jié)合的方法,即用圖形的性質(zhì)來說明數(shù)量關(guān)系的事實,那就非常的直觀.現(xiàn)利用圖形的性質(zhì)來求1+2+3+4+…+n的值?槳溉縵攏喝繽?11所示,斜線左邊的三角形圖案是由上到下每層依次分別為1,2,3,…,n個小圓圈排列組成的.而組成整個三角形的小圓圈的個數(shù)恰為所求式子1+2+3+4+…+n的值.為求式子的值,現(xiàn)把左邊三角形倒放于斜線右邊,與原三角形組成一個平行四邊形.此時,組成平行四邊形的小圓圈共有n行,每行有(n+1)個小圓圈,所以組成平行四邊形小圓圈的總個數(shù)為n(n+1)個,因此,組成一個三角形小圓圈的個數(shù)為n(n+1)2,即1+2+3+4+…+n=n(n+1)2.

    圖11

    我國著名數(shù)學家華羅庚曾說過:“數(shù)缺形時少直觀,形少數(shù)時難入微;數(shù)形結(jié)合百般好,隔離分家萬事休.”數(shù)學中,數(shù)和形是兩個最主要的研究對象,它們之間有著十分密切的聯(lián)系,在一定條件下,數(shù)和形之間可以相互轉(zhuǎn)化、相互滲透.

    總之,靈活地運用數(shù)學思想方法解題,會使解題顯得更為游刃有余,要注意在解題教學的過程中注意滲透給學生,讓學生在潛移默化中學會運用數(shù)學思想方法解題.

    五、反思思維過程,培養(yǎng)思維的靈活性

    解題的關(guān)鍵是從已知和未知中尋找解題途徑,學生在做完一道題后的反思,不僅是簡單回顧或檢驗,而應(yīng)根據(jù)題目的基本特征與特殊因素,進行多角度、多方位的觀察、聯(lián)想.反思自己的解答過程,分析比較,找出最佳解法.在解題中培養(yǎng)和發(fā)展學生思維的靈活性.

    圖12

    例如,如圖12所示,四邊形ABCD中,∠C>90°,CD⊥AD于D,CB⊥AB于B,AB=3,tanA是關(guān)于x的方程x2-23x+14(m2-2m+13)=0的一個實數(shù)根,求tanA.

    對于此題,很多學生在解題時,沒有清晰的思路,一開始就從tanA是關(guān)于x的方程x2-23x+14(m2-2m+13)=0的一個實數(shù)根去考慮,直接將tanA代入計算但很快發(fā)現(xiàn)行不通,因為一個方程出現(xiàn)兩個未知數(shù)根本沒法解.于是在點評時,我鼓勵大家反思題目已知條件,既然從tanA入手有困難,何不以方程有實數(shù)根入手試試看?學生受到啟發(fā):關(guān)于x的一元二次方程有根,得出Δ≥0,從而得到Δ=-m2+2m-1=-(m-1)2≥0,(m-1)2≤0,得m=1,從而得到解答.

    又如,在利用函數(shù)圖像求不等式解集的教學中我補充了這樣3道題:

    圖13

    (1)根據(jù)圖13所示的圖像,指出:

    ① x取什么值時,函數(shù)值y等于零?

    ② x取什么值時,函數(shù)值y始終大于零?

    本題對學生來講并不難,因為題目就一條直線,函數(shù)值y的大小很容易判斷.但在教學過程中我發(fā)現(xiàn)不少學生都不習慣看圖而是通過計算求出取值范圍.

    于是我給出了第(2)題:

    圖14

    (2)對照圖14所示的圖像,請回答下列問題:

    ① 當x取何值時,2x-5=-x+1?

    ② 當x取何值時,2x-5>-x+1?

    ③ 當x取何值時,2x-5<-x+1?

    這時發(fā)現(xiàn)大部分學生還是通過計算得到,只有少部分學生懂得看圖.

    緊接著我給出第(3)題:

    圖15

    (3)如圖15所示,觀察圖像并回答:當x為何值時,一次函數(shù)的值大于反比例函數(shù)的值?(已知一次函數(shù)關(guān)系式為y=-x-1,反比例函數(shù)關(guān)系式為y=-2x)

    這時學生如果還想像剛才(1)(2)題一樣通過計算得到,就會發(fā)現(xiàn)計算比較煩瑣,甚至算不出來.于是我趁熱打鐵,把握時機,引導學生看圖,觀察能不能用“從優(yōu)”“從快”的方法解決此題,讓學生反思題目條件,觀察圖像直接回答,進一步讓學生通過反思探索,歸納與函數(shù)圖像有關(guān)的不等式解集的求法.總結(jié)解答此類題目的有效方法,使學生思維的靈活性在變換和化歸的訓練中得到培養(yǎng)和發(fā)展.

    總之,解題反思是一門很深的學問,還包括很多方面,但是學生在每次解題過程中如能先思考題目特征,觀察隱含條件,對解題過程中反映的數(shù)學思想、解題規(guī)律、思維過程進行總結(jié)、概括,這樣,不僅能鞏固知識,避免解題錯誤,還可以把解決問題的數(shù)學思想方法及對問題的再認識轉(zhuǎn)化為一個學習過程,提高學生分析問題、解決問題的能力,優(yōu)化他們的數(shù)學思維,提高學習的效率.endprint

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