以有形材料為根本，激活學(xué)生無形思維

張云龍

[摘 要]在小學(xué)數(shù)學(xué)中，學(xué)生學(xué)習(xí)的關(guān)鍵是要能夠內(nèi)化和提升自身的數(shù)學(xué)思維能力。以“平方數(shù)的相差關(guān)系”的教學(xué)為例，教師要給學(xué)生提供有形的學(xué)習(xí)材料，循序漸進地提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維水平，即借助有形的學(xué)習(xí)材料，完成學(xué)生內(nèi)隱的數(shù)學(xué)思維活動。

[關(guān)鍵詞]數(shù)學(xué)思維；平方數(shù)的相差關(guān)系；內(nèi)化

[中圖分類號] G623.5 [文獻標(biāo)識碼] A [文章編號] 1007-9068（2018）35-0028-02

眾所周知，小學(xué)生的形象思維能力大于抽象思維能力，如果離開了有形的學(xué)習(xí)素材，那么培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維就成了無本之木。因此，在教學(xué)中，教師要牢牢抓住有形的學(xué)習(xí)素材，引導(dǎo)學(xué)生完成外在和內(nèi)隱的數(shù)學(xué)思維活動，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。下面，以“平方數(shù)的相差關(guān)系”的教學(xué)為例，談?wù)劸唧w的操作方式。

一、回顧舊知，激發(fā)參與動力

師（出示平方數(shù)：32，52，62，352，642，652）：請讀一讀，并說一說這些數(shù)字的含義。

師（揭示課題，出示例子“52-22”）：兩個平方數(shù)之間加一個減號，那么這個平方數(shù)就建立了相差關(guān)系。

師：想一想，我們曾經(jīng)學(xué)過哪一個知識點是將兩個完全相同的數(shù)相乘，得到的積就是結(jié)果呢？

通過啟發(fā)，學(xué)生很快想到求正方形的面積就是邊長乘邊長，即兩個數(shù)相乘。由此，教師就可引導(dǎo)學(xué)生探索平方數(shù)的相差關(guān)系。

二、展開新知探究，引導(dǎo)概念建構(gòu)

1.借助格子圖，直觀感知

師（出示一張格子圖，如圖1）：仔細找一找，你能看出4的平方和3的平方的差別是怎樣的嗎？把相差的部分涂上顏色。

2.自主探索

師（出示幾組具有相差關(guān)系的平方數(shù)：52-32 ， 72-42，42-32，652-352）：選擇其中1到2個算式，在對應(yīng)的格子圖中表示出這兩個平方數(shù)相差的關(guān)系，并用顏色涂出這兩個平方數(shù)相差的部分。根據(jù)等級變形的規(guī)律，運用平移、割補等方法，把兩個平方數(shù)相差的部分轉(zhuǎn)化成為規(guī)則圖形，并用示意圖表示出來，最后再用一個算式表示。

3.成果交流

學(xué)生探索成果（如圖3所示）：

三、引導(dǎo)學(xué)生自主感悟數(shù)學(xué)規(guī)律

呈現(xiàn)成果：

師：在這些等式中，你有什么發(fā)現(xiàn)？

學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律：

42-32=7×1=（4+3）（4-3）；

52-32=8×2=（5+3）（5-3）；

72-42= 11×3=（7+4） （7-4）；

652-352=100×30=（65+35）（65-35）；

師：你能結(jié)合圖片說出等式左右兩邊式子中數(shù)據(jù)之間的內(nèi)在聯(lián)系和規(guī)律嗎？（如圖5）

師：這些數(shù)字可不可以用字母表示？

生：大正方形的邊長用字母a表示，小正方形的邊長用字母b表示，這樣就可以把這些算式用一般的字母形式表示出來，得到

【教學(xué)思考】

對于小學(xué)生來說，在進行數(shù)學(xué)思維活動時，由于形象思維發(fā)展早于抽象思維的發(fā)展，因此，需要一些有形的數(shù)學(xué)信息來作為支撐。因此，在教學(xué)中，筆者以有形的學(xué)習(xí)材料作為根本，激活學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。

1.數(shù)形結(jié)合，提供“可視化”的觀察信息

筆者在這一課中，進行了分層設(shè)置，為學(xué)生提供“可視化”的觀察信息：第一個層次，在黑板上出示幾組具有相差關(guān)系的平方數(shù)，然后要求學(xué)生進行自主選擇后展開探索。學(xué)生借助格子圖這個直觀幾何圖形，就能夠用算式（數(shù)）來表示相差部分的大小，由此將數(shù)與形有機結(jié)合起來，為進一步理解平方數(shù)的相差關(guān)系做好了鋪墊。第二個層次：將學(xué)生的圖示作品展示出來，分小組進行討論交流。在這個交流的過程當(dāng)中，學(xué)生都獲得了有形的信息材料。另外，學(xué)生通過展示作品，交流討論，就能夠用完整的語言將自己的選擇和探索的過程，以及結(jié)果表達出來，由此提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。第三個層次：將學(xué)生的作品完整呈現(xiàn)并進行梳理，能夠讓學(xué)生獲得完整的有形信息材料，為下一步深入探索并總結(jié)規(guī)律做好準(zhǔn)備。

在這個教學(xué)過程當(dāng)中，通過給學(xué)生呈現(xiàn)“可視化”的數(shù)學(xué)材料，讓學(xué)生由此展開自主探索和思考，從而打開數(shù)學(xué)思維之門。

2.立足感性，設(shè)置“可比較”的材料

有比較才有區(qū)別，“可比較”的材料能夠幫助學(xué)生的思維層層遞進，節(jié)節(jié)攀升，因此，教師要設(shè)置“可比較”的教學(xué)素材，給學(xué)生提供有效的信息作為比較載體，帶領(lǐng)學(xué)生展開自主探索和思考。

我在這一課中進行了如下設(shè)置：其一，先給學(xué)生呈現(xiàn)自主探索的活動成果，讓每一個學(xué)生能夠獲取直觀的感知；其二，讓學(xué)生借助觀察和思考，發(fā)現(xiàn)這些可視化信息背后的規(guī)律，有了這些直觀的形象材料，就激發(fā)了學(xué)生抽象概括平方數(shù)相差關(guān)系這一內(nèi)在規(guī)律的動力；其三，對比有形的感性材料，抽象出數(shù)學(xué)規(guī)律。

有了“可比較”的材料，學(xué)生就有了充足可靠的有形材料的感性支撐，也就能夠深入數(shù)學(xué)活動之中，獲得有效的抽象思維的發(fā)展。

3.分層活動，完善“可概括”的條件

學(xué)生數(shù)學(xué)概括能力的培養(yǎng)是建立在充分的數(shù)學(xué)活動的基礎(chǔ)之上的，因此，教師要給學(xué)生提供自主探索的數(shù)學(xué)活動，幫助學(xué)生完善概括所需的條件，促進學(xué)生進行有效的概括。

在這一課中，我將學(xué)生自主感悟平方數(shù)相差關(guān)系的規(guī)律的數(shù)學(xué)活動分成了四個層次：層次一，直觀呈現(xiàn)學(xué)生的成果，提供豐富的感官材料；層次二，引導(dǎo)學(xué)生觀察，自主探索平方數(shù)相差關(guān)系的一般性規(guī)律；層次三，讓學(xué)生借助數(shù)形結(jié)合的規(guī)律進行比較，讓平方數(shù)相差關(guān)系的一般性規(guī)律更加直觀形象；層次四，引導(dǎo)學(xué)生概括，在比較化的感性認知下，抽象出平方數(shù)相差關(guān)系的一般性規(guī)律。

學(xué)生數(shù)學(xué)思維的提升是層層遞進、步步向上的。學(xué)生只有通過幾組不同的學(xué)習(xí)活動，獲取有形的成果材料，同中求異，異中求同，才能促進思維品質(zhì)和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升，這也是完善學(xué)生“可概括”條件的關(guān)鍵所在。

4.深入經(jīng)歷，把握“可抽象”的時機

對于小學(xué)數(shù)學(xué)來說，抽象是學(xué)習(xí)活動的最高階段，其中所經(jīng)歷的過程，也正是學(xué)生在數(shù)學(xué)活動過程中經(jīng)驗積累、水到渠成的一個過程。

在這一課中，我為了讓學(xué)生能夠抽象出一般性的數(shù)學(xué)規(guī)律，特意讓學(xué)生深入數(shù)學(xué)探究活動過程中，在學(xué)生經(jīng)歷了信息感知、自主觀察、對應(yīng)互聯(lián)三個層次的經(jīng)驗積累之后，就可順勢讓學(xué)生抽象出平方差公式。在這個過程中，學(xué)生的思維經(jīng)歷了從特殊到一般的過程，也經(jīng)歷了一次完整的數(shù)學(xué)歸納過程，學(xué)生的思維逐步走向豐富和深刻。

（責(zé)編 童 夏）