探究高中數(shù)學立體幾何問題解析方法

史俊峰

【摘 要】高中數(shù)學是一項邏輯性、理論性較強的學科，對培養(yǎng)高中生數(shù)學學科素養(yǎng)，拓展學生理性思維，促進學生全面發(fā)展具有重要意義。立體幾何作為高中數(shù)學教學中的重點內(nèi)容，不僅是教育教學重點，也是學生學習難點，對立體幾何問題解析方法的掌握，有利于提升高中生數(shù)學學習質(zhì)量與效率?；诖耍疚墓P者結(jié)合自身學習經(jīng)驗，對高中數(shù)學立體幾何問題解析方法進行了研究，以期為關(guān)注這一話題的人提供幫助，促進學生數(shù)學學習質(zhì)量的提升。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學；立體幾何；解析方法

引言

幾何學作為實際物體結(jié)構(gòu)、形狀、位置關(guān)系、大小研究的數(shù)學學科，對學生空間認知能力、思維想象力、推理證明能力的培養(yǎng)與提升具有重要作用。因此，在認知立體幾何結(jié)構(gòu)特征的基礎(chǔ)上，應(yīng)用數(shù)學語言進行關(guān)系表述，運用解析方法進行幾何問題處理，是我們學習的重點也是難點?；诖?，筆者針對立體幾何問題，在學習總結(jié)上提出了以下幾種解析方法，以供參考。

1.認識并理解立體幾何結(jié)構(gòu)規(guī)律

幾何問題是數(shù)學學科領(lǐng)域中的重點問題，立體幾何問題的學習，是認知三維空間圖形，培養(yǎng)空間思維創(chuàng)造能力、事物推理能力的重要手段與途徑。作為高中必修課程中的關(guān)鍵知識點，對立體幾何結(jié)構(gòu)的認知與理解，是解析立體幾何問題的關(guān)鍵。對此，我們在原有數(shù)學平面幾何基礎(chǔ)知識的基礎(chǔ)上，應(yīng)通過觀察與聯(lián)想，對空間幾何具有一定的認知，從而為以后立體幾何問題的分析與解答奠定基礎(chǔ)。

例如，在長方體的學習中，首先應(yīng)明確認知長方體的組成結(jié)構(gòu)，并對空間中長方體各點、線、面位置關(guān)系具有明確的認知與了解。其次，運用數(shù)學符號語言，對長方體中點、線、面平行、垂直關(guān)系進行表述，加深自身對立體幾何性質(zhì)與相關(guān)判定的掌握與運用，如用字母a表示線段“線線垂直”表示為“a■⊥a■”。與此同時，在掌握其基本性質(zhì)與定理的基礎(chǔ)上，對空間幾何體表面積、體積等計算公式與方法進行掌握，用以為后期復雜的立體幾何問題的求解奠定基礎(chǔ)，保證思維的清晰，能夠在最短時間內(nèi)找到與之相符的性質(zhì)、判斷定理與公式，從而提升解題效率。

2.采用向量法進行立體幾何問題解析

由向量法的定義：“如果直線l與平面a垂直，那么在直線l上區(qū)向量a，則可以說a垂直于平面a，用數(shù)字符號表示，則記作a⊥a，同時向量a叫做平面a的法向量”。通常情況下，在線面垂直問題、線面平行問題、線線垂直問題、面面垂直問題等中應(yīng)用，具有良好的效果。因此，在立體幾何問題解析中，可應(yīng)用向量法解析“異面直線距離”問題、“點到直線的距離”問題以及“直線與平面成角”等問題。

2.1應(yīng)用向量法解“異面直線間的距離”立體幾何問題

關(guān)于異面直線間的距離：在異面直線l■、l■中，E、F分別為a、b上的兩個點（如圖所示），■直線l■、l■的法向量，那么異面直線l■、l■上E、F兩點間的距離則可表示為：D=■。與此同時，如果設(shè)θ為異面直線l■、l■的夾角，■，■為直線l■、l■的向量，則有cosθ=■。

圖1異面直線間的距離

例1如圖2，在四棱錐P-ABCD中，線段PD垂直于地面矩形ABCD，其中點E在線段AB上，線段PE與線段EC垂直。已知PD=■，AE=1/2，CD=2。求：異面直線PD與EC之間的距離。

圖2

解：以D點為坐標原點，建立x、y、z之間坐標系。假設(shè)，DA=a，則有點A為（a，0，0），點B為（a，2，0），點C為（0，2，0），點D為（0，0，0），點P為（0，■，0），點E為（a，■，0）。

由題意可知，PE⊥EC，所以P■·E■=0，故可解得a=■。所有可知，D■·E■=0，則有DE⊥EC，又因為DE⊥PD，則DE為直線PD與EC的公垂線，帶入公式，可解得DG=1，因此，異面直線PD與EC之間的距離為1。

2.2應(yīng)用向量法解“點到直線的距離”立體幾何問題

例2，如圖3所示，ABCD是邊長為4的正方形，其中E、F分為線段AD與AB的中點。已知GC與平面ABCD垂直，且GC長為2。求：點P到平面EFG的距離。

解：以C為坐標原點，建立如圖所示的x、y、z直角坐標系，由GC=2?？傻肁（4，4，0），B（0，4，0），C（0，0，0），D（4，0，0），E（4，2，0），G（0，0，2），F(xiàn)（2，4，0）。

假設(shè)關(guān)于平面EFG的法向量■的坐標為（x，y，z），

則有■·E■=（x，y，z）·（-2，2，0）=0 ①

■·G■=（x，y，z）·（2，4，-2）=0 ②

由①②可得x=y，z=3y。

所以■=（y，y，3y），故可求得d=■=■。

因此，點P到平面EFG的距離為■。

2.3應(yīng)用向量法解“直線與平面成角”立體幾何問題

例3，如圖3所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，其中線段PA垂直于底面ABCD，且PA=AD=4，AB=2，點O為AC的中點。如果以O(shè)為原點，AC長為直徑做球，且球面與PD相交于點M，與PC相交于點N。求：直線CD與平面ACM所成角的值。

圖3

解：以A為坐標原點，建立如圖3所示的x、y、z直角坐標系，其中AB、AD、AP分為在x、y、z軸上，由PA=AD=4，AB=2可知，A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，4，0），D（0，4，0），P（0，0，4），M（0，2，2）。

假設(shè)關(guān)于平面ACM的法向量■的坐標為（x，y，z），根據(jù)■⊥A■，■A■可得到 2x+4y=0，令z=1，則可得■（2，-1，

2y+2z=0

1）。用α表示直線CD與平面ACM所成的角，結(jié)合相關(guān)公式可得sinα=■，代數(shù)數(shù)值可解得直線CD與平面ACM所成角的大小為■。endprint

3.基于函數(shù)思想解答立體幾何問題

函數(shù)思想是“數(shù)學型”問題解決中的典型思想，它是在辯證主義觀念下通過事物之間的聯(lián)系與變化，進行數(shù)學數(shù)量關(guān)系分析，并在此基礎(chǔ)上構(gòu)建相應(yīng)的函數(shù)或函數(shù)關(guān)系式，借助函數(shù)所具有的性質(zhì)、概念，實現(xiàn)對數(shù)學問題的分析與轉(zhuǎn)化，從而解決數(shù)學問題?？梢哉f函數(shù)思想的運用，不僅是對函數(shù)本質(zhì)內(nèi)涵（定義）的理解，也是通過這種理解去觀察、發(fā)現(xiàn)、處理并解決問題。因此，在高中立體幾何問題解析中，可通過應(yīng)用函數(shù)思想，探尋問題中存在的函數(shù)解析式，通過構(gòu)建函數(shù)關(guān)系，運用函數(shù)性質(zhì)進行問題轉(zhuǎn)化，從而達到“由難變簡”、“由繁化簡”的目標，進行求解。與此同時，也可將函數(shù)思想與方程思想（從數(shù)學問題中存在的數(shù)量關(guān)系出發(fā)，建立數(shù)學模型，構(gòu)成方程、方程與不等式/組、不等式/組等）有機結(jié)合，在相互轉(zhuǎn)化與連接中進行問題的解析。

例4，在長方體中，已知頂點A相連的三條棱長之和≤為1，表面積為16/27。求：該長方體的體積的最值。

解：依據(jù)長方體性質(zhì)，設(shè)長方體三條棱長的大小分為a，b，c，則長方體的體積為V=abc。

根據(jù)題意可知：a+b+c=1①，2（ab+bc+ac）=■②，

結(jié)合①，②可得出bc=■-（ab+ac）=■-a-a■

因此，長方體體積V（a）=abc=a■-a■-■a

又因為b+c=1-a，bc=■-a-a■

a的范圍為■≤a≤■

故b，c是方程t■-（1-a）t+■-a-a■=0的實根，因此有Vn（a）=3a■-2a+■?？山獾拈L方體的體積最值分別為■、■。

結(jié)論

總而言之，學習并掌握立體幾何知識，是我們高中數(shù)學學習的重點內(nèi)容。在認知立體幾何結(jié)構(gòu)特征的基礎(chǔ)上，學會用數(shù)學語言進行幾何關(guān)系的表述，有利于我們進一步理解立體幾何問題。在數(shù)學知識融合運用下，采用向量法、函數(shù)法進行立體幾何問題的解析具有良好的效果。只有準確掌握立體幾何問題解析方法，并在此基礎(chǔ)上進行靈活運用，立體幾何問題將不再成為困擾我們數(shù)學學習的障礙。

【參考文獻】

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