導數在函數解題中的幾點應用

顧準山

（江蘇省鎮(zhèn)江市第四中學，江蘇鎮(zhèn)江 212000）

導數在函數解題中的幾點應用

顧準山

（江蘇省鎮(zhèn)江市第四中學，江蘇鎮(zhèn)江 212000）

函數作為高中數學的主要知識點，始終是高考的重點與熱點，而導數作為解決函數問題的重要工具，其重要性不言而喻。本文對導數知識進行了綜合梳理，對運用導數知識解決函數問題進行了分類總結，對提升學生分析問題、解決問題的能力有較好的指導作用。

導數；函數；應用

引 言

現行高中數學教材中，導數作為解決數學問題強有力的工具，是初、高等數學知識的重要銜接點，滲透和加強了對學生從有限到無限、從量變到質變的辯證思想的教育，突破了許多初等數學在思想上的桎梏，拓寬、優(yōu)化和豐富了許多數學問題解決的思路、方法和技巧[1]；另一方面，導數具有很強的知識交匯能力，與多個章節(jié)內容都聯系緊密，尤其是函數部分，由于函數是高考的重點和熱點之一，而導數是研究函數的重要工具，所以導數的地位正在不斷加強，對導數應用考查的廣度和深度也在不斷加重。

一、導數的物理意義和幾何意義

導數的物理意義：如函數s=s（t）在t0處的導數s'（t0），就是物體在時刻t0時的瞬時速度v，即v=s'（t0）；函數v=v（t）在t0處的導數v'（t0），就是物體在時刻t0時的瞬時加速度a，即a= v'（t0）；降雨強度是降雨量關于時間的導數等。

導數的幾何意義：曲線y=f（x）在x0處的導數f '（x0），就是曲線在x0處的切線的斜率k，即k=f '（x0）。

例1：在拋物線y=x2上存在一點P，使得點P到直線2x-y-4=0的距離最短，則點的坐標是 （1,1）

二、導數在研究函數中的應用

1.求曲線在（過）某點的切線方程

例2：求曲線y=x3-3x過點P（2，2）的切線方程。（y=0或y=9x-16）

分析：即使點（2，2）恰好在曲線上，由于是求“過”（而不是“在”）點P處的切線方程，仍然要考慮兩種情況，一是點P就是切點，二是點P不是切點，可以設出切點坐標，利用切線斜率的兩種表示方法解出切點坐標，從而解決問題。

2.解決函數單調性有關的問題

導數與函數的單調性的關系：①f '(x)＞0是f (x)為增函數的充分不必要條件；②f '(x)≥0是f (x)為增函數的必要不充分條件。因此f (x)在某區(qū)間上遞增在該區(qū)間上恒成立，f (x)在某區(qū)間上為遞減在該區(qū)間上恒成立。值得注意的是，求函數的單調區(qū)間一定要先求函數的定義域。

3.求函數的極值與在閉區(qū)間上的值域

求函數極值點的一般步驟：先求導，令導數為零，再根據導函數判斷零點兩邊的單調性，得出函數的極值點。

注意：導數為0的點（稱為駐點），不一定是極值點；但在導函數存在的前提下，極值點的導數值必為0。

例3：已知函數f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1處取得極值10，求a+b的值。

求函數值域的一般步驟：求出函數在閉區(qū)間上的極值，再與區(qū)間端點比較大小即可。

例 4：已知函數 f（x）=x3+ax2+bx+c，過曲線 y=f（x）上的某點P（1，f（1））的切線方程為y=3x+1；

（1）設函數f（x）在x=-2處有極值，求出f（x）的表達式；（f（x）=x3+2x2-4x+5）

（2）在（1）的條件下，求出f （x）在[-3，1]上的最大值；（f（x）max=f（-2）=13）

（3）若函數y=f（x）在區(qū)間[-2，1]上單調遞增，求出b的取值范圍。（b≥0）

分析（3）：函數y=f（x）在區(qū)間[-2，1]上單調遞增，所以f ' （x）≥0在該區(qū)間上恒成立，然后分離變量，轉化為函數的最值問題求解。

4.利用導數證明不等式

基本原理：欲證不等式f（x）＞g（x），構建函數h（x）=f（x）-g（x），只要求出函數h（x）的最小值，證明此最小值大于0即可。

例5：設函數f（x）=x2ex-1+ax3+bx2，已知x=-2和x=1為f（x）的極值點。

（Ⅰ）求a和b的值；（Ⅱ）討論f（x）的單調性；

解：（Ⅰ）因為f ' (x)=ex-1(2x+x2)+3ax2+2bx=xex-1(x+2)+x(3ax+2b)，又x=-2和x=1為f（x）的極值點，所以f ' (-2)=f '(1)=0，

因為x∈[1,+∞)時，h' (x)≥0，所以h(x)在x∈(1,+∞)上單調遞增。

故x∈[1,+∞)時，h(x)≥h(1)=0。所以對任意x∈[-∞ ,+ ∞ )，恒有 h(x)≥ 0，又 x2≥ 0，因此 f（x）-g（x）≥0，故對任意x∈（-∞,+∞)，恒有f（x）≥g（x）。

5.利用導數求方程根的個數

一般步驟：求出對應函數的單調性，求出極值，做出草圖，即可解決。

例 6： 已 知 函 數 f（x）=x+a，g(x)=x2+3x+2，F(x)=f（x）·g(x)，①若F(x)在(-1，1)上為減函數,求a的取值范圍；②若y=f (x)的圖像與y=g(x)的圖像相切，試討論關于x的方程F(x)=k (k∈R)的實根個數。（當或k＜0時，有一個實根；當或k=0時，有兩個實根；當時有三個實根）

6.優(yōu)化實際問題

例7：水庫的蓄水量隨時間而變化，現用t表示時間，以月為單位，年初為起點，根據歷年數據，某水庫的蓄水量（單位：億立方米）關于t的近似函數關系式為

（Ⅰ）該水庫的蓄水量小于50的時期稱為枯水期，以i－1＜t＜i表示第i月份（i=1,2,…,12），問一年內哪幾個月份是枯水期？

（Ⅱ）求一年內該水庫的最大蓄水量（取e=2.7計算）。（08湖北）

②當10＜t≤12時，V（t）＝4（t－10）（3t－41）+50＜50，

綜合得0＜t＜4,或10＜t≤12，

故知枯水期為1月，2月，3月，4月，11月，12月共6個月。

(Ⅱ)由(Ⅰ)知：V（t）的最大值只能在（4，10）內達到。

令V′(t)=0，解得t=8(t=－2舍去)。

當t變化時，V′(t) 與V (t)的變化情況如下表：

(4,8) 8 (8,10)V′(t) + 0 －V(t) 極大值t

由上表，V(t)在t＝8時取得最大值V(8)＝8e2+50≈108.32(億立方米)。

故知一年內該水庫的最大蓄水量是108.32億立方米。

結 語

物理學、幾何學、經濟學等學科中的一些重要概念都可以用導數來表示。導數物理意義和幾何意義明確，在研究函數中的應用可以體現在以上求曲線在（過）某點的切線方程，解決函數單調性有關的問題，求函數的極值與在閉區(qū)間上的值域，利用導數證明不等式，優(yōu)化實際問題等方面[2]。通過綜合梳理、分類總結導數在函數解題中的應用，希望對提升學生分析問題、解決問題的能力有較好的指導作用。

[1]鄒生書.函數極值點偏移問題的三種求解策略[J].中學數學教學,2017,(03):42-44.

[2]夏峰,鄧慧.導函數零點問題的轉化求解[J].高中數理化,2017,(Z1):19.

顧準山（1973），男，江蘇鎮(zhèn)江人，本科學歷，中學數學高級教師。