線性回歸在金融中的應用

鄭淇麗

摘要 本文首先從高中數(shù)學知識最小二乘法入手，探討了最小二乘法中體現(xiàn)的線性回歸思想，介紹線性回歸方法的來源和回歸方程的構建和求解方式。然后以分析企業(yè)債務期限結構與地區(qū)的市場化程度關系等為例，說明線性回歸在經(jīng)濟金融問題中有廣泛的應用。

關鍵詞 線性回歸 最小二乘法 債務期限結構

一、線性回歸

（一）線性回歸的概念

線性回歸來自于對于變量問關系的探索。在一些抽象的學科學習中，我們很容易找到兩變量之間明確的關系。例如：物體所受合外力與其加速度有明顯的正比關系，做自由落體運動物體與其運動時間也有正比關系。在生活中變量與變量之間也有關系但卻不那么確切。例如：人身高與體重之間的聯(lián)系，高的人相對于矮的人會重一些；一個地區(qū)經(jīng)濟發(fā)展水平越高，人均收入也相對越高…為了更好找到兩個變量之間明確的關系以便預測未來，我們引用線性回歸方程，線性回歸就是利用數(shù)理統(tǒng)計中回歸分析，來確定兩種或兩種以上變量問相互依賴的定量關系的一種統(tǒng)計分析方法。

（二）回歸參數(shù)的估計

線性回歸方程是有規(guī)律的，只要有規(guī)律就能預測未來。在實際操作中，多次重復觀察得到的變量的不同取值可以用無數(shù)散點來表示，如抽取多個學生做調查，可以得到多組身高體重數(shù)據(jù)。根據(jù)這些散點可以畫出多種斜線，所以必須有比較精確方式?jīng)Q定理想的線性方程式，一個類似合外力與加速度的一元線性方程。可以要求誤差平方和最小，作為決定理想線性回歸方程式的準則，然后通過一定的方法，求出方程中的參數(shù)。

（三）最小二乘法

為了找到這個規(guī)律，通過最小二乘法來擬合。最小二乘法的原則是以“殘差平方和最小”確定直線位置。它改進“殘差和最小”相互抵消的問題，相比“殘差絕對值和最小”也更易計算。線性回歸方程的關鍵參數(shù)是截距項和斜率項，所以殘差平方和可以表示為關于這兩個參數(shù)的二元二次函數(shù)：

為了求這個方指標的最小值，我們借鑒高中數(shù)學中二次函數(shù)求最值時采取一階倒數(shù)等于零的思想，用D分別對兩個參數(shù)求偏導數(shù)，令其等于零。這樣，我們就得到了關于兩個參數(shù)的二元一次方程組，從而求出兩個參數(shù)的值，確定回歸方程。

二、線性回歸在金融中的應用

（一）線性回歸分析企業(yè)債務期限結構與地區(qū)的市場化程度關系

線性回歸可以用來分析企業(yè)的債務期限結構。所謂債務期限結構，指的是企業(yè)負債中，不同期限的貸款占總借款的比重。一般來說，長期貸款要求的利率較低，可使用資金的時間較長，對企業(yè)來說，“性價比”較高。但貸款期限越長，對企業(yè)自身資質的要求也就越高。企業(yè)自身資質越好，長期債務占總借款的比重越高。因此，企業(yè)債務期限結構受到企業(yè)自身發(fā)展和外部環(huán)境等多種因素的影響。

地方政府對企業(yè)的干預是一種重要的影響因素。政府的干預可以讓企業(yè)陷入困境，亦可以讓企業(yè)脫離困境。我國近年發(fā)展以來，市場化程度在逐步提高。但由于我國各地資源，政府制度，地理位置的差異，市場化程度也就不同。這意味著不同地區(qū)的政治關系對企業(yè)的期限結構影響程度也就不同。經(jīng)過分析：市場化程度較高的地方政企分開程度高，政府干預市場能力也就較低，從而這些地區(qū)的政治關系對企業(yè)履行成本的影響也會較低。由此可以推斷出：企業(yè)所在地區(qū)的市場化程度越高，企業(yè)長期借款占總借款的比重越低；反之亦然。

在以上的觀察中，我們可以發(fā)現(xiàn)，企業(yè)的債務結構與其所在地區(qū)的市場化程度有很緊密的關系。然而，這種關系無法用確切的函數(shù)關系來表達，這兩個變量問存在比較明顯的是相關性關系。根據(jù)上文的分析，線性回歸適用于描述和擬合兩個變量之間的相關性關系，經(jīng)過調查分析，記錄數(shù)據(jù)，引用線性回歸方程來驗證此推斷。事實證明，公司所在地市場化程度越高，長期借款占總借款的比例越低。進一步也可以發(fā)現(xiàn)，這種差異歸因于地方政府對企業(yè)的干預程度不同。

（二）線性回歸分析銀行利潤

在上述二元線性回歸之外，我們還可以通過多元線性探究多個變量問的相關關系，確切來說，是一個變量同時受多個因素的影響的關系。以銀行企業(yè)為例，銀行企業(yè)的利潤主要來自于存款與貸款的利息差，尤其貸款的利息收入，是銀行收入和利潤的主要來源，貸款的數(shù)量與銀行利潤有密不可分的關系，貸款數(shù)量足夠多，銀行才可以有充足的收入來源。同時，企業(yè)的經(jīng)營又會受到外部環(huán)境，尤其是經(jīng)濟波動的影響，經(jīng)濟發(fā)展越好，需要貸款的企業(yè)就越多，銀行的收入和利潤也就越多，反之，經(jīng)濟情況不好，企業(yè)紛紛破產(chǎn)時，銀行的貸款無法收回，利潤自然也會大打折扣。企業(yè)自身的發(fā)展狀況，如銀行的員工數(shù)量，也與銀行利潤情況息息相關。

因此，可以說銀行的利潤受到經(jīng)濟波動，員工數(shù)量，貸款數(shù)量等多個因素的影響。然而，這些影響都不是確定性的函數(shù)關系，而是不太清晰確定的相關性關系。利用線性回歸，可以構造銀行的利潤和這些變量問的回歸方程，從而定量、準確的確定這些變量對銀行利潤的影響。

三、結語

很多金融問題都涉及到多變量問關系的探討，線性回歸可以更加直觀的描述和確定相關性關系，從而為金融領域的各種問題的分析和解決提供參考依據(jù)，結合線性回歸分析中相關數(shù)據(jù)變化情況，直接將金融數(shù)據(jù)的變化進行描點表示，提高了解決金融問題的準確性和直觀性特征。endprint