求導(dǎo)揭性質(zhì)，逐層析函數(shù)

毛天梅

[摘? 要] 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)有著緊密的聯(lián)系，導(dǎo)函數(shù)是分析函數(shù)性質(zhì)的重要工具，利用導(dǎo)數(shù)分析問(wèn)題的便利性，可將復(fù)雜的函數(shù)問(wèn)題層次化、簡(jiǎn)單化，從而達(dá)到逐步求解的目的，本文將結(jié)合考題簡(jiǎn)要講解導(dǎo)數(shù)在函數(shù)問(wèn)題中的應(yīng)用，以期對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)備考有所幫助.

[關(guān)鍵詞] 導(dǎo)數(shù);函數(shù);極值;不等式;單調(diào)性

高考對(duì)導(dǎo)數(shù)的考查主要集中在利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)單調(diào)性、求極值、最值，以及利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)不等式問(wèn)題，同時(shí)也從側(cè)面反映出導(dǎo)數(shù)對(duì)于解決函數(shù)問(wèn)題有著顯著的作用，合理運(yùn)用導(dǎo)函數(shù)的輔助特性可以起到良好的解題效果.

真題解析，解法評(píng)析

1. 真題呈現(xiàn)

（2017年天津數(shù)學(xué)卷）設(shè)a∈Z，已知定義在R上的函數(shù)f（x）=2x4+3x3-3x2-6x+a在區(qū)間（1，2）內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)x0，g（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù).

（1）求g（x）的單調(diào)區(qū)間;

（2）設(shè)m∈[1，x0）∪（x0，2]，函數(shù)h（x）=g（x）（m-x0）-f（m），求證：h（m）h（x0）<0.

2. 試題解析

分析：（1）求g（x）的單調(diào)區(qū)間，可求導(dǎo)，令g′（x）=0，求函數(shù)的駐點(diǎn)，然后通過(guò)判斷導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的正負(fù)情況來(lái)確定函數(shù)的單調(diào)性.

（2）證明h（m）h（x0）<0，可分別確定在定義域內(nèi)h（m）和h（x0）的符號(hào)即可，h（m）=g（m）（m-x0）-f（m），h（x0）=g（x0）·（m-x0）-f（m），可構(gòu)造函數(shù)H1（x）=g（x）·（x-x0）-f（x），H2（x）=g（x0）（x-x0）-f（x），對(duì)H1（x），H2（x）進(jìn)行求導(dǎo)，確定其單調(diào)性，輔助判斷h（m）和h（x0）的符號(hào)，證明不等式.

解：（1）g（x）=f ′（x）=8x3+9x2-6x-6，可得g′（x）=24x2+18x-6. 令g′（x）=0，解得x=-1或x=■. 當(dāng)x變化時(shí)，g′（x），g（x）的變化情況如下表：

令函數(shù)H2（x）=g（x0）（x-x0）-f（x），則H′2（x）=g（x0）-g（x）. 由（1）知，g（x）在[1，2]上單調(diào)遞增，故當(dāng)x∈[1，x0）時(shí)，H′2（（x）>0，H2（x）單調(diào)遞增;當(dāng)x∈（x0，2]時(shí)，H′2（（x）<0，H2（x）單調(diào)遞減. 因此，當(dāng)x∈[1，x0）∪（x0，2]時(shí)，H2（x）<H2（x0）=0，可得H2（m）<0，即h（x0）<0. 所以，h（m）h（x0）<0.

3. 解法評(píng)析

本題目為高考常見的函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合題，主要考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)解決問(wèn)題的能力，上述題目求函數(shù)的單調(diào)性以及不等式恒成立問(wèn)題，（1）問(wèn)通過(guò)對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)函數(shù)g′（x）的正負(fù)號(hào)來(lái)確定原函數(shù)的單調(diào)性;（2）問(wèn)則是巧妙地構(gòu)造函數(shù)，通過(guò)求導(dǎo)來(lái)分析構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性以及最值，最后利用構(gòu)造函數(shù)的性質(zhì)來(lái)證明不等式的恒成立. 導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用是解決函數(shù)問(wèn)題的關(guān)鍵，通過(guò)求導(dǎo)可準(zhǔn)確分析函數(shù)的基本性質(zhì)，等價(jià)轉(zhuǎn)換問(wèn)題，從而降低思維難度，打開解題的突破口.

考題銜接，求導(dǎo)破解

導(dǎo)數(shù)在求解函數(shù)問(wèn)題時(shí)有著特有的便利性，有效利用導(dǎo)函數(shù)可以準(zhǔn)確獲得原函數(shù)的基本性質(zhì)，例如單調(diào)性、極值、零點(diǎn)等，這些函數(shù)性質(zhì)對(duì)于下一步的求解有著關(guān)鍵的作用. 對(duì)于一些會(huì)直接影響導(dǎo)函數(shù)符號(hào)的參數(shù)，要進(jìn)行分類討論，針對(duì)性分析.

（2016年天津數(shù)學(xué)卷）設(shè)函數(shù)f（x）=（x-1）3-ax-b，x∈R，其中a，b∈R.

（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間;

（2）若f（x）存在極值點(diǎn)x0，且f（x1）=f（x0），其中x1≠x0，求證：x1+2x0=3.

分析：（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間，可對(duì)其求導(dǎo)，需要注意的是a的正負(fù)性直接影響著函數(shù)的單調(diào)性，需要分類討論. （2）f（x）存在極值點(diǎn)，可對(duì)其求導(dǎo)，獲得解題條件，然后利用f（x1）=f（x0），以及（1）問(wèn)求導(dǎo)獲得單調(diào)性來(lái)建立x1和x0的關(guān)系式.

解：（1）由f（x）=（x-1）3-ax-b，可得f ′（x）=3（x-1）2-a. 下面分兩種情況討論：

①當(dāng)a≤0時(shí)，有f ′（x）=3（x-1）2-a≥0恒成立，所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，+∞）.

二次求導(dǎo)，逐層分析

對(duì)于一些較為復(fù)雜的函數(shù)問(wèn)題，直接求導(dǎo)后仍然難以確定導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)性，此時(shí)可以考慮在導(dǎo)函數(shù)的基礎(chǔ)上再次求導(dǎo)，即二階求導(dǎo)，二階求導(dǎo)是基于一次導(dǎo)函數(shù)的基礎(chǔ)之上，可通過(guò)分析二階導(dǎo)函數(shù)來(lái)分析一階導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，從而確定原函數(shù)的基本性質(zhì).

正是對(duì)函數(shù)的二次求導(dǎo)，從而確定了構(gòu)造函數(shù)的性質(zhì)，為下一步分析不等式提供了條件，二次求導(dǎo)是解決較為復(fù)雜問(wèn)題的一種十分有效的方法策略，需要注意的是二次導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)分析要基于原函數(shù)的定義域，脫離定義域的函數(shù)分析是無(wú)意義的.

總之，函數(shù)單調(diào)性、極值、零點(diǎn)及不等式問(wèn)題歸根到底就是研究函數(shù)性質(zhì)問(wèn)題，導(dǎo)數(shù)對(duì)于研究函數(shù)性質(zhì)有著極為明顯的效果，在解題時(shí)要充分利用導(dǎo)函數(shù)對(duì)函數(shù)單調(diào)性本質(zhì)反應(yīng)的特點(diǎn)，逐步深入，層層剖析，適當(dāng)轉(zhuǎn)換問(wèn)題，找到問(wèn)題關(guān)鍵，獲得解題思路. 學(xué)習(xí)求導(dǎo)不僅是學(xué)習(xí)方法，也是對(duì)思維的鍛煉，提升邏輯推理能力的過(guò)程.