概率統(tǒng)計(jì)試題圖表信息的數(shù)據(jù)處理探析

溫伙其

[摘? 要] 通過回顧近幾年高考試題，對(duì)概率統(tǒng)計(jì)試題呈現(xiàn)的圖表信息特點(diǎn)進(jìn)行研究與剖析，闡明各種圖表特點(diǎn)與作用，為高中教學(xué)提供參考，為學(xué)生學(xué)習(xí)備考提供指導(dǎo).

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué);概率統(tǒng)計(jì);圖表信息;數(shù)據(jù)處理

概率統(tǒng)計(jì)是新課程的一個(gè)重要標(biāo)志，教學(xué)內(nèi)容貫穿整個(gè)高中數(shù)學(xué)課程必修和選修內(nèi)容. 它承載著培養(yǎng)學(xué)生收集、整理、描述、分析的數(shù)據(jù)處理學(xué)科素養(yǎng)，也肩負(fù)著提高學(xué)生應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)的價(jià)值.

在社會(huì)統(tǒng)計(jì)分析應(yīng)用中，分析數(shù)據(jù)的一種基本方法是通過圖形把它們直觀呈現(xiàn)出來，利用表格完成數(shù)據(jù)規(guī)律性排列.? 將相關(guān)數(shù)據(jù)作圖表示，可以在提取數(shù)據(jù)重要信息的基礎(chǔ)之上，還能夠有效地借助圖形完成相關(guān)數(shù)據(jù)信息的傳遞. 這些圖表有：二維表格、扇形圖、頻數(shù)（率）分布圖（表）、頻率分布直方圖（折線圖）、總體密度曲線（正態(tài)分布）、莖葉圖等. 本文回顧近幾年高考試題，對(duì)概率統(tǒng)計(jì)試題呈現(xiàn)的圖表信息特點(diǎn)進(jìn)行研究與剖析，闡明各種圖表特點(diǎn)與作用，以便為高中教學(xué)提供參考，為學(xué)生學(xué)習(xí)備考提供指導(dǎo).

二維表格

雜亂無章的數(shù)據(jù)不利于分析數(shù)據(jù)規(guī)律.? 統(tǒng)計(jì)中經(jīng)常用表格整理數(shù)據(jù)，它可以更清楚地了解數(shù)據(jù)所蘊(yùn)含的規(guī)律，一般用于表示用兩個(gè)變量對(duì)應(yīng)一種事件（情況）. 在高中數(shù)學(xué)教材中，二維表格常見于古典概型的基本事件、分布列、列聯(lián)表的K2檢驗(yàn)、線性規(guī)劃的尋找約束條件、循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖.

例1 （2016年新課標(biāo)文科Ⅱ卷·第18題）某險(xiǎn)種的基本保費(fèi)為a（單位：元），繼續(xù)購(gòu)買該險(xiǎn)種的投保人稱為續(xù)保人，續(xù)保人本年度的保費(fèi)與其上年度出險(xiǎn)次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下：

隨機(jī)調(diào)查了該險(xiǎn)種的200名續(xù)保人在一年內(nèi)的出險(xiǎn)情況，得到如下統(tǒng)計(jì)表：

（Ⅰ）記A為事件：“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)不高于基本保費(fèi)”，求P（A）的估計(jì)值;

（Ⅱ）記B為事件：“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)但不高于基本保費(fèi)的160%”，求P（B）的估計(jì)值;

（Ⅲ）求續(xù)保人本年度平均保費(fèi)的估計(jì)值.

（Ⅲ）平均保費(fèi)估計(jì)值為

點(diǎn)評(píng)：本題考查樣本估計(jì)總體的實(shí)際應(yīng)用，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)，要求考生體會(huì)題目情境，能從題目條件提供的兩個(gè)二維表格中收集、整理、描述、分析數(shù)據(jù)，能從大量數(shù)據(jù)中抽取對(duì)研究問題有用的信息.

通過數(shù)據(jù)分組后形成的頻數(shù)分布表，可以初步看出數(shù)據(jù)分布的一些特征和規(guī)律. 為了將頻數(shù)分布表中的結(jié)果直觀、形象地表示出來，常常畫出頻數(shù)分布直方圖. 而頻數(shù)分布直方圖比較直觀，兩者放在一起，可以互相補(bǔ)充，從而使我們對(duì)數(shù)據(jù)的頻數(shù)分布情況了解得更加清楚.

正態(tài)分布密度曲線

在頻率分布直方圖中，隨著樣本容量不斷增大同時(shí)組距減少，則組數(shù)增加，相應(yīng)頻率的分布直方圖，會(huì)與光滑曲線較為接近. 該曲線整體為總密度曲線，主要的密度曲線將每一個(gè)范圍內(nèi)的百分比數(shù)值得以反映，從而確保為我們提供的信息更加精準(zhǔn).

解：正態(tài)分布密度曲線圖象關(guān)于x=μ對(duì)稱，所以μ1<μ2，從圖2中容易得到P（X≤t）≥P（Y≤t）. 故選：C.

莖葉圖

莖葉圖，莖是指中間的一列數(shù)，葉就是從莖的旁邊生長(zhǎng)出來的數(shù). 在樣本數(shù)據(jù)較少時(shí)，用莖葉圖表示數(shù)據(jù)的效果較好. 它的特點(diǎn)是沒有損失任何樣本信息，既能夠保留原始數(shù)據(jù)，又能夠展示數(shù)據(jù)的分布情況，而且可以隨時(shí)記錄，這對(duì)數(shù)據(jù)的記錄和表示都能帶來方便.

莖葉圖可以幫助分析樣本數(shù)據(jù)的分布頻率，能夠直觀顯示樣本數(shù)據(jù)的分布規(guī)律及集中程度. 通過兩組數(shù)據(jù)的莖葉圖比較數(shù)據(jù)的優(yōu)劣，先觀察“葉”的分布是否具備對(duì)稱性，找到中位數(shù)大小判斷高低;然后觀察是否具有單峰性，峰值上“葉”的數(shù)量決定穩(wěn)定程度.

散點(diǎn)圖

散點(diǎn)圖是數(shù)據(jù)分析的基本工具，在人教A版數(shù)學(xué)教材出現(xiàn)于必修3第二章：2.3變量間的相關(guān)關(guān)系. 從散點(diǎn)圖的角度研究變量之間的相關(guān)關(guān)系和線性相關(guān)關(guān)系的強(qiáng)弱.

例3（2017年北京理科·第17題）為了研究一種新藥的療效，選100名患者隨機(jī)分成兩組，每組各50名，一組服藥，另一組不服藥. 一段時(shí)間后，記錄了兩組患者的生理指標(biāo)x和y的數(shù)據(jù)，并制成下圖，其中“*”表示服藥者，“+”表示未服藥者.

（1）從服藥的50名患者中隨機(jī)選出一人，求此人指標(biāo)y的值小于60的概率;

（2）從圖中A，B，C，D四人中隨機(jī)抽取兩人，記ξ為選出的兩人中指標(biāo)x的值大于1.7的人數(shù)，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望E（ξ）;

（3）試判斷這100名患者中服藥者指標(biāo)y數(shù)據(jù)的方差與未服藥者指標(biāo)y數(shù)據(jù)的方差的大小. （只需寫出結(jié)論）

（3）由圖知100名患者中服藥者指標(biāo)y數(shù)據(jù)的方差比未服藥者指標(biāo)y數(shù)據(jù)的方差大.

？搖？搖總的來說，對(duì)統(tǒng)計(jì)概率試題中出現(xiàn)的圖表信息，一要識(shí)別：清楚辨別它屬于上述圖表中的哪一種？二要用圖表：選擇恰當(dāng)合理的圖表，方便用于闡述我們要說明的結(jié)論;三要畫圖表：當(dāng)數(shù)據(jù)呈現(xiàn)形式雜亂無章時(shí)，轉(zhuǎn)化為容易發(fā)現(xiàn)特點(diǎn)規(guī)律的圖表，便于解題.