塑數(shù)學(xué)之魂 顯思想之美

黃丹

[摘? 要] 數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的靈魂與精髓，是發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造數(shù)學(xué)的基本源泉，在數(shù)學(xué)解題方面發(fā)揮了非常重要的作用. 在數(shù)學(xué)解題的過程中，教師科學(xué)地引導(dǎo)學(xué)生巧妙、靈活地通過數(shù)學(xué)思想解答數(shù)學(xué)試題，有利于提高學(xué)生解決問題的能力，拓展學(xué)生思維.

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)思想;高中數(shù)學(xué);解題;應(yīng)用分析

在高中數(shù)學(xué)中，解題能力的高低往往是衡量學(xué)生數(shù)學(xué)能力的重要標(biāo)志之一，在教學(xué)中，學(xué)生的解題能力也是主要的培養(yǎng)目標(biāo). 在習(xí)題教學(xué)中，滲透數(shù)學(xué)思想的基本方法是通過分析具體問題，針對(duì)不同的問題采用相應(yīng)的數(shù)學(xué)思想.

巧用數(shù)形結(jié)合，踐思想之本

將直觀圖形和抽象的數(shù)學(xué)語言相結(jié)合是數(shù)形結(jié)合思想的實(shí)質(zhì)，也是數(shù)學(xué)思想的根本所在，它不僅是一種解決數(shù)學(xué)問題的基本思路和基本技能，更是揭秘?cái)?shù)學(xué)本質(zhì)的根本所在. 在處理數(shù)學(xué)問題過程中，結(jié)合起直觀的圖形與抽象的語言，達(dá)到抽象概念和實(shí)際形象的轉(zhuǎn)換與聯(lián)系的目的. 互相滲透數(shù)和形的信息，從而把我們的解題思路打開，從而簡單化處理數(shù)學(xué)問題.

案例1：在方程lg（-x2+3x-m）=lg（3-x）中，x∈（0，3），在此范圍內(nèi)方程有且只有一個(gè)解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

解析：等價(jià)變形處理對(duì)數(shù)方程，然后用一元二次方程將其表述出來，從而解決實(shí)數(shù)解問題，再利用二次函數(shù)圖像進(jìn)行求解.

將原方程變形為-x2+3x-m=3-x，即（x-2）2=1-m，其中3-x>0.

設(shè)曲線y1=（x-2）2和直線y2=1-m，其中x∈（0，3）.

由圖像可知：

①在1≤1-m<4時(shí)，只有唯一的一個(gè)解，則此時(shí)-3<m≤0.

②如果1-m的數(shù)值為0，有且只有一個(gè)解，則m=1.

因此，-3<m≤0或m=1.

在數(shù)形結(jié)合思想中，圖形與代數(shù)問題之間的轉(zhuǎn)化是數(shù)形結(jié)合思想的關(guān)鍵，可以用幾何的思想解決代數(shù)問題，用代數(shù)知識(shí)解決幾何問題.在通過數(shù)形結(jié)合思想解決和處理問題時(shí)，需要做好以下幾點(diǎn)：首先，弄清楚相關(guān)概念;曲線的代數(shù)特點(diǎn)以及運(yùn)算的幾何含義.數(shù)學(xué)題目內(nèi)的結(jié)論與條件，不但要弄清楚代數(shù)意義，而且還要分析其幾何意義;其次，科學(xué)設(shè)參，正確用參，構(gòu)建關(guān)系，用形促數(shù)，用數(shù)思形，從而科學(xué)地轉(zhuǎn)換數(shù)形;再次，把參數(shù)取值范圍確定出來.

啟發(fā)分類探討，活思維之舉

分類探討是一種邏輯性方法，也是一種思想方法，這種思想不僅可以啟發(fā)學(xué)生思維方向和思想習(xí)慣，還能充分引領(lǐng)學(xué)生分析其中的邏輯關(guān)系，做到由點(diǎn)及線、由線及面. 比如，對(duì)難以統(tǒng)一研究的某些問題，就應(yīng)該依據(jù)某種標(biāo)準(zhǔn)分類處理相關(guān)的研究對(duì)象，達(dá)到化整為零，化繁為簡的目的.

在分類討論過程中，解決問題的原則為：具有統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)和明確的分類對(duì)象，不重復(fù)，不漏項(xiàng)，合理劃分，主次分明，不越級(jí)探究.其中，不重不漏是關(guān)鍵.

運(yùn)用轉(zhuǎn)換思想，悟等價(jià)之措

等價(jià)轉(zhuǎn)化思想在數(shù)學(xué)問題解決中較為常見，是將陌生的問題轉(zhuǎn)化為熟知問題的方法. 據(jù)學(xué)生反饋，在學(xué)習(xí)和解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，很難找到突破口，題目中的一些條件，某些時(shí)候難以幫助解答問題，遭遇這些抽象化的問題直接影響了解題的效率. 而等價(jià)轉(zhuǎn)化法就能在解決以上問題時(shí)提供較大幫助. 靈便地轉(zhuǎn)化問題與條件，把復(fù)雜抽象的問題變得更加清晰具體，從而使問題呈現(xiàn)出明顯的突破口，簡化問題.

在此問題中，通過均值不等式的轉(zhuǎn)化思想，可以更加迅速、簡捷地處理問題. 因此，在教學(xué)期間，教師需要科學(xué)地培養(yǎng)學(xué)生的判斷能力，從而引導(dǎo)學(xué)生將更加準(zhǔn)確的轉(zhuǎn)換策略找出來. 以便更加高效、輕松地解決問題.通過此種方法來強(qiáng)化學(xué)生解題的能力.

領(lǐng)悟換元思想，揭變量之聯(lián)

換元思想從某種程度上來講也是轉(zhuǎn)化思想的一種，但比轉(zhuǎn)化思想有更強(qiáng)的針對(duì)性. 在解決很多高中數(shù)學(xué)問題時(shí)，都可以應(yīng)用到換元思想方法，在應(yīng)用這種方法后，展現(xiàn)出了許多應(yīng)用優(yōu)點(diǎn)，可以簡化問題，而且可以將題目內(nèi)隱藏的一些條件找出來. 就不同的問題類型而言，換元的方法也不同，教師應(yīng)該通過具體例子解決問題，使學(xué)生真正地認(rèn)識(shí)這一數(shù)學(xué)思想. 然后學(xué)會(huì)利用具體問題選擇合理的換元方法，從而達(dá)到高效解決問題的目的.

案例4：已知x>2，y>2，求證：xy>x+y.

解析：從題目表面無法求證此不等式，而且無法運(yùn)用已知條件，在這種情況下，首選的方法是換元.

令x=m+2，y=n+2且m>0，n>0.

則x+y-xy=m+2+n+2-（m+2）（n+2）=m+n+4-2m-2n-4-mn=-m-n-mn<0，

所以xy>x+y.

引入全新的變量，并顯示出題目中所隱含的條件，從而有效地聯(lián)系其條件和結(jié)論，這充分地展現(xiàn)出了換元法的意義.在實(shí)踐中應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法，簡單化處理復(fù)雜的問題，使學(xué)生不知怎樣突破的問題找到了一個(gè)新的突破口，從而更加高效、輕松地處理這些問題. 在解題時(shí)，通過應(yīng)用這種換元的方法，有效地提升了學(xué)生的解題效率.

建構(gòu)模型思想，賞數(shù)學(xué)之美

模型思想即通過建立數(shù)學(xué)模型，將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)問題. 模型主要包括函數(shù)模型、方程模型、不等式模型、幾何模型等. 例如函數(shù)模型即為利用給出問題的數(shù)學(xué)特性，把函數(shù)關(guān)系型的數(shù)學(xué)模型構(gòu)建起來，然后展開研究與分析.

案例5：已知Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，Sn=12n-n2，

（1）求a1+a2+a3;

（2）求a1+a2+…+a10;

（3）求a1+a2+…+an;

（4）記Tn=a1+a1+…+an，求出當(dāng)Tn取得最大值時(shí)n的值.

解析：（1）至（3）均可以通過Sn公示推導(dǎo)出an的公式，再通過各項(xiàng)的符號(hào)確定其絕對(duì)值與它本身的關(guān)系，再求出對(duì)應(yīng)項(xiàng)數(shù)的和即可.

（4）是通過將Tn當(dāng)作關(guān)于n的二次函數(shù)關(guān)系，把Tn中哪個(gè)值是最大值轉(zhuǎn)變?yōu)槎魏瘮?shù)y=Tn中當(dāng)n取何值時(shí)函數(shù)值最大的問題求解出來，從而達(dá)到解題的目的.

（1）當(dāng)n≥2時(shí)，

an=Sn-Sn-1=12n-n2-[12（n-1）-（n-1）2]=13-2n.

當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=11適合上式，

所以an=13-2n.

（2）a1+a2+…+a10

=2（a1+a2+…+a6）-（a1+a2+a3…+a10）

=2S6-S10

=52.

（3）當(dāng)n≤6時(shí)，a1+a2+…+an=Sn=12n-n2;

當(dāng)n≥7時(shí)，a1+a2+…+an

=a1+a2+…a6-（a7+a8+…an）

=S6-（Sn-S6）

=2S6-Sn

=72-（12n-n2）

=n2-12n+72，

所以a1+a2+…+an=12n-n2，n≤6，n2-12n+72，n≥7.

（4）由函數(shù)圖像可知，當(dāng)n≤6時(shí)Tn單調(diào)遞減，當(dāng)n≥7時(shí)單調(diào)遞增，因此，當(dāng)n=6時(shí)Tn最小.

通過函數(shù)與方程思想的結(jié)合，使得比較復(fù)雜的問題得到了有效的解決和處理，簡化了題目的難度.

類似的方法還有很多，而教師需要將無限的題目轉(zhuǎn)換為有限的類型，并將思想方法和類型相對(duì)接，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)中達(dá)成巧妙的對(duì)接，既減輕學(xué)生的負(fù)擔(dān)，又提升了學(xué)生的能力，真正達(dá)成減負(fù)高效的教學(xué)效果.

在學(xué)生學(xué)習(xí)的道路上，教師是學(xué)生成長的指導(dǎo)者與領(lǐng)路人，在平時(shí)的教學(xué)中，教師需要通過我們的教學(xué)行為將思想與方法慢慢地滲透給學(xué)生，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)和訓(xùn)練的過程中學(xué)會(huì)感悟、學(xué)會(huì)積累，久而久之，學(xué)生積累的經(jīng)驗(yàn)和方法就會(huì)成為學(xué)生的思維中的固有素養(yǎng)，即數(shù)學(xué)思想的形成. 而對(duì)于教師而言，需要落實(shí)和研究的就是結(jié)合教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行落實(shí)，不斷優(yōu)化我們的教學(xué)策略，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)中樂此不疲.