用R軟件模擬兩服務(wù)員的并聯(lián)排隊(duì)系統(tǒng)

黃雅楠

【摘要】首先，本文介紹了經(jīng)典的兩個(gè)服務(wù)員的并聯(lián)系統(tǒng)；其次，通過對排隊(duì)規(guī)則的改變，更新該系統(tǒng)并給出算法；最后，用R軟件對系統(tǒng)進(jìn)行模擬.

【關(guān)鍵詞】排隊(duì)論；并聯(lián)系統(tǒng)；R軟件模擬

一、引言

排隊(duì)是人們?nèi)粘Ｉ钪薪?jīng)常遇到的現(xiàn)象.排隊(duì)論，又稱隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)，是通過對服務(wù)對象到來和服務(wù)時(shí)間的統(tǒng)計(jì)研究，得出一些數(shù)量指標(biāo)的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，根據(jù)這些規(guī)律來改進(jìn)并優(yōu)化服務(wù)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu).由于排隊(duì)論的應(yīng)用越來越廣泛，排隊(duì)規(guī)則和服務(wù)機(jī)構(gòu)也變得愈之復(fù)雜，解析方法已無法求解，而隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，計(jì)算機(jī)模擬成為求解排隊(duì)系統(tǒng)并分析系統(tǒng)性能的一種有效的方法.

二、排隊(duì)系統(tǒng)理論

一個(gè)排隊(duì)系統(tǒng)有四個(gè)基本要素：輸入過程、排隊(duì)規(guī)則、服務(wù)時(shí)間和服務(wù)系統(tǒng).

輸入過程，是描述顧客來源及顧客是按照怎樣的規(guī)律到達(dá)排隊(duì)系統(tǒng)，它包括顧客總體數(shù)、顧客到達(dá)類型、相繼顧客到達(dá)的間隔時(shí)間服從怎樣的分布，分布參數(shù)是什么.排隊(duì)規(guī)則，是指服務(wù)是否允許排隊(duì)，顧客是否愿意等待，在排隊(duì)等待的情況下，服務(wù)的順序是怎樣的.服務(wù)時(shí)間，是指服務(wù)員對顧客服務(wù)所消耗的時(shí)間，是一個(gè)隨機(jī)變量，它們相互之間獨(dú)立同分布.服務(wù)機(jī)構(gòu)，即服務(wù)臺(tái)的數(shù)目.

三、模型分析

考慮兩個(gè)服務(wù)員的模型，顧客按照非齊次的Possion過程到來.若兩個(gè)服務(wù)員1，2都是忙的，則來到的顧客進(jìn)入排隊(duì)等候的隊(duì)伍，設(shè)每個(gè)服務(wù)員都有其自己的排隊(duì)，一個(gè)來到者加入最短的隊(duì)伍.當(dāng)來到者發(fā)現(xiàn)兩個(gè)隊(duì)伍一樣長（或兩個(gè)服務(wù)員前都是空的）時(shí)，就來到服務(wù)員1前.當(dāng)顧客接受完一個(gè)服務(wù)員的服務(wù)后將自動(dòng)離開此系統(tǒng).每個(gè)顧客接受服務(wù)員i的服務(wù)時(shí)間有分布函數(shù)Gi，i=1，2.

我們要模擬上述模型來分析每個(gè)顧客花費(fèi)在這個(gè)系統(tǒng)中的總時(shí)間和每個(gè)服務(wù)員服務(wù)的顧客數(shù).由于有兩個(gè)服務(wù)員，故顧客不必按照來時(shí)的順序離開，要知道哪一個(gè)顧客將離開此系統(tǒng)就要根據(jù)服務(wù)的完成情況來確定，故我們必須了解哪些顧客是在該服務(wù)系統(tǒng)中.當(dāng)顧客到達(dá)時(shí)，我們對其進(jìn)行編號，第一個(gè)到達(dá)的顧客編號為1，下一個(gè)編號為2，等等.假設(shè)顧客i和j正在接受服務(wù)，其中i0個(gè)顧客正在排隊(duì).

為了分析此系統(tǒng)，我們引入下述變量.

1.時(shí)間變量：（1）當(dāng)前時(shí)間t；（2）規(guī)定計(jì)時(shí)從0開始t0；（3）顧客到達(dá)時(shí)間tA；（4）顧客花在系統(tǒng)中的平均時(shí)間TT；（5）離開服務(wù)員1，2的時(shí)間t1，t2.2.系統(tǒng)狀態(tài)變量：S1，S2.3.計(jì)數(shù)變量：（1）接受S1，S2服務(wù)顧客數(shù)統(tǒng)計(jì)c1，c2；（2）S1，S2中接受服務(wù)顧客序列號i1，i2；（3）到達(dá)人數(shù)N；（4）系統(tǒng)中的人數(shù)n.4.輸出變量：（1）在S1中接受服務(wù)顧客所占比重c1_percent；（2）離開S1，S2的時(shí)間及最后一個(gè)顧客離開的時(shí)間D1，D2，D.

四、算法

設(shè)yi是分布Gi，i=1，2的隨機(jī)變量.模擬算法如下：

第一步：初始步，令t=t0=tA=0，c1=c2=0，n=N=0，i1=i2=0，TT=0，

D1=D2=0，c1_percent=0，wq=99 999，t1=t2=wq，輸出結(jié)果.

第二步：當(dāng)?shù)竭_(dá)時(shí)間及離開服務(wù)員的時(shí)間有限，若tA是t1，t2，tA中最小的，則將tA賦給t，到達(dá)人數(shù)N遞增，賦予tA一個(gè)分布，進(jìn)行第三步；若t1是t1，t2，tA中最小的，則將t1賦給t，接受S1服務(wù)的顧客c1遞增，進(jìn)行第四步；若t2是t1，t2，tA中最小的，則將t2賦給t，接受S2服務(wù)的顧客c2遞增，進(jìn)行第五步.

第三步：有顧客到達(dá)的情況，若人數(shù)n=0，則n=n+1，i1=N，令y1為指數(shù)分布，且t1=t+y1；若人數(shù)n=1且第i1個(gè)顧客數(shù)大于0，則n=n+1，i1=N，令y2為另一指數(shù)分布，且t2=t+y2；若人數(shù)n=1且第i2個(gè)顧指數(shù)大于0，令n=n+1，i1=N，令y1為指數(shù)分布，且t1=t+y1；若人數(shù)n>1，令n=n+1，表明S1，S2都有人在接受服務(wù)，只能等待，需更新系統(tǒng)人數(shù)；若顧客數(shù)到達(dá)上限，則不再接受顧客.

第四步：有顧客離開S1的情況，若人數(shù)n=1，則令n=n-1，i1=i2=0，把t1賦給D1，令t1為無窮大；若人數(shù)n=2，則令n=n-1，i1=0，令t1為無窮大；若人數(shù)n>2，則令n=n-1，i1=max{i1，i2}+1，令y1為指數(shù)分布，且t1=t+y1.

第五步：有顧客離開S2的情況，若人數(shù)n=1，則令n=n-1，i1=i2=0，把t2賦給D1，令t2為無窮大；若人數(shù)n=2，則令n=n-1，i2=0，令t2為無窮大；若人數(shù)n>2，則令n=n-1，i2=max{i1，i2}+1，令y2為另一指數(shù)分布，且t2=t+y2.

第六步：輸出數(shù)據(jù)，S1服務(wù)的顧客占總顧客數(shù)的百分比和顧客在系統(tǒng)中平均等待的時(shí)間.

五、具體算例及結(jié)果展示

假設(shè)服務(wù)員1是速率為4的指數(shù)分布，服務(wù)員2是速率為3的指數(shù)分布，顧客以速率為6的Possion過程到來.試求1 000個(gè)顧客花費(fèi)在系統(tǒng)中的平均時(shí)間及這1 000個(gè)來到者中由服務(wù)員1服務(wù)所占的比例.10 000及100 000個(gè)顧客呢？

用R軟件模擬的結(jié)果如下表所示.

1 000個(gè)顧客10 000個(gè)顧客100 000個(gè)顧客

花費(fèi)時(shí)間0.561 000 00.575 900 00.574 040

所占比例0.160 479 80.144 944 40.142 786

六、結(jié)束語

由上述過程可以看出，通過運(yùn)用計(jì)算機(jī)對排隊(duì)系統(tǒng)進(jìn)行模擬，可以考察系統(tǒng)狀態(tài)的動(dòng)態(tài)行為和特征.通過大量的多次試驗(yàn)，獲得更加有益的排隊(duì)規(guī)則，可降低試驗(yàn)成本，提高系統(tǒng)可靠性.

【參考文獻(xiàn)】

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