兩道數(shù)學(xué)習(xí)題引發(fā)的思考

李小軍

【摘要】線段和角是中學(xué)幾何學(xué)習(xí)中非常重要的知識(shí)點(diǎn)，也是中考的必考點(diǎn).本文通過介紹兩道數(shù)學(xué)題的解題思路，發(fā)現(xiàn)線段、角此類題共通性問題，以便學(xué)生掌握線段和角的相關(guān)問題的設(shè)計(jì)與解決方法.

【關(guān)鍵詞】線段;角;共通性

在幫助學(xué)生處理線段、角的相關(guān)練習(xí)時(shí)，有一道題目引起了我的濃厚興趣.它是這樣描述的：已知線段AB=m，點(diǎn)C是AB上的一點(diǎn)，點(diǎn)D，E分別是AB和BC的中點(diǎn)，求兩中點(diǎn)之間的長度.乍看起來沒什么特別的，就是一個(gè)不相干的數(shù)學(xué)問題，沒什么價(jià)值.認(rèn)真琢磨琢磨，發(fā)現(xiàn)原來別有洞天.

這道習(xí)題的解題過程如下：

解題過程：

解因?yàn)辄c(diǎn)D，E分別是線段AC，BC的中點(diǎn)，

所以DC=1/2AC，CE=1/2BC.

又因?yàn)镈E=DC+CE，

所以DE=1/2AC+1/2BC=1/2（AC+CB）=1/2AB.

又因?yàn)锳B=m，所以DE=1/2m.

通過此題發(fā)現(xiàn)了一個(gè)有趣的現(xiàn)象——它在問題設(shè)計(jì)和解題過程上存在一定的共通性.

線段、角的很多問題是不是都具有共通性呢？經(jīng)過搜集、整理、對(duì)比相關(guān)資料后發(fā)現(xiàn)，線段、角的問題中至少在以下幾個(gè)方面具有共通性.

一、數(shù)線段、數(shù)角的個(gè)數(shù)相關(guān)問題具有共通性

例如，數(shù)線段的問題：已知2個(gè)端點(diǎn)，可以得到一條線段，3個(gè)點(diǎn)則可以得到3條線段，4個(gè)點(diǎn)則可以得到6條線段，5個(gè)點(diǎn)則可以得到_____條線段，n點(diǎn)則可以得到_____條線段.（5個(gè)點(diǎn)可以得到10條線段，n個(gè)點(diǎn)則可以得到n（n-1）2條線段）

與之對(duì)應(yīng)的數(shù)角的問題：從一個(gè)點(diǎn)引出2條射線，可以得到1個(gè)角，引出3條射線，可以得到3個(gè)角，引出4條射線，可以得到6個(gè)角，引出5條射線可以得到個(gè)角，引出n條射線則可以得到個(gè)角.（5條射線可以得到10個(gè)角，n條射線可以得到n（n-1）2個(gè)角）

二、線段的和差、角的和差問題具有共通性

在線段的問題中經(jīng)常要求某條線段的長度，我們通?？梢詭讞l線段之間的加減運(yùn)算得到，而角呢，也會(huì)涉及求某個(gè)角的度數(shù)，也是通過幾個(gè)角之間的加減運(yùn)算得到.

例如，線段的問題：如圖所示，已知AB=12，點(diǎn)C是AB上的一點(diǎn)，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，且DC=4，求線段BC的長.

與之對(duì)應(yīng)的角的問題：

如圖所示，已知∠AOB=120°，OC是∠AOB內(nèi)部的一條射線，OD平分∠AOC，且∠DOC=40°，求∠BOC的度數(shù).

有一個(gè)線段的和差問題，就應(yīng)當(dāng)有一個(gè)與之對(duì)應(yīng)的角的和差問題.

三、動(dòng)點(diǎn)、動(dòng)線問題具有共通性

線段的問題中，有一類叫作動(dòng)點(diǎn)問題，而角的問題中也有動(dòng)線問題，它們也存在共通性.

例如，線段的問題：已知線段AB=12，在線段AB上有一動(dòng)點(diǎn)P，點(diǎn)P從A向B以每秒2個(gè)單位的速度做勻速運(yùn)動(dòng)，P點(diǎn)出發(fā)多少秒后，線段AP=12AB？

與之對(duì)應(yīng)的角的問題：

已知∠AOB=120°，射線OP從OA開始出發(fā)，繞點(diǎn)O向OB邊以每秒20°的速度，做勻速旋轉(zhuǎn)，試問多少秒后，∠AOP=12∠AOB？

再如，線段的問題：直線上有A，B兩動(dòng)點(diǎn)，A，B在某一時(shí)刻相距12 cm，已知點(diǎn)A、點(diǎn)B分別以1 cm/s，2 cm/s的速度做勻速運(yùn)動(dòng).請(qǐng)解決以下問題：（1）若A，B兩點(diǎn)相向而行，則多少秒后，兩點(diǎn)相距8 cm？（2）若A，B同向而行，則多少秒后兩點(diǎn)相距8 cm？

對(duì)應(yīng)的角的問題如下：

射線OA，OB是繞O點(diǎn)做勻速旋轉(zhuǎn)的射線，在某一時(shí)刻，OA，OB的夾角為120°，已知OA，OB的速度分別為10°/s，20°/s.請(qǐng)解決以下問題：（1）若OA，OB相向旋轉(zhuǎn)，多少秒后夾角為80°？（2）若OA在前，OA，OB做同向旋轉(zhuǎn)一周，則多少秒后夾角為80°？

綜上所述，線段與角的問題中有著諸多的共通性，我們?cè)谠O(shè)計(jì)和解決此類問題時(shí)，可以利用這一特點(diǎn)來幫助我們用“此”思路或方法解決“彼”的問題.

【參考文獻(xiàn)】

[1]仇日鋒.線段與角相關(guān)問題中的數(shù)學(xué)思想應(yīng)用[J]中學(xué)教學(xué)參考，2015（23）：36-37.

[2]王天宇.選擇最優(yōu)的方法證明兩條線段相等[J].中小學(xué)數(shù)學(xué)（初中版），2017（12）：36-37.

[3]王鋒.由等腰三角形設(shè)計(jì)的線段和差關(guān)系[J].初中生天地，2017（29）：40-43.