解析高中數(shù)學(xué)線性規(guī)劃類型及求解策略

胡支云

【摘要】線性規(guī)劃是高中數(shù)學(xué)中較為基礎(chǔ)的知識點(diǎn)，難度不大，是高考的?？碱}型，常出現(xiàn)在選擇題、填空題中.為提高學(xué)生線性規(guī)劃題目的解題效率，防止失分，教學(xué)實(shí)踐中教師應(yīng)注重這一題型的講解.本文結(jié)合教學(xué)實(shí)踐，對常見線性規(guī)劃類型進(jìn)行匯總、剖析，探討解答相關(guān)題型的注意事項(xiàng).

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué);線性規(guī)劃;求解;策略

高中數(shù)學(xué)線性規(guī)劃相關(guān)題目雖然難度不大，但題型多變，教學(xué)實(shí)踐中，教師應(yīng)注重常見類型的總結(jié)，針對不同類型，依托具體例題，傳授相關(guān)的解題策略，幫助學(xué)生切實(shí)掌握這一基礎(chǔ)知識.

一、線性目標(biāo)函數(shù)及求解策略

求解線性目標(biāo)函數(shù)最值屬于基礎(chǔ)題型，學(xué)生較容易掌握.解答該類題目時一般采用圖解法，即，聯(lián)立給出的方程組，求解各交點(diǎn)坐標(biāo)，尋找到目標(biāo)點(diǎn)，帶入目標(biāo)函數(shù)便可求得答案，因此，準(zhǔn)確找到目標(biāo)點(diǎn)是解答該類題型的關(guān)鍵，解題時要求學(xué)生認(rèn)真審題，保證目標(biāo)點(diǎn)求解的正確性.

例1 變量x，y滿足2x+y≤40，x+2y≤50，x≥0，y≥0， 求z=3x+2y的最大值.

分析 解答該題時，應(yīng)根據(jù)題設(shè)條件畫出可行域，而后采用平移目標(biāo)函數(shù)圖像的方法進(jìn)行求解.根據(jù)題設(shè)條件，畫出的可行域如圖1所示：

顯然z=3x+2y圖像越向可行域的右上角移動，取得的值越大，聯(lián)立方程組可求得A點(diǎn)坐標(biāo)為（10，20），代入得z=3x+2y的最大值為70.

點(diǎn)評 該類題目沒有難度，為提高解題效率，保證解題正確性，應(yīng)注意：其一，正確畫出可行域范圍，準(zhǔn)確計算直線方程交點(diǎn)坐標(biāo).其二，明確要求的是最大值還是最小值，保證目標(biāo)函數(shù)圖像移動方向的正確性，計算出最終結(jié)果.

二、非線性目標(biāo)函數(shù)及求解策略

線性規(guī)劃中有一類題型的目標(biāo)函數(shù)不是線性函數(shù)，難度有所增加，采用平移圖像的方法無法直接求解.解題時仍需要正確畫出可行域范圍，而后認(rèn)真觀察非線性目標(biāo)函數(shù)，看其是否是特殊圖像的函數(shù)，如拋物線、圓等，而后借助其性質(zhì)進(jìn)行求解.

例2 已知x，y滿足x-y+2≥0，x+y-4≥0，2x-y-5≤0， 求z=x2+y2-10y+25的最小值.

分析 求解線性規(guī)劃題型，首先根據(jù)已知條件畫出可行域，但該題目的目標(biāo)函數(shù)不是線性，因此，需要對目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即，z=x2+y2-10y+25=x2+（y-5）2，如此可看作求可行域中的點(diǎn)與點(diǎn)M（0，5）距離平方的最小值.

根據(jù)題設(shè)條件畫出可行域，如圖2所示：

解答時過點(diǎn)M作AC的垂線，MN長度的平方即為所求，利用點(diǎn)到直線的距離公式，可直接求解出MN長度的平方為92.

點(diǎn)評 解答目標(biāo)函數(shù)為非線性函數(shù)題型時，除正確畫出可行域范圍外，還應(yīng)對目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行巧妙的轉(zhuǎn)化，借助幾何意義進(jìn)行求解.如目標(biāo)函數(shù)為z=（x-a）2+（y-b）2形式時，可看作是可行域中的點(diǎn)到點(diǎn)（a，b）距離的平方.如目標(biāo)函數(shù)可化成圓的方程，應(yīng)通過圓心坐標(biāo)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，而后求解.

三、目標(biāo)函數(shù)參數(shù)求解策略

求目標(biāo)函數(shù)參數(shù)屬于線性規(guī)劃逆向思維問題，難度較大，部分學(xué)生遇到題目不知如何下手，事實(shí)上只要明確目標(biāo)函數(shù)最值一般在可行域邊界、交點(diǎn)處取得，借助數(shù)形結(jié)合思想不難進(jìn)行解答.

例3 平面直接坐標(biāo)系中，不等式組x+y-1≥0，x-1≤0，ax-y+1≥0 （a為常數(shù)），表示的平面區(qū)域面積為2，那么a的值是（? ）.

A.-5??? B.1??? C.2??? D.3

分析 解答該類題型時應(yīng)認(rèn)真分析題設(shè)條件，給出的不等式組中有兩個直線方程已知，此時可畫出其在坐標(biāo)系中的圖像.而ax-y+1≥0恒過點(diǎn)（0，1），其可看作圍繞（0，1）點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的直線，因此，可做出如圖3所示圖形：

觀察題設(shè)給出的四個選項(xiàng)，其中當(dāng)a=-5時，可行域不是封閉的圖形，舍去.當(dāng)a=1時不難求得面積為1.當(dāng)a=2時面積為32.當(dāng)a=3時，面積為2，滿足題意，因此，正確答案為D.

點(diǎn)評 線性規(guī)劃中求解目標(biāo)函數(shù)的參數(shù)難度較大，如不掌握一定的技巧很難求解出來，本題中很多學(xué)生不能挖掘出ax-y+1≥0恒過點(diǎn)（0，1）這一隱含條件，不知如何下手計算，白白失分，因此，解答該類題型時應(yīng)注意：認(rèn)真分析給出的已知條件，可先將已知直線圖像在平面直角坐標(biāo)系中畫出來;分析帶參數(shù)的直線方程，挖掘存在的隱含條件.另外，因該類型題目難度較大，教學(xué)實(shí)踐中，教師應(yīng)多講解相關(guān)例題，讓學(xué)生見更多的題目，更好地掌握該題型的解題技巧.

四、結(jié) 論

線性規(guī)劃是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，題型多變，因此，教師應(yīng)做好高中階段線性規(guī)劃類型的總結(jié)，本文共同探討了線性目標(biāo)函數(shù)、非線性目標(biāo)函數(shù)以及目標(biāo)函數(shù)中求參數(shù)題型，明確不同題型的特點(diǎn)，并針對不同類型列舉相關(guān)例題，為學(xué)生講解具體解答策略，提出線性規(guī)劃教學(xué)中應(yīng)注意的事項(xiàng)，確保學(xué)生真正掌握這一基礎(chǔ)知識，做到迅速、正確解題.

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